основано на том факте, что биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла.

основано на том, что серединный перпендикуляр отрезка есть геометрическое место точек, равноудалённых от концов этого отрезка.

Через вершины треугольника `ABC` проведём прямые, параллельные противолежащим сторонам (рис. 6).

В пересечении образуется треугольник `A_1 B_1 C_1`.

По построению `ABA_1C` - параллелограмм, поэтому `BA_1 = AC`. Аналогично устанавливается, что  `C_1B = AC`, следовательно  `C_1B = AC`, точка `B` - середина отрезка `C_1A_1`.

Совершенно так же показывается, что `C` - середина `B_1A_1` и `A` - середина `B_1 C_1`.  

Пусть `BN` - высота треугольника `ABC`, тогда для отрезка `A_1 C_1` прямая `BN` - серединный перпендикуляр. Откуда следует, что три прямые, на которых лежат высоты треугольника `ABC`, являются серединными перпендикулярами трёх сторон треугольника  `A_1B_1C_1`; а такие перпендикуляры пересекаются в одной точке (теорема 2).

Если треугольник остроугольный, то каждая из высот есть отрезок, соединяющий вершину и некоторую точку противолежащей стороны. В этом случае (см. рис. 6) точки `B` и `N` лежат в разных полуплоскостях, образуемых прямой `AM`, значит отрезок `BN` , пересекает прямую `AM`, точка пересечения лежит на высоте `BN`, т. е. лежит внутри треугольника.

В прямоугольном треугольнике точка пересечения высот есть вершина прямого угла.

Пусть  `E`, `D` и `F` - середины сторон `AB`, `BC` и `AC` треугольника `ABC` (рис. 7а).

Проведём медиану `AD` и через точки `E` и `F`  параллельные ей прямые `EK` и `FL`. По теореме Фалеса  `BK = KD` `(/_ABC`, $$ EK\Vert AD)$$ и  `DL = LC` `(/_ACB`,  $$ AD\Vert FL)$$. Но `BD = DC = a//2`,  поэтому `BK = KD = DL = LC = a//4`. По тойже теореме `BN = NM = MF` `(/_ FBC`, $$ NK\Vert MD\Vert FL)$$, поэтому `BM = 2MF`.

Это означает, что медиана `BF` в точке `M` пересечения с медианой `AD` разделились в отношении `2:1` считая от вершины.

Докажем, что и медиана `AD` в точке `M` разделилась в том же отношении. Рассуждения аналогичны, иллюстрация на рисунке 7б.

Если рассмотреть медианы `BF` и `CE` то также можно показать, что они пересекаются в той точке, в которой медиана `BF` делится в отношении `2:1` т. е. в той же точке `M`. И этой точкой медиана `CE` также разделится в отношении `2:1`, считая от вершины.

1. Пусть `AC = 6`, `BC = 8` и медианы `AN` и `BM` пересекаются в точке `O` и перпендикулярны (рис. 8).

Положим `AN = n` и `BM = m`. Из доказанной теоремы следует, что `AO = 2/3 n`    и    `BO = 2/3 m`.
2. Медианы перпендикулярны, поэтому треугольники `AOM` и `BON` прямоугольные.
Применим теорему Пифагора (ещё учтём, что `AM = 1/2 AC = 3` и `BN = 1/2 BC = 4`),  

получим: $$
\left\{
\begin{aligned}
16=\frac49 m^2+\frac19 n^2,\\
9=\frac19 m^2 + \frac49 n^2.\\
\end{aligned}
\right.
$$
Сложив эти равенства, найдём, что `m^2 + n^2 = 45`.
3. Длина стороны `AB`  находится из прямоугольного треугольника `AOB:` 

`x^2 = 4/9m^2 + 4/9n^2 = 4/9(m^2 + n^2) = 20`.

  Итак, `AB = 2 sqrt5`.