С помощью тождественных преобразований максимально упростить следующее логическое выражение:
`bar C vv` (`A` & `С`) `vv` (`bar(A vv C vv bar(B)`)
Максимально упростить, это значит довести выражение до такого вида, когда невозможно применить ни один из законов алгебры логики, которые сокращают длину выражения.
Для того, чтобы не запутаться, можно использовать общую стратегию упрощения логических выражений.
1) Избавиться от операций импликации.
2) Продвинуть отрицание вглубь выражения. То есть применять законы де Моргана, и закон двойного отрицания пока знак отрицания не будет стоять только над переменными (но не над операциями).
После пункта 2 наступает относительная свобода действий. Можно использовать тождества поглощения или раскрывать скобки.
В нашей задаче операция импликации отсутствует, поэтому первый пункт мы пропускаем. Переходим к пункту 2. Применяем два раза второй закон де Моргана (для дизъюнкции) и закон двойного отрицания к правой скобке и получаем следующее логическое выражение:
`bar C vv ` (`A` & `C`) `vv` (`bar A` & `bar C` & `B`)
Если теперь внимательно посмотреть на выражение, то очевидно, что к первому и третьему слагаемому можно применить первый закон поглощения, так как отрицание переменной `C` является первым слагаемым и входит в третье в качестве множителя.
Поскольку дизъюнкцию ещё называют логическим сложением, её операнды называют слагаемыми, аналогично конъюнкция – это логическое умножение, и её операнды называют множителями.
После применения первого закона поглощения получается следующее логическое выражение:
`bar C` `vv` (`A` & `C`)
Применим второй (нестандартный для алгебры) закон дистрибутивности. Получаем:
(`bar C vv A`) & (`bar C vv C`)
Ко второй скобке применяем закон исключённого третьего, превращаем её в единицу, а затем применяем закон поглощения константы `1` и в итоге получаем выражение: `bar C vv A`, которое упростить уже нельзя.
Для лучшего понимания, рекомендуется выписать исходное логическое выражение, последовательно применить к нему все описанные действия и сравнить свой результат с приведённым в конце решения задачи.
Обратите внимание, что исходное логическое выражение зависело от трёх переменных (`A, B, C`) , в то время как упрощённое в итоге зависит от двух логических переменных (`A` и `C`). При этом выражения всё равно остаются равносильными! Это происходит потому, что в процессе упрощения применялись законы поглощения. Аналогичный результат мог бы получиться, если в процессе упрощения выражения используются законы поглощения переменных константами. Исчезновение переменной при упрощении означает, что в исходном выражении она является несущественной.