ЗФТШ, МФТИ

§3. Неравенства с модулем

19 ноября 2017 г.
0 комментариев
5149 просмотров

Просмотр текста ограничен правами статьи

§2. Рациональные неравенства. Метод интервалов.

18 ноября 2017 г.
0 комментариев
5877 просмотров

Просмотр текста ограничен правами статьи

§ 5. Задачи и вопросы для самостоятельного решения

9 ноября 2017 г.
0 комментариев
3227 просмотров

Просмотр текста ограничен правами статьи

§ 4. Задачи для досуга (этот пункт дополнительный)

8 ноября 2017 г.
0 комментариев
3699 просмотров

Просмотр текста ограничен правами статьи

§ 3 Параллелограмм

8 ноября 2017 г.
0 комментариев
4035 просмотров

Просмотр текста ограничен правами статьи

11-М-1. 2. Иррациональные неравенства

13 июля 2017 г.
0 комментариев
7273 просмотра

Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.

Пример 3 (МГУ, 1998)

Решите неравенство `sqrt(x + 3) > x + 1`.

Решение

Это неравенство можно решить несколькими способами. Решим его графически (рис. 1). Построим графики функций `y = sqrt(x + 3)`, `y = x + 1` и посмотрим, где первый график расположен выше второго. Для нахождения решения останется решить только уравнение `sqrt(x + 3) = x + 1` (и не надо рассматривать случаи разных знаков для `x + 1`!).

$\sqrt{x+3}=x+1\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+1\geq0,\\x+3=x^2+2x+1\end{array}\Leftrightarrow x=1\Rightarrow x\in\lbrack-3;1).\right.$

Ответ:

`[- 3; 1)`.

Сначала приведём уже выведенные в 10-ом классе условия равносильности для уравнений (в частности, для того, чтобы была понятна приве-дённая уже здесь нумерация условий равносильности для корней `(`УР К`)`):

`sqrt(f(x)) = a^2 iff f(x) = a^4`.	(УР К1)
$\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\geq0,\\f(x)=g^2(x).\end{array}\right.$	(УР К2)
$\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\overset{ОДЗ}\Leftrightarrow f(x)=g(x).$	(УР К3)
$\begin{array}{l}\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f(x)=g(x),\\\left[\begin{array}{l}f(x)\geq0,\\g(x)\geq0.\end{array}\right.\end{array}\right.\\\end{array}$	(УР К4)

ПУНКТ 1. НЕРАВЕНСТВА ВИДА `sqrt(f(x)) >= g(x)` и `sqrt(f(x)) <= g(x)`

ОДЗ: `f(x) >= 0`.

Рассмотрим неравенство `sqrt(f(x)) >= g(x)`. Докажем, что

(УР К5)

Доказательство

1. Если является решением неравенства `sqrt(f(x)) >= g(x)`, то `f(x) >= 0` и `sqrt(f(x))` существует. При этом неравенство заведомо выполнено при `g(x) < 0`. Если же `g(x) >= 0`, то возведение в квадрат обеих частей неравенства приводит к равносильному неравенству `f^2 (x) >= g^2 (x)`.

2. Пусть теперь `x` является решением совокупности неравенств

Тогда:

а) если `g(x) < 0` и `f(x) >= 0`, то существует `sqrt(f(x))` и заведомо выполнено неравенство `sqrt(f(x)) >= g(x)`:

б) если `g(x) >= 0` и `f(x) - g^2 (x) >= 0 iff (sqrt(f(x)) - g(x)) (sqrt(f(x)) + g(x)) >= 0`,

то `f(x) - g^2 (x) >= 0 iff sqrt(f(x)) - g(x) >= 0`.

Можно ОДЗ неравенства найти отдельно, тогда условие равносильности примет вид:

(УР К6)

Теперь рассмотрим неравенство вида `sqrt(f(x)) <= g(x)`. Докажем, что

\sqrt{f(x)}\leq g(x)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g(x)\geq0,\\f(x)\leq g^2(x),\\f(x)\geq0.\end{array}\right.

(УР К7)

Доказательство

1. Если `x` является решением неравенства `sqrt(f(x)) <= g(x)`, то `f(x) >= 0` и существует `sqrt(f(x))`, а тогда `g(x) >= 0`, и возведение в квадрат обеих частей неравенства приводит к равносильному неравенству `f(x) <= g^2 (x)`.

2. Если `x` является решением системы неравенств

\left\{\begin{array}{l}g(x)\geq0,\\f(x)\leq g^2(x),\\f(x)\geq0,\end{array}\right.

то `f(x) >= 0` и существует `sqrt(f(x))`, а тогда `f(x) - g^2 (x) <= 0 iff (sqrt(f(x)) - g(x))(sqrt(f(x)) + g(x)) <= 0`. Но, по условию, `g(x) >= 0`, поэтому `f(x) - g^2 (x) <= 0 iff sqrt(f(x)) - g(x) <= 0`.

Пример 4 (МФТИ, 1998)

Решите неравенство `3 sqrt(3x^2 -8x - 3) > 1 - 2x`.

Решение

Первый способ

Воспользуемся (УР К6):

Ответ

`(- oo ; (34 - 30 sqrt2)/(23)) uu [3; + oo)`.

Второй способ

Можно оформить решение неравенства и несколько по – другому. Найдём сначала ОДЗ:

11-М-1. 1 Равносильность уравнений и неравенств

13 июля 2017 г.
0 комментариев
8902 просмотра

В нашем задании большую роль будет играть понятие равносильности.

Два неравенства

`f_1 (x) > g_1 (x)` и `f_2 (x) > g_2 (x)`

(1)

или два уравнения

`f_1 (x) = g_1 (x)` и `f_2 (x) = g_2 (x)`

(2)

называются равносильными на множестве `X`, если каждое решение первого неравенства (уравнения), принадлежащее множеству `X`, является решением второго и, наоборот, каждое решение второго, принадлежащее `X`, является решением первого, или, если, ни одно из неравенств (уравнений) на `X` не имеет решений. Т. е. два неравенства (уравнения) равносильны, по определению, если множества решений этих неравенств (уравнений) на `X` совпадают.

Отсюда следует, что вместо того, чтобы решать данное неравенство (уравнение), можно решать любое другое, равносильное данному. Замену одного неравенства (уравнения) другим, равносильным данному на `X`, называют равносильным переходом на `X`. Равносильный переход обозначают двойной стрелкой `hArr`. Если уравнение `f(x) = 0` (или неравенство) `f(x) > 0`) равносильно уравнению `g(x) = 0` (или неравенству `g(x) > 0`), то это мы будем обозначать так:

`f(x) = 0 hArr g(x) = 0` (или `f(x) > 0 hArr g(x) > 0`).

Пример 1

`sqrt(x^2 -4) = 1 - x^2 hArr sqrt(sin ^2 x - 2) = 0`, т. к. ни то, ни другое не имеет решения.

Важно понимать, что для доказательства неравносильности двух неравенств (уравнений) нет необходимости решать каждое из неравенств (уравнений), а затем убеждаться в том, что множества их решений не совпадают - достаточно указать одно решение одного из неравенств (уравнений), которое не является решением другого неравенства (уравнения).

Пример 2

При каких значениях параметра `a` системы

\left\{\begin{array}{l}ax+3y=6a-4,\\x+y=2a\end{array}\right.

и

\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-\left(2a+4\right)x+2(a^2+a+2)=0\end{array}\right.

равносильны?

Решение

Решим сначала первую, более простую систему

$\left\{\begin{array}{l}ax+3y=6a-4,\\x+y=2a\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=2a-x,\\ax+3(2a-x)=6a-4\Leftrightarrow x(a-3)=-4\end{array}\Leftrightarrow\right.\right.$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a\neq3,\\x=-\dfrac4{a-3},\\y=2a+\dfrac4{a-3}=\dfrac{2a^2-6a+4}{a-3};\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a=3,\\0\cdot x=-4\Leftrightarrow\varnothing.\end{array}\right.\end{array}\right.$

Подставим `a = 3` во вторую систему

$a=3:\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-10x+28=0\Leftrightarrow\left(x-5\right)^2+y^2+3=0\Leftrightarrow\varnothing,\end{array}\Rightarrow\right.$

При `a = 3` системы равносильны, т. к. при этом значении параметра обе системы не имеют решений.

При `a = 3` первая система имеет единственное решение. Заметим, что во второй системе входит только в четной степени, значит, если решением является пара `(x_0, y_0)`, то пара `(x_0 , -y_0)` тоже будет решением. При этом если `y_0 != - y_0 iff y_0 != 0`, то решений будет два. Следовательно, единственным решением может быть только пара `(x_0 , 0)`. Посмотрим, при каких `a` такое решение у системы есть. Подставим эту пару в систему

$\left\{\begin{array}{l}x_0^2-6x_0+8=0\Leftrightarrow x_0=3\pm1,\\x_0^2-\left(2a+4\right)x_0+2\left(a^2+a+2\right)=0\end{array}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x_0=2,\\a^2-a=0\Leftrightarrow a=\left[\begin{array}{l}0,\\1;\end{array}\right.\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x_0=4,\\a^2-3a+2=0\Leftrightarrow a=\left[\begin{array}{l}2,\\1.\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right.\right.$

Итак, таких `a` три: `0, 1, 2`. Но при этих `a` вторая система может иметь и другие решения, а если у неё других решений нет, то её единственное решение может не совпадать с решением первой системы, и тогда такое `a` не удовлетворяет условию задачи. Проверим эти значения параметра.

1. `a=0`: Первая система имеет решение: `x = 4/3` и `y = - 4/3 != 0`. Следовательно, системы не равносильны, т. к. решения систем не совпадают (у второй `y=0`).

2. `a=1`: Вторая система имеет вид

$\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-6x+8=0\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=0,\\x=3\pm1=4;2.\end{array}\right.\right.$

Следовательно, системы не равносильны, т. к. вторая имеет два решения.

3. $a=2:\left\{\begin{array}{l}ax+3y=6a-4,\\x+y=2a\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4,\\y=0\end{array}\right.\right.$

и $\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-\left(2a+4\right)x+2\left(a^2+a+2\right)=0\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\\left(x-4\right)^2+y^2=0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4,\\y=0\end{array}\right.\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4,\\y=0.\end{array}\right.\right.\right.$

Следовательно, системы при этом значении равносильны – они имеют единственное решение `(4; 0)`.

Ответ

`2; 3`.

При решении неравенств и уравнений часто используются следующие равносильные переходы.

1. Если функции `f(x)`, `g(x)`, `h(x)` определены на множестве `X` , то на этом множестве

а)	`f(x) < g(x) iff f(x) + h(x) < g(x) + h(x)`.	(УР 1)
б)	`f(x) = g(x) iff f(x) + h(x) = g(x) + h(x)`.	(УР 2)

2. Если `h(x) > 0` на `X`, то на `X`

`f(x) < g(x) iff f(x) h(x) < g(x) h(x)`,

(УР 3)

т. е. умножение неравенства на положительную функцию приводит к равносильному неравенству с тем же знаком.

3. Если `h(x) < 0` на `X`, то на `X`

`f(x) < g(x) iff f(x) h(x) > g(x) h(x)`,

(УР 4)

т. е. при умножении неравенства на отрицательную функцию знак неравенства меняется на противоположный.

4. Если `h(x) != 0` на `X`, то на `X`

`f(x) = g(x) iff f(x) h(x) = g(x) h(x)`.

(УР 5)

5. Если обе части неравенства неотрицательны на `X`, то возведение в квадрат обеих частей приводит к равносильному неравенству, т. е.

`f(x) < g(x) iff f^2 (x) < g^2 (x)`.

(УР 6)

Если обе части неравенства отрицательны, то умножив обе части на `(–1)`, придём к неравенству противоположного знака, но с положительными частями, и к нему применим `(`УР `6)`.

Если левая и правая части неравенства имеют разные знаки, то возведение в квадрат может привести как к верному, так и к неверному неравенству: `-4<5`; `16<25`; `-7<5`, но `49>25`, поэтому в этом случае нельзя возводить неравенство в квадрат.

6. Если обе части уравнения неотрицательны, то

`f(x) = g(x) iff f^2 (x) = g^2 (x)`.

(УР 7)

7. Для любых `f(x)` и `g(x)` на `X` и любого натурального `n`

`f(x) = g(x) iff f^(2n + 1) (x) = g^(2n + 1) (x)`.

(УР 8)

8. Неравенство вида `f(x)>=0(<=0)` называется нестрогим. По определению,

f\left(x\right)\geq0\left(\leq0\right)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=0,\\f\left(x\right)>0\left(<0\right).\end{array}\right.

(УР 9)

11-М-1. Введение

13 июля 2017 г.
0 комментариев
1952 просмотра

Цель нашего задания - вспомнить основные правила и приемы решения алгебраических неравенств и систем уравнений. Многие из них вам хорошо известны, некоторые покажутся новыми и, с первого взгляда, даже лишними, но не спешите их отбросить сразу - решите известную вам задачу разными способами и выберите сами тот способ, который вам больше нравится.

9-М-1. Задачи