Математика 9 класс 9-M-1

9-М-1. 4. Задачи о делении отрезка

  • Опубликовал Витченко О. Н.
  • 9 июня 2017 г. 13:00:18 +03
  • 0 комментариев
  • 165 просмотров

Рассмотрим задачи, решения которых основаны на теореме о пресечении угла параллельными прямыми и подобии треугольников. Напомним теорему:
 

Теорема 6

Параллельные прямые, пересекая стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки, т. е. если l1l2l_1 \parallel l_2,  `(AC)/(AB) = (AC_1)/(AB_1) = (C C_1)/(BB_1)`  или `m/x = (m + n)/(x + y) = n/y`. 

Пример 11

Точка `N` лежит на стороне `AC` треугольника `ABC` причём `AN:NC = 2:3`. Найти, в каком отношении медиана  `AM` делит отрезок `BN`. 

Решение

1. Пусть `O` - точка пересечения медианы `AM` и отрезка `BN`. Требуется найти отношение `BO:ON`.   Обозначим `AN = 2x`, тогда `NC = 3x`. Отметим, что  `BM = MC`  (рис. 18а).
Проведём прямую `NK` параллельно медиане `AM` (рис. 18б). Параллельные прямые `AM` и `NK` пересекают стороны угла `MCA`, следовательно, `(MK)/(KC) = 2/3`.   Полагаем `ul (MK = 2y)`, тогда  `KC = 3y`,    а т. к.  `BM = MC`,  то `ul (BM = 5y)`. 
2. Те же прямые пересекают стороны угла `NBC` (см. рис. 18в), поэтому  `(BO)/(ON) = (BM)/(MK) = (5y)/(2y)`,  т. е.  `(BO)/(ON) = 5/2`. 

Пример 12

Точки `D` и `F` лежат на сторонах `AB` и `BC` треугольника `ABC`, при этом `AD:DB = 1:2`  и  `BF:FC = 2:3`.  Прямая `DF` пересекает прямую `AC` в точке `K`.  Найти отношение `AK:AC`. 
   

Решение

1. Пусть  `AD = x`, `BF = 2y`, `KA = z`. Тогда  `DB = 2x` и `FC = 3y`.

Проводим прямую  `AE`,  параллельную стороне  `CB`.

`Delta ADE ~ Delta BDF| => AE:BF = AD:BD => ul(AE = y)`.

2. `Delta KAE ~ Delta KCF | => (KA)/(KC) = (AE)/(CF)`,   т. е. `z/(a + z) = y/(3y)`.    Находим `a = 2z`. 

Ответ:

`AK:AC = 1:2`. 

Пример 13

В треугольнике `ABC` точки `D` и `K` лежат соответственно на сторонах `AB` и `AC`, отрезки `BK` и `CD` пересекаются в точке `O` (рис. 20а), при этом  `BO:OK = 3:2` и  `CO:OD = 2:1`. Найти в каком отношении точка `K` делит сторону `AC`,  т. е. `AK:KC`.


Решение

1. Полагаем `OD = x`, `OK = 2y`,  тогда `OC = 2x` и `BO = 3y`. 
Проводим прямую  KFCDKF \parallel CD  (рис. 20б).
Из KFODKF \parallel OD `(/_ ABK)` следует `BD:DF = 3:2`. Обозначаем `DF = 2p`,  тогда `BD = 3p`.

2.  `Delta FBK ~ Delta DBO`, `FK:DO = FB:DB`, откуда  `FK = (5p)/(3p) * x = 5/3 x`.

3. `Delta AFK ~ Delta ADC`, `AF:AD = FK:DC`. Обозначаем `AF = z`, имеем  `z/(z + 2p) = (5/3 x)/(3x)`,
откуда `z = 5/2 p`, т. е.  `AF = 5/2 p`. 

4. Рассматриваем `/_ BAC`, FKDCFK \parallel DC, по теореме  `AK:KC = AF:FP`,  т. е.   `AK:KC = 5:4`. 

Все три рассмотренные задачи могут быть решены с применением теоремы Менелая.

Теорема Менелая (о треугольнике и секущей)

Пусть точка `A_1` лежит на стороне `BC`, точка `C_1` - на  стороне `AB`, а точка `B_1` - на продолжении стороны `AC` за точку `C`.

Если точки `A_1`, `B_1` и `C_1` лежат на одной прямой (рис. 21), то выполняется равенство
                                                            `(AC_1)/(C_1 B) * (BA_1)/(A_1C) * (CB_1)/(B_1A) = 1`.                                                    `(**)`
Обратно, если выполняется равенство `(**)`, то точки `A_1`, `B_1`  и `C_1` лежат на одной прямой. (Заметим, что можно считать `B_1C_1` секущей треугольника `ABC`,  а можно считать `BC` секущей треугольника `AB_1C_1`).


Доказательство

а) Предположим, что точки `A_1`, `B_1` и `C_1` лежат на одной прямой. Проведём  CKABCK \parallel AB (рис. 21).  `Delta CKB_1 ~ Delta AC_1B_1`, поэтому  `(CK)/(AC_1) = (CB_1)/(AB_1)`,  откуда `CK = (CB_1)/(AB_1) * AC_1`.
Далее: `Delta CKA_1 ~ Delta BC_1A_1`,  значит

                                                                     `(CK)/(BC_1) = (CA_1)/(BA_1)`.

Подставляя сюда выражение для `CK`, получим `(CB_1)/(AB_1) * (AC_1)/(BC_1) = (CA_1)/(BA_1)`,  т. е.  `(AC_1)/(C_1B) * (BA_1)/(A_1C) * (CB_1)/(B_1A) = 1`,  ч. т. д.

б) Пусть выполнено равенство `(**)` для точек `A_1`, `B_1` и `C_1` (рис. 22), докажем, что эти точки лежат на одной прямой.

Через две точки `A_1` и  `B_1` проведём прямую, пусть `C_2` - её точка пересечения с прямой  `AB`  (точка пересечения будет лежать на отрезке `AB`).

Три точки  `A_1`, `B_1` и `C_2` лежат на одной прямой и по доказанному в пункте а) выполняется равенство
                                                              `(AC_2)/(C_2B) * (BA_1)/(A_1C) * (CB_1)/(B_1A) = 1`.
Сравнив это равенство с равенством `(**)`, придём к выводу, что `(AC_2)/(C_2B) = (AC_1)/(C_1B)`. Точки  `C_2` и `C_1` лежат на отрезке  `AB`  и делят его в одном отношении, считая от конца  `A`.  Следовательно, точка  `C_2`  совпадает с точкой `C_1`,  т. е. точки `A_1`, `B_1` и `C_1`  лежат на одной прямой.

Стрелки на рисунке 21 (от точки `A`) показывают, как легко запомнить последовательность отрезков в пропорции  `(**)`.

Например, применим теорему Менелая к задаче из примера 12. Полагаем `BO = m`, `ON = n` (см. рис. 23) и рассматриваем треугольник `CBN` и секущую `AM`.
Имеем:

`(CM)/(BM) * (BO)/(ON) * (NA)/(AC) = 1`, т.  е.  `1/1 * m/n * (2x)/(5x) = 1`,  откуда  `m/n = 5/2`.