Дробно-линейной называют всякую функцию вида

$f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$,

где $c$ и $d$ одновременно не равны `0`. Поскольку случай $c= 0$ тривиален, то будем считать $с ≠ 0$.

Выполним преобразования:

`f(x)=a/c*(cx+(bc)/a)/(cx+d)=a/c*(cx+d+(bc)/a-d)/(cx+d)=`

`=a/c*((cx+d)/(cx+d)+1/a*(bc-ad)/(cx+d))=a/c+((bc-ad)/c)/(cx+d)`,

то есть

`f(x)=a/c+((bc-ad)/c)/(cx+d)=a/c+((bc-ad)/c^2)/(x+d/c)`.

Будем считать, что $bc – ad ≠ 0$ (иначе коэффициенты в числителе и знаменателе пропорциональны, дробь можно сократить и функция есть постоянная величина на области определения). Это означает, что график дробно-линейной функции можно получить из графика функции `f_0(x) =1/x`, выполнив цепочку преобразований:

1. ПР6: `f_1(x)=1/(x+d/c)`;

2. ПР4: `f_2(x)=((bc-ad)/c^2)/(x+d/c)`;

3. ПР5: `f_3(x)=a/c+((bc-ad)/c^2)/(x+d/c)`.

На первом шаге нужно сдвинуть график $y = f_0(x)$ на `−d/c` вдоль оси $Ox$,

на втором – сжать его или растянуть и, возможно, отразить в зависимости от коэффициента `(bc-ad)/c^2`, а

на третьем – сдвинуть вдоль оси $Oy$.

Покажем на примере, как это нужно делать.

Построим график функции $f{(x)}=\dfrac x{x+2}$. Приведём данную функцию к такому виду:

$y=\frac{x+2-2}{x+2}=1-\dfrac2{x+2}$.

Построим график функции `y=-2/x` (ветви гиперболы лежат во 2-ой и 4-ой четвертях) (рис. 25).

Далее, необходимо, воспользовавшись преобразованием ПР6, сдвинуть график `y=-2/x` на две единицы влево вдоль оси абсцисс (рис. 26). Получим график `y=-2/(x+2)`. Теперь используем преобразование ПР5 и поднимаем график на рис. 26 на единицу вверх. Получим необходимый график функции

$y=1-\frac2{x+2}$ (рис. 27).

Постройте график функции

$y=\dfrac{3x+4}{5x+6}$ .

Будем выполнять построения в таком порядке:

1) Преобразуем данную функцию:

`y=(3x+4)/(5x+6)=(3x+4)/(5x+6)-3/5+3/5=3/5+(2//25)/(x+6//5)`.

2) Построим график функции

`y=1/(x+6//5)` (ПР6, см. рис. 28).

Далее, построим график `y=(2//25)/(x+6//5)`, сжав график относительно оси абсцисс в `2//25` раз (ПР4, см. рис. 29).

3) Осталось сдвинуть график на `3//5` единиц вверх и получим окончательный график (ПР6, см. рис. 30)

`y=3/5+(2//25)/(x+6//5)`.

Построим график функции

$y=\left|\dfrac2{\left|x\right|-1}\right|$.

Будем решать данный пример в таком порядке:

1. Построим гиперболу `y=2/x` (рис. 31).

2. Воспользовавшись преобразованием ПР6, сдвинем эту гиперболу на единицу вправо (вдоль оси абсцисс) и получим график функции `y=2/(x-1)` (рис. 32).

3. Теперь воспользуемся преобразованием ПР1 для построенного в п. 2. графика. Получим график функции `y=2/(|x|-1)` (рис. 33).

4. Воспользуемся преобразованием ПР2 и получим график искомой функции `y=|2/(|x|-1)|` (рис. 34).