Математика 9 класс 9-М-3

§2. Рациональные неравенства. Метод интервалов.

  • Напомним, что дробь называют рациональной, если она представляет собой отношение многочленов (например, `(2x-1)/(x^2+3)`, `(5x^3)/(1-x)` и т. д.). Если обе части неравенства являются суммами рациональных дробей и многочленов, то такие неравенства называют рациональными. Для их решения применяют следующий алгоритм: все члены переносят в одну сторону, приводят их к общему знаменателю, а далее у полученной дроби числитель и знаменатель раскладывают на множители. После этого на числовой прямой отмечают точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль, а затем на полученных промежутках расставляют знаки, которые принимает дробь - далее остаётся записать ответ.

Покажем, как работает метод интервалов на нескольких примерах.

Пример 3

Решите неравенства:

а) `((x^2+5x+6)(x-4))/(x^2-x)>=0`; 

б) `(x-3)^2(x-4)^3(x-5)(x-6)^4<=0`;

в) `1/x<1/3`;

г) `((x^2-x-2)(2x-3-x^2))/((x^2+4x+5)(2x^2-x-6))<=0`;

д) `3/(x^3-3x^2+4)-10/(x^3-7x^2+4x+12)>1/(x^2-5x-6)`.

Решение

а) Раскладывая числитель и знаменатель дроби на множители, получаем

`((x+2)(x+3)(x+4))/(x(x-1))>=0`.                                   (1)

Точки, в которых числитель обращается в ноль (нули числителя), обозначаем на числовой прямой маленькими закрашенными кружочками – они будут включены в ответ, так как в них неравенство выполняется. Точки, в которых знаменатель обращается в ноль (нули знаменателя), обозначаем на числовой прямой маленькими пустыми кружочками (такие точки называются выколотыми) – они не будут включены в ответ, так как в них левая часть не определена.

 

Отмеченные точки делят числовую прямую на шесть промежутков, на каждом из которых знак левой части неравенства (1) постоянен. Чтобы определить знаки, сначала определим знак левой части (1) на крайнем правом промежутке `(4; +oo)`. Для этого можно подставить какое-либо значение переменной `x` из этого промежутка в (1), например, `x=1000`. Несложно видеть, что при этом каждый из множителей в числителе и знаменателе положителен, поэтому дробь больше нуля, и на промежутке `(4; +oo)` можем поставить знак «`+`».

Теперь переместимся в соседний промежуток `(1; 4)`. Заметим, что при переходе через точку `x=4` только один из множителей в (1) меняет знак (это `(x-4)`), а все остальные знаки остаются неизменными, поэтому дробь меняет знак, и на промежутке `(1; 4)` ставим знак «`-`». При переходе к каждому следующему промежутку ровно один множитель в числителе или знаменателе (1) меняет знак, поэтому меняет знак и вся дробь, то есть знаки чередуются. Получаем такую расстановку знаков:

 

Ответ

`x in [-3; -2]uu(0; 1)uu[4; +oo)`.

б) Здесь левая часть уже разложена на множители, и нам остаётся лишь расставить знаки. Для этого отмечаем на числовой прямой точки `x=3`, `x=4`, `x=5`, `x=6` (все они невыколотые и являются решениями неравенства) и приступаем к расстановке знаков. Принципиальное отличие этого примера от предыдущего в том, что некоторые из множителей возводятся в степень. На что это влияет? Если показатель степени чётный, то соответствующий множитель не меняет знак при переходе через ту точку, в которой он обращается в ноль (например, `(x-3)^2>=0` при любых `x`, поэтому с обеих сторон от точки `x=3` выражение `(x-3)^2` положительно). Если показатель степени нечётный, то множитель меняет знак при переходе через ту точку, в которой он равен нулю. В итоге получаем следующую расстановку знаков:

 

Не забываем также включить в ответ все точки, отмеченные на прямой жирными кружочками.

  

Ответ

`x in {3}uu[4;5]uu{6}`.

в) Переносим `1/3` влево и приводим дроби к общему знаменателю: `(3-x)/(3x)<0`. Расставляем знаки левой части на числовой прямой (для строгого неравенства все точки на прямой выколотые, так как нули числителя решениями неравенства не являются).

Ответ

 `x in (-oo; 0)uu(3;+oo)`. 

замечание

При решении этой задачи часто допускают следующие ошибки.

1) Умножают обе части неравенства на `x`. Этого делать нельзя, так как если мы умножаем обе части неравенства на отрицательное число, то знак неравенства надо поменять, если на положительное, то знак надо оставить таким, какой он и был. Поскольку знак `x` нам неизвестен, то мы не можем корректно выбрать знак нового неравенства.

2) В исходном неравенстве требуется сравнить две дроби с одинаковыми числителями. Значит больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Так рассуждать нельзя, поскольку это свойство справедливо лишь для тех дробей, у которых числитель и знаменатель положительны. Если  же числа могут быть  отрицательными, то это свойство неверно (например, `-3<3` и `1/(-3)<1/3`).   

г) Находим нули числителя и знаменателя. Получаем:

1. `x^2-x-2=0 iff x=2` или `x=-1` (поэтому

`x^2-x-2=(x-2)(x+1)`); 

2. `2x-3-x^2-x^2=0 iff O/` (т. к. дискриминант отрицателен). Следовательно, выражение `-x^2+2x-3` отрицательно при всех `x` (графиком функции `f(x)=-x^2+2x-3` является парабола с ветвями вниз, при этом она не пересекает ось абсцисс, так как у уравнения `f(x)=0` нет корней; значит, эта парабола целиком расположена ниже оси абсцисс, то есть  `f(x)<0` при всех `x`).    

3. `x^2+4x+5=0 iff O/`, поэтому `x^2+4x+5>0` при всех `x`.

4. `2x^2-x-6=0 iff x=2` или `x=-3/2`. Значит, 

`2x^2-x-6=2(x-2)(x+3/2)=(x-2)(2x+3)`.

Исходное неравенство равносильно следующему

`((x-2)(x+1)(2x-3-x^2))/((x^2+4x+5)(x-2)(2x+3))<=0`.

Отбросив множители `(2x-3-x^2)` и `(x^2+4x+5)`, знаки которых не зависят от `x` получаем

x-2x+1x-22x+30x+12x+30,x2.\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(2x+3\right)}\geq0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x+1}{2x+3}\geq0,\\x\neq2.\end{array}\right.

Решая первое неравенство системы методом интервалов, получаем

С учётом второго неравенства `x in (-oo; -3/2)uu[-1; 2)uu(2; +oo)`.

Ответ

`x in (-oo; -3/2)uu[-1; 2)uu(2; +oo)`.

д) Прежде всего,  необходимо привести дроби к общему знаменателю. Чтобы сделать это, раскладываем знаменатели дробей на множители.

Заметим, что `x=-1` является корнем каждого из знаменателей в левой части неравенства. Выполняя деление на `(x+1)`,  получаем следующие разложения на множители:

`x^3-3x^2+4=(x+1)(x^2-4x+4)=(x+1)(x-2)^2`;

`x^3-7x^2+4x+12=(x+1)(x^2-8x+12)=(x+1)(x-2)(x-6)`;

`x^2-5x-6=(x+1)(x-6)`. 

Преобразуем исходное неравенство:

`3/((x+1)(x-2)^2)-10/((x+1)(x-2)(x-6))>1/((x+1)(x-6)) iff`

`iff (3(x-6)-10(x-2)-(x-2)^2)/((x+1)(x-2)^2(x-6))>0 iff`

`iff (-x^2-3x-2)/((x+1)(x-2)^2(x-6))>0 iff`

`iff (-(x+1)(x+2))/((x+1)(x-2)^2(x-6))>0 iff`

x+2x-22x-6<0,x-1x+2x-6<0,x-1, x2.\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x+2}{\left(x-2\right)^2\left(x-6\right)}<0,\\x\neq-1\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x+2}{x-6}<0,\\x\neq-1,\;x\neq2.\end{array}\right.

Решая первое неравенство системы методом интервалов, находим, что `x in (-2; 6)`. Исключая точки `x=-1` и `x=2`, получаем `x in (-2;-1)uu(-1;2)uu(2;6)`.

Ответ

`x in (-2;-1)uu(-1;2)uu(2;6)`.

Заметим, что знаки следующих выражений совпадают:

                                                    `|a|-|b|` и `a^2-b^2`,

                                                     `a^(2n)-b^(2n)(n in NN)` и `a^2-b^2`,                                  (2)

                                                     `a^(2n+1)-b^(2n+1)(n in NN)` и `a-b`.

Это свойство иногда оказывается полезным при решении неравенств. Когда мы решаем дробно-рациональное неравенство (возможно, содержащее знак модуля), мы приводим его к виду «дробь `>0`» (или «дробь `>=0`»), после чего числитель и знаменатель дроби раскладываем на множители. Так как мы сравниваем дробь с нулём, то нас интересуют только знаки каждого из множителей в числителе и знаменателе. Следовательно, если мы некоторые из них заменим на выражения тех же самых знаков по формулам (2), то получим равносильное неравенство.

Пример 4

Решите неравенство  

`((x^8-256)(|3x+4|-|2x-7|))/(243-x^5)>=0`.

Решение

Заменим множитель `x^8-256=x^8-2^8` на `x^2-x^2`; 

множитель `|3x+4|-|2x-7|` на `(3x+4)^2-(2x-7)^2`; 

множитель  `243-x^5=3^5-x^5` на `3-x`. Получаем

 `((x^2-2^2)((3x+4)^2-(2x-7)^2))/(3-x)>=0`.

Каждую из скобок в числителе раскладываем на множители по формуле разности квадратов.

`((x-2)(x+2)(3x+4+2x-7)(3x+4-2x+7))/(3-x)>=0 iff`

`iff ((x-2)(x+2)(5x-3)(x+11))/(x-3)<=0 iff x in (-oo;-11]uu[-2;3/5]uu[2;3)`.

ответ

`x in (-oo;-11]uu[-2;3/5]uu[2;3)`.