§ 4. Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

Автор
Чивилев Виктор Иванович 1370 статей

§ 4. Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

Пусть поверхностная плотность заряда (заряд единицы поверхности) равна $\sigma$ . Силовые линии перпендикулярны плоскости, густота их везде одинакова.
Это следует из соображений симметрии. На рис. 4.1 показано поле для $\sigma>0.$
Напряжённость поля по каждую сторону плоскости одна и та же, независимо от расстояния до плоскости (поле однородно). Приведём без доказательства выражение для модуля напряжённости электрического поля по любую сторону плоскости:

E=k2\pi\left|\sigma\right|=\dfrac{\left|\sigma\right|}{2\varepsilon_0}

(4.1)

Эту формулу можно обобщить. Пусть $\sigma$ произвольного знака. Направим ось `x` перпендикулярно плоскости (рис. 4.2). Можно убедиться непосредственной проверкой, что при $x>0\;E_x=\dfrac\sigma{2\varepsilon_0}$ , при $x<0\;E_x=\dfrac{-\sigma}{2\varepsilon_0}$ при любом знаке $\sigma$ . Здесь $E_x$ проекция напряжённости на ось `x`. Для запоминания обобщённых формул можно формально считать $\sigma>0$ и писать выражение для $E_x$ при $x>0$ и $x<0$ . Полученные формулы окажутся справедливыми и при $\sigma<0$ . Обобщение полезно тем, что нет знака модуля.


Рис. 4.1	Рис. 4.2

Задача 4.1

Равномерно заряженные пластины параллельны и находятся на расстоянии друг от друга много меньшем их размеров. Найти плотности зарядов $\sigma_1$ и $\sigma_2$ на пластинах, зная, что напряжённость поля в точках `A` и `B` вблизи пластин $E_A = 6000$ Н/Кл, $E_B = 2000$ Н/Кл (рис. 4.3).

Решение

Направим ось `x` на рис. 4.3 перпендикулярно пластинам, от первой ко второй. В любой точке по принципу суперпозиции полей напряжённость $\overrightarrow E=\overrightarrow{E_1}+\overrightarrow{E_2}$ , где $\overrightarrow{E_1},\;\overrightarrow{E_2}$ - напряжённости полей, созданных первой и второй пластинами. Запишем последнее равенство в проекциях на ось `x`:

$E_x=E_{1x}+E_{2x}$ .

Это равенство справедливо для любой точки. Для точек `A` и `B` оно имеет более конкретный вид:

Для т. $A:\;E_A=\dfrac{\sigma_1}{2\varepsilon_0}-\dfrac{\sigma_2}{2\varepsilon_0}$ ,

Для т. $B:\;E_B=\dfrac{\sigma_1}{2\varepsilon_0}+\dfrac{\sigma_2}{2\varepsilon_0}$ .

Рис. 4.3

Решая систему из последних двух уравнений, находим:

$\begin{array}{l}\sigma_1=\varepsilon_0(E_A+E_B)=7.08\cdot10^{-8}\mathrm{Кл}/\mathrm м^2,\;\\\sigma_2=\varepsilon_0(E_A-E_B)=-3.54\cdot10^{-8}\mathrm{Кл}/\mathrm м^2.\end{array}$

Заметим, что для решения задачи с использованием для напряжённости формулы с модулем пришлось бы перебрать возможные случаи для знаков зарядов пластин, поскольку знаки заранее неизвестны. Это усложнило бы решение. Попробуйте решить задачу вторым способом и сравните его с первым.

Комментарии