Автор
Чивилев Виктор Иванович 1199 статей

§ 5. Потенциал

Рис. 5.1

Пусть пробный заряд `q` перемещается в электростатическом поле из точки `1` в точку `2` по некоторой траектории под действием нескольких сил (рис. 5.1). Каждая сила совершает над зарядом работу. Нас интересует работа, совершённая над зарядом силами электростатического поля. Оказывается (доказательства не приводим), – что эта работа не зависит от формы траектории. Например, работы на траекториях `1-3-2` и `1-4-2` равны. Из независимости работы от формы траектории следует равенство нулю работы по замкнутой траектории. Например, работа сил электростатического поля над перемещаемым по замкнутой траектории `BCDB` (рис. 5.1) зарядом `q` равна нулю: 

ABCDB=0A_{BCDB}=0.

Поля, для которых работа сил поля не зависит от формы траектории, называются потенциальными. В таких полях можно ввести понятие потенциальной энергии `"П"` и потенциала φ\varphi. Для электростатического поля работа сил поля над перемещаемым из точки `1` в точку `2` зарядом равна убыли (приращению с  обратным знаком) потенциальной энергии заряда в поле:

A12=П1-П2=-∆ПA_{12}={\mathrm П}_1-{\mathrm П}_2=-\triangle\mathrm П.

Потенциал данной точки поля вводится как отношение потенциальной энергии пробного заряда в поле к величине заряда: φ=Пq\varphi=\dfrac{\mathrm П}q.

Потенциал

это энергетическая характеристика поля, не зависящая от величины пробного заряда. С введением потенциала для работы `A_12` можно записать:


A12=q(φ1-φ2)A_{12}=q(\varphi_1-\varphi_2). (5.1)

Разность потенциалов φ1-φ2\varphi_1-\varphi_2 (напряжение) зависит только от положения точек `1` и `2`.

Потенциальная энергия и потенциал определены с точностью до произвольной постоянной. Потенциал (и потенциальную энергию) можно отсчитывать от некоторой точки, положив в ней потенциал равным нулю. Обычно полагают равным нулю потенциал бесконечно удалённой точки поля (бесконечности) или потенциал Земли.

Перенесём мысленно пробный заряд из данной точки электростатического поля с потенциалом φ\varphi в бесконечность. Силы поля совершат над зарядом работу `A`. Согласно (5.1) A=q(φ-φ∞).A=q(\varphi-\varphi_\infty).Если принять φ∞=0\varphi_\infty=0, то 

φ=Aq\varphi=\dfrac Aq. (5.2)

Равенство (5.2) удобно для нахождения потенциала данной точки поля.
Из принципа суперпозиции электрических полей и (5.2) можно вывести, что потенциал поля, созданного несколькими зарядами, равен сумме потенциалов полей, созданных отдельными зарядами:

φ=φ1+φ2+...=∑iφi\varphi=\varphi_1+\varphi_2+...=\sum_i\varphi_i.

Единицей потенциала (разности потенциалов) в системе СИ служит вольт (В):

`1"В"=1"Дж"//"Кл"`.

Не следует забывать, что независимость работы сил поля над перемещаемым зарядом от формы траектории и понятие потенциала справедливы только для электростатического поля и могут не иметь места для произвольного электрического поля.

Задача 5.1

В неоднородном электростатическом поле электрону сообщили в точке `B` скорость vB=1000v_B= 1000 км/с. Электрон, двигаясь свободно в поле по криволинейной траектории, достиг точки `C` со скоростью vC=2000v_C=2000 км/с. Какую разность потенциалов φB-φC\varphi_B-\varphi_C прошёл электрон?

Решение

Работа сил электростатического поля над электроном равна изменению кинетической энергии электрона:

-eφB-φC=mvc22-mvB22\left(-e\right)\left(\varphi_B-\varphi_C\right)=\dfrac{mv_c^2}2-\frac{mv_B^2}2.

Здесь e=1,6·10-19 Клe=1,6\cdot10^{-19}\;\mathrm{Кл} - модуль заряда электрона, m=9.1·10-31 кгm=9.1\cdot10^{-31\;}\mathrm{кг} - масса электрона.

Имеем:       φB-φC=-m2e(vC2-vB2)=-8,5В.\varphi_B-\varphi_C=-\dfrac m{2e}(v_C^2-v_B^2)=-8,5\mathrm В.