§6. Симметрические системы

Функция `f(x,y)` называется симметрической, если `f(x,y) = f(y,x)`.

Система уравнений вида fx,y=agx,y=b\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)=a\\g\left(x,y\right)=b\end{array}\right., где `f(x,y)`, `g(x,y)` - симметрические, называется симметрической системой. Такие системы решаются чаще всего с помощью введения новых  переменных `x+y=u`, `xy=v`.

Пример 21

Решите систему уравнений  

x3+x3y3+y3=17,x+xy+y=5.\left\{\begin{array}{l}x^3+x^3y^3+y^3=17,\\x+xy+y=5.\end{array}\right.

Решение

Эта алгебраическая (симметрическая) система, обычно она решается заменой `x+y=u`, `xy=v`. Заметив, что 

`x^3 +x^3 y^3 +y^3 =(x+y)(x^2 -xy+y^2 )+x^3 y^3 =`

`=(x+y)((x+y)^2 -3xy)+x^3 y^3 =u(u^2 -3v)+v^3`,

перепишем систему в виде

u3-3uv+v3=17,u+v=5⇔u=5-v,v2-5v+6=0⇔v=2, u=3,v=3, u=2⇔\left\{\begin{array}{l}u^3-3uv+v^3=17,\\u+v=5\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u=5-v,\\v^2-5v+6=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}v=2,\;u=3,\\v=3,\;u=2\end{array}\right.\Leftrightarrow

(в старых переменных)

x+y=2,xy=3,⇔x=2-y,y2-2y+3=0⇔∅.x+y=3,xy=2,⇔x=3-y,y2-3y+2=0⇔x=2, y=1,x=1, y=2.\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x+y=2,\\xy=3,\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=2-y,\\y^2-2y+3=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\varnothing.\\\left\{\begin{array}{l}x+y=3,\\xy=2,\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=3-y,\\y^2-3y+2=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=2,\;y=1,\\x=1,\;y=2.\end{array}\right.\end{array}\right.

Ответ

`(2;1), (1;2)`.

Замечание

Для успешного выполнения задания необходимо помнить, что строго монотонная функция любое своё значение принимает только один раз, т. е. если функция `y(x)` строго монотонна, то  для любых `x^** in D(y)`,  `x^(** **) in D(y)` следует, что `y(x^**) = y(x^(** **)) iff x^** = x^(** **)`.

Вспомним ещё свойства не просто монотонных функций, а нечётных монотонных.

Если  функция  нечётная,  то при любом `x` из области определения

`f(x) =-f(-x) iff f(x) + f(-x) =0`,  

т.  е.   функция  в  симметричных точках принимает «противоположные» значения.

В случае произвольной нечётной функции равенство `f(x_1) =-f(x_2)` может выполняться в нескольких точках (не только в симметричных): например,

`sin  pi/3 =-sin (- (pi)/3) =- sin (- (2pi)/3)`.

Если же функция нечётная, а к тому же  и строго монотонная, то равенство `f(x_1) + f(x_2) =0` выполняется только в симметричных точках  -  вспомним график функции  `y=x^3` - рис. 9.

Рис. 9

Итак,  если  нечётная и  строго монотонная функция, то

`f(x_1) =- f(x_2) iff f(x_1) + f(x_2) =0 iff x_2 =- x_1`.

Поэтому для такой функции `f(x):`

`f(x) + f(g(x)) =0 iff x=- g(x)`.