Математика 9 класс, 2017/2018 уч. год 9-M-1

4. Задачи о делении отрезка

  • Опубликовал Витченко О. Н.
  • 9 июня 2017 г. 13:00:18 +03
  • 0 комментариев
  • 35 просмотров

   Рассмотрим задачи, решения которых основаны на теореме о пресечении угла параллельными прямыми и подобии треугольников. Напомним теорему:
   Теорема 6. Параллельные прямые, пересекая стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки, т. е. если l1l2,
ACAB=AC1AB1=CC1BB1 или mx=m+nx+y=ny.
Пример 11. Точка N лежит на стороне AC треугольника ABC причём AN:NC=2:3.Найти, в каком отношении медиана AMделит отрезок BN. 
   △1. Пусть O - точка пересечения медианы AM и отрезка BN. Требуется найти отношение BO:ON. Обозначим AN=2x, тогда NC=3x. Отметим, что BM=MC (рис. 18а).
   Проведём прямую NK параллельно медиане AM (рис. 18б). Параллельные прямые AMи NK пересекают стороны угла MCA, следовательно, MKKC=23.  Полагаем MK=2y,тогда KC=3y, а т. к. BM=MC, то BM=5y.
   2. Те же прямые пересекают стороны угла NBC (см. рис. 18в), поэтому BOON=BMMK=5y2y, т. е. BOON=52. ▲
   Пример 12. Точки D и F лежат на сторонах AB и BC треугольника ABC, при этом AD:DB=1:2 и BF:FC=2:3. Прямая DF пересекает прямую AC в точке K. Найти отношение AK:AC.
   △ 1. Пусть  AD=x,  BF=2y,  KA=z. Тогда DB=2xи FC=3y.
Проводим прямую AE, параллельную стороне CB.
ADE~BDFAE:BF=AD:BDAE=y.

   2. KAE~KCFKAKC=AECF, т. е. za+z=y3y.  Находим a=2z.
   Ответ: AK:AC=1:2.
Пример 13. В треугольнике ABC точки D и K лежат соответственно на сторонах AB и AC, отрезки BK и CD пересекаются в точке (рис. 20а), при этом BO:OK=3:2 и CO:OD=2:1. Найти в каком отношении точка K делит сторону AC, т. е. AK:KC.
   △1. Полагаем OD=x,  OK=2y, тогда OC=2x и BO=3y. 
   Проводим прямую KFCD (рис. 20б).
   Из KFOD  ABK следует BD:DF=3:2. Обозначаем DF=2p, тогда BD=3p.
   2. FBK~DBO,  FK:DO=FB:DB, откуда FK=5p3p·x=53x.
   3. AFK~ADC,  AF:AD=FK:DC. Обозначаем AF=z, имеем zz+2p=53x3x,
откуда z=52p, т. е. AF=52p.
   4. Рассматриваем BAC,  FKDC, по теореме AK:KC=AF:FP, т. е. AK:KC=5:4. ▲
   Все три рассмотренные задачи могут быть решены с применением теоремы Менелая.
   Теорема Менелая (о треугольнике и секущей).
   Пусть точка A1 лежит на стороне BC, точка C1 - на  стороне AB, а точка B1 - на продолжении стороны AC за точку C.
   Если точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой (рис. 21), то выполняется равенство
                                                                 AC1C1B·BA1A1C·CB1B1A=1.                                                 (*)
Обратно, если выполняется равенство (*), то точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой. (Заметим, что можно считать B1C1 секущей треугольника ABC, а можно считать BC секущей треугольника AB1C1).
   □ а) Предположим, что точки A1B1 и C1 лежат на одной прямой. Проведём CKAB(рис. 21). CKB1~AC1B1,  поэтому CKAC1=CB1AB1, откуда CK=CB1AB1·AC1.
   Далее: CKA1~BC1A1, значит

                                                                         CKBC1=CA1BA1.

Подставляя сюда выражение для CK, получим CB1AB1·AC1BC1=CA1BA1, т. е.  AC1C1B·BA1A1C·CB1B1A=1, ч. т. д.
   б) Пусть выполнено равенство (*) для точек A1, B1 и C1 (рис. 22), докажем, что эти точки лежат на одной прямой.
   Через две точки A1 и B1 проведём прямую, пусть C2 - её точка пересечения с прямой AB  (точка пересечения будет лежать на отрезке AB).
   Три точки A1, B1 и C2 лежат на одной прямой и по доказанному в пункте а) выполняется равенство
                                                                 AC2C2B·BA1A1C·CB1B1A=1.
   Сравнив это равенство с равенством (*), придём к выводу, что AC2C2B=AC1C1B. Точки C2и C1 лежат на отрезке AB и делят его в одном отношении, считая от конца  A.Следовательно, точка C2 совпадает с точкой C1, т. е. точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой.
   Стрелки на рисунке 21 (от точки A) показывают, как легко запомнить последовательность отрезков в пропорции (*). ■
   Например, применим теорему Менелая к задаче из примера 12. Полагаем BO=m,  ON=n (см. рис. 23) и рассматриваем треугольник CBN и секущую AM.
Имеем: CMBM·BOON·NAAC=1, т. е. 11·mn·2x5x=1, откуда mn=52.