Если нужно построить график функции вида $y = f(|x − a_1|,$ $|x − a_2|,…,|x − a_n|)$, где $a_1,$ $a_2,…,a_n$ – некоторые фиксированные числа, то в общем случае нет иного подхода, помимо раскрытия всех модулей. Ясно, что для всякого $k = 1, 2, 3,…, n$

$|x - a_k| =$ $\left|x-a_k\right|=\left\{\begin{array}{l}x-a_k,\;\mathrm{если}\;x\;\geq a_k;\\a_k-x,\;\mathrm{если}\;x<a_k.\end{array}\right.$

Однако, например, в случае $a_1 < a_2$ невозможно выполнение одновременно двух условий: $x < a_1$ и $x > a_2$. Поэтому простое раскрытие модулей приведет к лишним действиям. Чтобы этого избежать, применяют так называемый метод интервалов. Суть его состоит в следующем. Числа $a_1$, $a_2,…, a_n$ упорядочивают по неубыванию и наносят на числовую ось (рис. 35). Если для определённости положить $a_1 < a_2 < ⋯ < a_n$, то это будет выглядеть так:

Получаем, что числовая ось разбивается на $n + 1$ интервалов. Если $x$ лежит в любом из них, то мы однозначно можем определить знаки всех выражений под модулями и раскрыть модули. В каждом из получившихся интервалов график функции выстраивается отдельно. Граничную точку $(a_1, a_2,…, a_n)$ можно включать в любой из промежутков, концом которого она является. Проиллюстрируем этот алгоритм на примере.

Перед тем как перейти к нахождению наименьшего значения, сделаем небольшое теоретическое отступление.

С помощью графиков удобно исследовать функции на возрастание и убывание. Функцию $y = f(x)$ называют строго возрастающей, если $f(x_1) < f(x_2)$ при $x_1 < x_2$. Строго убывающие функции определяются неравенством $f(x_1) > f(x_2)$ при $x_1 < x_2$. Если при $x_1 < x_2$ верно $f(x_1) ≤ f(x_2)$, то функцию $y = f(x)$ называют возрастающей, а если $f(x_2) ≤ f(x_1)$, то – убывающей. Для линейных функций признаком возрастания и убывания является знак коэффициента при $х$. Если этот коэффициент отрицателен, то такая функция строго убывает на данном интервале. В случае положительности коэффициента функция строго возрастает. Таким образом, можно сделать такой вывод.

Характер возрастания (возрастание или убывание) функции вида

$f(x) = c_1|x − a_1| + c_2|x − a_2| +  … + c_n|x − a_n|$,

может меняться только в точках $x = a_1, a_2,…, a_n$ (здесь $a_1 ≤ a_2 ≤ … ≤ a_n$, а $c_1$, $c_2,…, c_n$ – некоторые числа). Поэтому для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции такого вида стoит обратить внимание на то, возрастает или убывает такая функция при $x < a_1$ и $x > a_n$, а также сравнить значения функции $f$ в точках $x = a_1, a_2,…, a_n$.

Возвращаемся к нашей задаче.

Похожую схему рассуждений можно применить и в задачах следующего типа.