Математика 9 класс 9-М-3

§3. Неравенства с модулем

Простейшие неравенства решаются с помощью свойств модуля. 

Пример 5

Решите неравенство:  

а) `|x-2|>=-1`;  

б) `|x-4|<-2`;

в) `|1-x|<=4`;  

г) `|3+x|>5`. 

Решение

а) `|x-2|>=-1` - верно для всех `x`.

Ответ
`x` - любое число.


б)  Решений нет, т. к. `|x-4|>=0` для всех `x`.   

Ответ
нет решений.


в) Воспользуемся    снова    свойством   1010^\bigcirc (см. § 1). Тогда условие звучит так: расстояние от точки `x` до точки `1` не превосходит `4`. То есть, мы ищем все точки прямой, удалённые от точки `1` на расстояние, не большее `4` (см. рис. 7).

Запишем решение так:

`|1-x|<=4 iff -4<=1-x<=4 iff -3<=x<=5`.


Ответ
`x in [-3;5]`.


г) `|x+3|=|x-(-3)|`. Поэтому `|x+3|` - это расстояние между точками  и (–3). Ищем все точки на прямой, удалённые от точки (–3) на расстояние, большее 5 (см. рис. 8).

Запишем решение:

3+x>53+x>5,3+x<-5x>2,x<-8.\left|3+x\right|>5\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}3+x>5,\\3+x<-5\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>2,\\x<-8.\end{array}\right.

Ответ

`x in (-oo;-8)uu(2;oo)`.

При решении неравенств, содержащих знак модуля, часто бывают полезны следующие равносильные переходы.

1212^\bigcirc. `|f(x)|>|g(x)| iff f^2(x)>g^2(x)`.

1313^\bigcircfx>gxfx>gx,fx<-gx.\left|f\left(x\right)\right|>g\left(x\right)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f\left(x\right)>g\left(x\right),\\f\left(x\right)<-g\left(x\right).\end{array}\right.


1414^\bigcirc.  fx<gxfx<gx,fx>-gx.\left|f\left(x\right)\right|< g\left(x\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)< g\left(x\right),\\f\left(x\right)>-g\left(x\right).\end{array}\right.

 

Докажем некоторые из них.

Доказательство

1212^\bigcirc. Если обе части неравенства неотрицательны, то его можно возвести в квадрат. Таким образом, `|f(x)|>|g(x)| iff f^2(x)>g^2(x)`. Докажем в обратную сторону:

`f^2(x)>g^2(x) iff |f(x)|^2-|g(x)|^2>0 iff`

`iff (|f(x)|-|g(x)|)*(|f(x)|+(g(x)|)>0`. 

Последнее условие означает, что числа `|f(x)|+|g(x)|` и `|f(x)|-|g(x)|` имеют один знак; `|f(x)|+|g(x)|` не может быть отрицательным, поэтому оба числа должны быть положительны `=> |f(x)|-|g(x)|>0=> |f(x)|>|g(x)|`. Утверждение доказано.


Доказательство

1414^\bigcirc. Рассмотрим 2 случая.  

(1)  `g(x)<=0`. Тогда неравенство `|f(x)|<g(x)` не имеет решений;

не имеет решений и система, так как fx<gx0,fx>-gx0,\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)< g\left(x\right)\leq0,\\f\left(x\right)>-g\left(x\right)\geq0,\end{array}\right. откуда следует, что `f(x)>0` и `f(x)<0`, что невозможно. Значит, если `g(x)<=0`, система и неравенство равносильны.

(2). `g(x)>0`. Тогда наше утверждение сводится к простейшему неравенству с модулем: `|t|<a iff -a<t<a`.

Аналогично, `|f(x)|<g(x) iff -g(x)<f(x)<g(x)`.

Пример 6

Решите неравенство:

а) `|2x^2-3x+1|<=3x-2x^2-1`;

б) `|3x-7|>=|1-4x|`;

в) `||x^2-8x+2|-x^2|>=2x+2`.

Решение

а) `|2x^2-3x-1|<=3x-2x^2-1 iff`

`iff |2x^2-3x+1|<=-(2x^2-3x+1) iff^**` 

`iff 2x^2-3x+1<=0 iff (2x-1)(x-1)<=0 iff`

`iff 1/2 <=x<=1`.

                                          
`**` (т. к. `|a|<=-a iff a<=0`).
Ответ

`[1/2;1]`.


б) 3x-71-4x123x-721-4x2\left|3x-7\right|\geq\left|1-4x\right|\overset{12^\bigcirc}\Leftrightarrow\left(3x-7\right)^2\geq\left(1-4x\right)^2\Leftrightarrow

`iff (3-7)^2-(1-4x)^2>=0 iff`

`iff (3x-7-1+4x)(3x-7+1-4x)>=0 iff`

`iff (7x-8)(-6-x)>=0 iff -6<=x<=8/7`.

Ответ

`[-6;8/7]`.


в) x2-8x+2-x22x+213x2-8x+2-x22x+2x2-8x+2-x2-2x-2\left|\left|x^{2}-8x+2\right|-x^2\right|\geq2x+2\overset{13^\bigcirc}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left|x^2-8x+2\right|-x^2\geq2x+2\\\left|x^2-8x+2\right|-x^2\leq-2x-2\end{array}\right.\Leftrightarrow

x2-8x+2x2+2x+2,x2-8x+2x2-2x-213,14\left[\begin{array}{l}\left|x^2-8x+2\right|\geq x^2+2x+2,\\\left|x^2-8x+2\right|\leq x^2-2x-2\end{array}\right.\overset{13^\bigcirc,14^\bigcirc}\Leftrightarrow

13,14x2-8x+2x2+2x+2,x2-8x+2-x2-2x-2,x2-8x+2-x2-2x-2,x2-8x+2-x2+2x+2\overset{13^\bigcirc,14^\bigcirc}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x^2-8x+2\geq x^2+2x+2,\\x^2-8x+2\leq-x^2-2x-2,\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x^2-8x+2\leq-x^2-2x-2,\\x^2-8x+2\geq-x^2+2x+2\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow

x0,x2-3x+20,6x4,x2-5x0x0,1x2x23,x5,x0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x\leq0,\\x^2-3x+2\leq0,\\\left\{\begin{array}{l}6x\geq4,\\x^2-5x\geq0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x\leq0,\\1\leq x\leq2\\\left\{\begin{array}{l}x\geq\frac23,\\\left[\begin{array}{l}x\geq5,\\x\leq0\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrowx0,1x2,x5.\left[\begin{array}{l}x\leq0,\\1\leq x\leq2,\\x\geq5.\end{array}\right.


Ответ

`x in (-oo;0]uu[1;2]uu[5;+oo)`.


В некоторых случаях применение выше рассмотренных свойств нецелесообразно, и проще раскрыть модули по определению (рассмотрев знаки выражений под модулями).


Пример 7

Решите неравенство `6|x^2-3x-4|+1>5|x+5|`.

Решение

Решение проводится по той же схеме, что и в  примере 2. Отмечаем на числовой прямой точки `x=4`, `x=-1` и `x=-5`, в которых подмодульные выражения равны нулю.

а) `x<=-5`. Здесь  `x^2-3x-4>0`, `x+5<=0`, поэтому получаем   

`6x^2-18x-24+1> -5x-25 iff 6x^2-13x+2>0 iff`

`iff (x-2)(6x-1)>0 iff x in (-oo;1/6)uu(2;+oo)`.

С учётом ограничения `x<= -5 : x in (-oo;-5]`.

б) `x in (-5;-1]uu(4;+oo)`. На этих двух промежутках  `x^2-3x-4>=0`, `x+5>0`, поэтому получаем `6(x^2-3x-4)+1>5(x+5) iff 6x^2-23x-48>0 iff`

`iff (3x-16)(2x+3)>0 iff x in (-oo;-3/2)uu(16/3;+oo)`.

Учитывая рассматриваемые значения переменной, получаем  

`x in (-5;-3/2)uu(16/3;+oo)`.

в) `x in (-1;4]`. Тогда `x^2-3x-4<=0`, `x+5>0`  и неравенство принимает вид 

`-6(x^2-3x-4)+1>5(x+5) iff 6x^2-13x<0 iff`

`iff 6x(x-13/6)<0 iff 0<x<13/6`.

Объединяя результаты, получаем

`x in (-oo;-3/2)uu(0;13/6)uu(16/3;+oo)`.

Ответ

`x in (-oo;-3/2)uu(0;13/6)uu(16/3;+oo)`.