Как построить график функции $$ y=f\left(\right|x\left|\right)$$? По определению модуля:

$$ y = f\left(\right|x\left|\right) $$$$ =\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right), \mathrm{при} x \ge 0,\\ f(-x), \mathrm{при} x<0.\end{array}\right.$$

Поэтому график функции $$ y=f\left(\right|x\left|\right)$$ состоит из двух частей:

$$ y=f\left(x\right)$$ – в правой полуплоскости, $$ y=f(-x)$$ – в левой полуплоскости. Это означает, что можно сформулировать такое правило:

для построения графика $$ y=f\left(\right|x\left|\right)$$ нужно сохранить часть графика $$ y=f\left(x\right)$$  при $$ x\ge 0$$ (т. е. на оси ординат и справа от неё), а также симметрично отразить эту часть относительно оси `Оy`; часть графика $$ y=f\left(x\right)$$ при $$ x<0$$ (т. е. слева от оси ординат) при этом нужно стереть.

Как построить график функции $$ y=\left|f\right(x\left)\right|$$? По определению модуля:

$$ y = \left|f\right(x\left)\right| $$$$ =\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right), \mathrm{при} f\left(x\right) \ge 0,\\ -f\left(x\right), \mathrm{при} f\left(x\right)<0.\end{array}\right.$$

Поэтому можно сформулировать такое правило:

для построения графика функции $$ y=\left|f\right(x\left)\right|$$ нужно сохранить часть графика $$ y=f\left(x\right)$$, лежащую выше оси `Ox`, а часть графика, лежащую ниже оси `Ox`, симметрично отразить относительно этой оси.

Отметим, что для построения графика функции $$ y=\left|f\right(\left|x\right|\left)\right|$$ нужно последовательно провести преобразования ПР1 и ПР2 (в любом порядке).

Как построить множество точек `(x, y)` таких, что $$ \left|y\right|=f\left(x\right)$$?

Сразу видно, что на новом графике не должно быть точек, для которых $$ f\left(x\right)<0$$. Поэтому нужно стереть часть графика функции $$ y=f\left(x\right)$$, лежащую ниже оси абсцисс. Если же $$ f\left(x\right)\ge 0$$, то $$ y=\pm f\left(x\right)$$ и на новом графике каждому такому значению $$ x$$ должно соответствовать две точки, симметричные относительно оси $$ Ox$$ (если $$ f\left(x\right)\ge 0$$, то точка одна).

Это означает, что часть графика функции $$ y=f\left(x\right)$$, лежащую выше оси абсцисс, нужно сохранить и симметрично отразить относительно оси $$ Ox$$.

Переход от графика $$ y=f\left(x\right)$$ к графику $$ y=af\left(x\right)$$, где $$ a\ne 1$$.

Если $$ a$$ – положительное число, то имеем два возможных случая:

а) $$ a>1$$. В данном случае рассматриваемый переход является растяжением графика от оси абсцисс в `a` раз. Покажем на примере линейной функции $$ y=x$$ (рис. 20). Положим $$ a=2$$ и получим график функции $$ y=2x$$ посредством растяжения имеющегося графика в два раза от оси абсцисс (рис. 21).

б) `0<a<1`. В данном случае рассматриваемый переход является сжатием графика к оси абсцисс в `1//a` раз. Пусть имеется линейная функция $$ y=x$$. Если $$ a=\mathrm{0,5}$$, то получим график функции $$ y=\mathrm{0,5}x$$ посредством сжатия имеющегося графика в $$ 1/a=2$$ раза к оси абсцисс (рис. 22).</a<1$$.>

Заметим, что при $$ a<0$$ нужно сначала построить график функции $$ y=\left|a\right|f\left(x\right)$$, а потом симметрично его отобразить относительно оси абсцисс.

В частности, при $$ a=–1$$ исходный график отражается относительно `Ox`.

Переход от графика $$ y=f\left(x\right)$$ к графику $$ y=f\left(x\right)+b$$, где $$ b\ne 0$$ – некоторое число. Рассматриваемый переход является параллельным переносом графика вдоль оси ординат на $$ b$$ единиц. Направление сдвига определяется знаком $$ b$$: если $$ b>0$$, то график сдвигается вверх, а если $$ b<0$$, то вниз.

Переход от графика $$ y=f\left(x\right)$$ к графику $$ y=f(x+c)$$, где $$ с\ne 0$$ – некоторое число. В этом случае исходный график сдвигается вдоль оси абсцисс на величину $$ \left|c\right|$$. Но направление сдвига противоположно знаку числа `c:` если $$ с>0$$, то график сдвигается влево, а если $$ с<0$$, то вправо.

 Построим ещё такой график $$ y= \left|\right|x-1|-2|$$.

Для этого нужно выполнить цепочку таких действий (рис 23).

а) Строим график функции $$ y=x-1$$.

б)  Выполняем ПР2: часть полученного графика, лежащая над осью $$ Ox$$ сохраняется; а его часть, лежащая под осью $$ Ox$$ отображается симметрично относительно оси $$ Ox$$.

с) Затем сдвигаем график вдоль оси $$ Oy$$ на `2` единицы вниз (ПР5).

д) Выполняем ПР2 снова: часть полученного в предыдущем пункте графика, лежащая выше оси $$ Ox$$, сохраняется, а часть этого графика, которая лежит ниже оси $$ Ox$$, отображается симметрично относительно неё.

Построим график функции $$ y={\displaystyle \frac{{x}^{2}-9}{\left|x\right|-3}}$$.

ОДЗ: $$ \left|x\right|-3\ne 0$$, $$ \left|x\right|\ne 3$$, $$ x\ne 3$$, $$ x\ne -3$$.

Воспользуемся известным тождеством

$$ |x{|}^{2}={x}^{2}$$. Имеем:

$$ y={\displaystyle \frac{{x}^{2}-9}{\left|x\right|-3}}={\displaystyle \frac{|x{|}^{2}-9}{\left|x\right|-3}}={\displaystyle \frac{\left(\right|x|-3)\left(\right|x|+3)}{\left|x\right|-3}}=\left|x\right|+3$$.

Выполняем построения (рис. 24):

а) Строим график функции $$ y=\left|x\right|$$.

б) График $$ y=\left|x\right|$$ сдвигаем вдоль оси $$ Oy$$ на `3` единицы вверх (ПР5).

в) Исключаем из графика точки $$ x=3$$, $$ x=-3$$.

При решении задачи мы учли ОДЗ функции, исключив некоторые точки из графика. Такие точки изображаются, например, в виде выколотых точек (пустых не закрашенных кружков).