Математика 8 класс 8-М-2

§ 3 Параллелограмм

Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны (рис. 16). Параллелограмм – выпуклый четырёхугольник. В разных учебниках различные определения выпуклого четырёхугольника, приведём два равносильных определения:

1) Четырёхугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону.

2) Четырёхугольник называется выпуклым, если его диагонали пересекаются.

Равносильность доказывается на основе свойства полуплоскостей.

Легко доказывается теорема, что сумма углов выпуклого четырёхугольника равна  `360^@` (повторите по учебнику). 

Layer 1 A B C D  

                     Рис. 16

Свойства параллелограмма

  1. Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна `180^@`
  2. Противолежащие углы параллелограмма равны.
  3. Противолежащие стороны параллелограмма равны.
  4. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Признаки параллелограмма

  1. Если в четырёхугольнике две стороны параллельны и равны, то это параллелограмм.
  2. Если в четырёхугольнике противолежащие углы попарно равны, то это параллелограмм.
  3. Если в четырёхугольнике противолежащие стороны попарно равны, то это параллелограмм.
  4. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.
Доказательство

Докажем, например, признак 3.

Пусть в четырёхугольнике `ABCD` стороны удовлетворяют условиям `AB=DC` и `BC=AD` (рис. 17). Отметим соответственно равные стороны и проведём диагональ  `AC`. `Delta ABC= Delta CDA` (`AB=CD`, `BC=AD`, `AC` - общая сторона). В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы: против `AB` - угол `1`, против `CD` - угол `2`, `/_ 1 = /_ 2` (накрест лежащие углы)  BCAD\Rightarrow BC\parallel AD.  Против  `BC` -  угол  `3`,  против `AD` -  угол    `4`, `/_ 3 = /_ 4 =>` ABCDAB\parallel CD.

Противолежащие стороны попарно параллельны, значит  параллелограмм по определению.  

Свойства параллелограмма используются для доказательства  замечательной теоремы о высотах треугольника.

Теорема

Три высоты или три прямые, на которых лежат высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство

Через каждую вершину треугольника `ABC` (рис. 18) проведём прямую, параллельную противолежащей вершине стороне.  Получаем треугольник `A_1 B_1 C_1`, к сторонам которого перпендикулярны высоты данного (например, если `AH _|_ BC`, то из BCB1C1BC\parallel B_1C_1, следует `AH_|_B_1 C_1`). 

По построению ABCA1AB\parallel CA_1, ACBA1AC\parallel BA_1ABA1C\Rightarrow ABA_1C - параллелограмм. Также показывается, что `AC_1BC` - параллелограмм. По свойству параллелограмма `BA_1 = AC`, `C_1 B = AC => C_1 B = BA_1`, т. е. точка `B` - середина стороны `A_1 C_1`. Повторяя рассуждение, устанавливаем, что точка `A` - середина стороны `B_1 C_1` и точка `C` - середина стороны `A_1 B_1`. 

Прямые, на которых лежат высоты `AH`, `BF` и `CK` треугольника `ABC`, перпендикулярны к сторонам треугольника `A_1 B_1 C_1` и проходят через их середины, а три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (определяют центр окружности, описанной около треугольника `A_1 B_1 C_1`). Значит три прямые, на которых лежат высоты, пересекаются в одной точке.

Если треугольник остроугольный, то пересекаются сами высоты.

Если в треугольнике  `ABC` углы `A` и `C` - острые (рис. 19), то вершина `B` лежит в полосе между двумя параллельными прямыми `l_1` и `l_2`, которые проходят через точки `A` и `C` и перпендикулярны `AC`. Отсюда следует, что основание `F` её высоты `BF` лежит на стороне `AC`. Если угол `B` - также острый (т. е. треугольник `ABC` - остроугольный), то основание `H` высоты `AH` тоже лежит на стороне `BC` (рассуждения те же самые). Точки `B` и `F` лежат в разных полуплоскостях, образованных прямой `AH`, значит отрезок `BF` пересекает прямую `AH`. Точка пересечения `O` лежит на `BF`,  т. е. лежит внутри треугольника, и, значит, на отрезке `AH`.  По теореме третья высота пройдёт через ту же точку `O`.  

                        

Пример 7

Биссектриса угла  `A` параллелограмма `ABCD` пересекает сторону  `CD` в точке `K`,  а продолжение стороны `BC` в точке `F` (рис. 20). Найти стороны параллелограмма, если  `BF = 16` и `CK =5`. 

 

Решение

`AF` - биссектриса угла  `BAD`, 1=2\underline{\angle1=\angle2}. Прямые `AD` и `BF` - параллельны,  поэтому  3=1\angle3=\angle1 (как  накрест  лежащие),  тогда  `/_2 = /_3`, треугольник `ABF` -равнобедренный, `AB=BF`. Значит `AB =16`. 

По свойству параллелограмма `CD=AB`, значит `CD=16` и `DK=11`. Далее, из ABCDAB\parallel CD следует  `/_2 = /_4` (накрест лежащие), значит `/_4=/_1`, треугольник `ADK` - равнобедренный, `AD=DK=11`.

Ответ

`AD=BC=11`, `AB=CD=16`.

Пример 8

Дана окружность с диаметром `AB` и точка `M`, лежащая внутри окружности, но не на диаметре (рис. 20). С помощью односторонней линейки опустить из точки  `M` перпендикуляр на прямую  `AB`.

  – уменьшенная копия односторонней линейки).

Решение

Что мы можем делать с помощью односторонней линейки? Проводить прямые! Вот и проведём через точки `A` и `M` прямую до пересечения с окружностью в точке `A_1`, затем через точки `B` и `M` проведём прямую до пересечения с окружностью в точке `B_1` (рис. 21).

Далее, проведём прямую через точки `A` и `B_1` и прямую через точки `B` и `A_1` - получим в их пересечении точку `C`. Прямая `CM` - искомая. В треугольнике `ACB` высоты `A A_1` и `B B_1`  (углы `A A_1 C` и `B B_1 C` - прямые, опираются на диаметр) пересекаются в точке `M`. Точка `M` - точка пересечение высот треугольника `ACB`, значит `C C_1 _|_ AB`.

Если точка `M` лежит вне окружности и не на прямой `AB`, решение задачи усложняется, но немного (попробуйте сами).

Параллелограмм, в котором все углы прямые, называется прямоугольником.

Верна теорема: диагонали прямоугольника равны.

Верна и обратная теорема - признак  прямоугольника: если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.

 Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом. Сформулируйте сами две теоремы о диагоналях ромба и обратные к ним.

Прямоугольник, у  которого все стороны равны, называется квадратом. Квадрат - правильный четырёхугольник.

Пример 9

Через середину диагонали `BD` прямоугольника `ABCD` проведена перпендикулярно этой диагонали прямая, пересекающая сторону `BC` в точке `F` и сторону `AD` в точке `E`. Известно, что `EF = ED = 8`.  Найти большую сторону прямоугольника.

Решение

Середина диагонали `BD` - точка `O`, - есть центр прямоугольника, `BO=OD` (рис. 22). Отрезок `EF` делится точкой `O` пополам, действительно, `Delta BOF = Delta DOF` (углы при точке `O` равны как вертикальные,  `/_DBF = /_BDE` (как накрест лежащие при параллельных прямых `BC` и `AD`) и `BO=OD`; треугольники равны по второму признаку равенства).

 Значит `FO=FO=1/2 EF=4` и `BF=ED=8`. 

Треугольник `BOF` - прямоугольный, гипотенуза `BF=8`, катет `OF=4`, значит `/_OBF =30^@`.  

Диагонали прямоугольника равны, равны и их половины,  `BO=OC`. Треугольник `BOC` - равнобедренный, `/_BCO=30^@`, `/_CFO=180^@ - /_OFB =180^@ - 60^@ = 120^@`,

следовательно  `/_FOC = 30^@`. Треугольник `OFC` - равнобедренный, `FC=OF=4`, значит `BC=12`.  

Ответ

12.

Пример 10

Окружность, построенная как на диаметре, на стороне `AD` параллелограмма `ABCD` касается стороны `BC` и проходит через середину стороны `AB` (рис. 23). Найти углы параллелограмма. 

Решение

Пусть `O` - центр окружности и `R` - её радиус. Если `P` - точка касания стороны `BC`, то `OP_|_ BC`,  а из ADBCAD\parallel BC следует `OP_|_AD`. Это означает, что расстояние между параллельными прямыми `AD` и `BC` равно `R`. 

Точка `M` лежит на окружности, `OM=R`. Точка `M` - середина стороны `AB`. Если `MF _|_ AD` и `MK _|_ BC`, то точки `K`, `M` и `F` лежат на одной прямой (т. к. ADBCAD\parallel BC) и поэтому `KF=PO=R`. Прямоугольные треугольники `AMF` и `BMK` равны (по гипотенузе и острому углу) и `MF=1/2 KF = 1/2 R`. 

Из треугольника  `OMF`, в котором `MF_|_OF`, `OM=R` и `MF= R/2` следует, что /_MOF = 30^@`.  

Далее заметим, что треугольник `AOM` равнобедренный `(OA=OM=R)`,

угол при вершине `O` равен `30^@`, следовательно `/_OAM = /_ AMO = 75^@`. 

Итак, острый угол `A` параллелограмма равен `75^@`, а тупой угол `B` равен `105^@`.  

Ответ

`75^@` и `105^@`.