1.2. Закон Кулона

Если два неподвижных точечных заряда `q_1` и `q_2` расположены в вакууме на расстоянии `r` друг от друга, то сила, действующая на 2-й заряд со стороны  1-го,  равна  по  модулю  силе, действующей со стороны  2-го заряда на 1-й заряд, и противоположно ей направлена; величина силы равна

                                             `|vecF|=1/(4pi epsilon_0)(|q_1||q_2|)/(r^2)`,                               (1.2.1)

где `1/(4pi epsilon_0)~~9*10^9 ("H"*"м"^2)/("Кл"^2)`, `epsilon_0` – так называемая электрическая постоянная. (Заметьте, что легче запомнить не само её значение `epsilon_0~~0,885*10^(-11) "Ф"/"м"`, а комбинацию `1//4 pi epsilon_0`).

В форме (1.2.1) закон Кулона справедлив для зарядов, взаимодействующих в вакууме. С хорошей точностью он справедлив и для зарядов в воздухе при нормальных условиях: сила взаимодействия зарядов в этом случае будет лишь примерно в `epsilon=1,0006` раз меньше.

Опыт показывает, что силы кулоновского взаимодействия подчиняются принципу суперпозиции: если заряженная частица взаимодействует одновременно с несколькими заряженными частицами, то результирующая сила, действующая на данную частицу, равна векторной сумме сил, действующих на неё со стороны всех других заряженных частиц.

Пример 1

Во сколько раз сила электростатического отталкивания между двумя электронами больше силы их гравитационного притяжения? Масса электрона  `m~~0,91*10^(-30)` кг.

Решение

Ответ не зависит от расстояния между электронами, т. к. обе силы – и гравитационная `F_"гр"^(ee)=G(m^2)/(r^2)`, и электростатическая `F_"эл"^(ee)=1/(4pi epsilon_0) (e^2)/(r^2)` - одинаковым образом убывают с расстоянием (как `1//r^2`). В итоге

`(F_"эл"^(ee))/(F_"гр"^(ee))=(e^2//4pi epsilon_0r^2)/(Gm^2//r^2)=(e^2)/(4pi epsilon_0Gm^2)=(9*10^9*(1,6*10^(-19))^2)/(6,67*10^(-11)(0,91*10^(-30))^2)~~4,2*10^(42)`.

Аналогичные оценки можно сделать для других пар заряженных элементарных частиц – протона и протона, а также протона и электрона. Эти оценки призваны показать ничтожно малую роль гравитационного взаимодействия между элементарными частицами вещества по сравнению с электростатическим взаимодействием между ними.

Пример 2

Предположим, что модули зарядов протона и электрона отличались бы друг от друга на одну миллионную долю элементарного заряда. Оцените, какая сила отталкивания возникла бы вследствие этого между двумя железными шариками массой в `m=1` г, находящимися на расстоянии  `R=1` м  друг   от  друга.  Молярную   массу   железа  принять   равной `mu=56` г/моль.

Решение

 В рассматриваемом гипотетическом случае суммарный положительный заряд всех протонов вещества не компенсируется отрицательным зарядом всех электронов. Каждая из масс `m=1` г железа $$ {}_{56}{}^{26}\text{Fe}$$ содержит `nu=m//mu=1//56` моль железа, а значит, в каждом грамме имеется `26*N_A//56` зарядов каждого знака, где `N_A~~6,02*10^(23)` - число Авогадро. Тогда при нарушении равенства `e_+` и `|e_-|` всего на `10^(-6)e` на каждом шарике появился бы избыточный заряд `|q|=10^(-6)e*(26//56)*N_A~~4,5*10^(-2)` Кл. Сила отталкивания между шариками при этом оказалась бы не просто легко наблюдаемой величиной, но очень большой:

`F=1/(4pi epsilon_0) (q^2)/(R^2)=9*10^9*(4,5*10^(-2))^2~~1,8*10^7` H.

Пример 3

Два одинаковых маленьких металлических шарика, имеющих разные заряды одного знака, привели в соприкосновение, а затем разнесли на прежнее расстояние. Увеличится или уменьшится сила взаимодействия шариков?

Решение

В этой задаче воспользуемся сразу двумя законами – законом сохранения заряда и законом Кулона. Пусть `q_1` и `q_2` начальные заряды шариков. Для определённости будем считать, что заряды положительные. После приведения шариков в контакт заряды на шариках (в силу их одинаковости) будут равны друг другу и равны `q=(q_1+q_2)//2`. Сила взаимодействия шариков до соприкосновения `f` была пропорциональна произведению зарядов `q_1q_2`; после соприкосновения и разнесения на прежнее расстояние новая сила взаимодействия `F` будет пропорциональна квадрату заряда `q`. Отношение сил

`F/f=([(q_1+q_2)//2]^2)/(q_1q_2)=(q_1^2+2q_1q_2+q_2^2)/(4q_1q_2)`.

Эта величина больше или (в крайнем случае) равна единице в силу следующей цепочки тождественных преобразований:

`(q_1^2+2q_1q_2+q_2^2)/(4q_1q_2)>=1 iff q_1^2+2q_1q_2+q_2^2>=4q_1q_2 iff`

`iff q_1^2-2q_1q_2+q_2^2>=0 iff (q_1-q_2)^2>=0`,

причём равенство имеет место, только если `q_1=q_2`. Итак, сила взаимодействия шаров увеличится.