Математика 9 класс 9-M-1

9-М-1. Примеры ответов на контрольные вопросы

  • Опубликовал Витченко О. Н.
  • 13 июня 2017 г. 14:26:28 +03
  • 0 комментариев
  • 173 просмотра

Вопрос. Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, можно ли утверждать, что этот четырёхугольник – ромб?

Ответ. Нет, нельзя. Например, четырёхугольник на рис. 32, в котором `AC _|_ BD`, `BO = OD` и `AO = 3OC`ромбом не является, т. к. `AB != BC`. Верным будет следующее утверждение: если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб.

Вопрос. Можно ли утверждать, что тре¬угольник равнобедренный, если его биссектриса является медианой?

Ответ. Да, можно. Докажем это. Пусть в треугольнике `ABC` биссектриса `BM` является медианой: `AM = MC` (рис. 33). На продолжении биссектрисы `BM` отложим отрезок `MD`, равный `BM`. Треугольники `ABM` и `CDM` равны по первому признаку: у них углы при вершине `M` равны, как вертикальные, и `AM = CM`, `BM = DM`.
Из равенства треугольников следует
                                                                              `CD = AB`                                                                  `(1)`
и `/_ CDM = /_ ABM`. Но `/_ABM = /_ CBM`, поэтому `/_ CDM = /_ CBM`, т. е. в треугольнике `BCD` углы при основании `BD` равны. По теореме этот треугольник равнобедренный: `BC = CD`. Отсюда и из `(1)` заключаем: `BC = AB`.  Утверждение доказано.