Построение окружности

Одним из самых известных уравнений, допускающих красивую геометрическую интерпретацию, является уравнение вида

(x−a)2+(y−b)2=r2(x − a)^2 + (y − b)^2 = r^2.                                                             (ОКР)

Если заданы числа aa, bb и rr, то легко понять, что точка с координатами xx и yy удовлетворяет такому уравнению тогда и только тогда, когда она удалена от точки O(a,b)O(a, b) на расстояние |r||r|. Поэтому данное уравнение – не что иное, как уравнение окружности с центром в точке O(a,b)O(a, b) и радиусом |r||r| (при r=0r = 0 – точки O(a,b)O(a, b)). К уравнению окружности (ОКР) часто приводятся уравнения, содержащие обе переменные как в первой, так и во второй степени. Например, приведем уравнение 2x2+7x+2y2−5y=02x^2 + 7x + 2y^2 − 5y = 0 к виду (ОКР):

2x2+7x+2y2−5y=02x^2 + 7x + 2y^2 − 5y = 0

x2+72x+y2-52y=0x^2+\dfrac72x+y^2-\dfrac52y=0

`x^2=7/2x+(7/(2*2))^2+y^2-5/2y+(5/(2*2))^2=(7/(2*2))^2+(5/(2*2))^2`

`(x+7/4)^2+(y-5/4)^2=74/16`.

Покажем примеры построения графиков, связанных с уравнением (ОКР).

Пример 20

Построим график функции y=5+4x−x2y = \sqrt{5 + 4x − x^2}.

Имеем систему:

y≥0,y2=5+4x−x2;\left\{\begin{array}{l}y\geq0,\\y^2=5+4x-x^2;\end{array}\right.   или y≥0,x2−4x+y2=5;\left\{\begin{array}{l}y\geq0,\\x^2-4x+y^2=5;\end{array}\right.   y≥0,(x−2)2+y2=9.\left\{\begin{array}{l}y\geq0,\\{(x-2)^2}+y^2=9.\end{array}\right.

График данной функции – полуокружность с центром в точке O(2,0)O(2, 0) и радиусом 33 (рис. 42). Отметим, что здесь также существенно преобразование выделения полного квадрата.