Пример 15. Построим множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих уравнению $x^2 + xy = 0$.

Преобразуем уравнение: $x(x + y) = 0$. Таким образом, заданное уравнение равносильно совокупности двух уравнений $x = 0$ или $x + y = 0$ $(y = − x)$. Поэтому искомым множеством точек будет объединение этих двух прямых.

Построим множество точек $(x, y)$ таких, что

$x^2 + 4x + 4 + 4y^2 = 0$.

Преобразуем уравнение с помощью выделения полного квадрата: $(x + 2)2 + 4y^2 = 0$. Поскольку точные квадраты неотрицательны, то такому уравнению может удовлетворять лишь одна точка $(–2, 0)$.

Построим множество точек $(x, y)$ таких, что $|x − y − 1| + x^2 + 2xy + y^2 = 0$. Преобразуем уравнение: $|x − y − 1| = −(x + y)^2$. Так как модуль равен неотрицательному числу, то

$\left\{\begin{array}{l}x-y-1=0,\\-{(x+y)^2}=0;\end{array}\right.\;\;\left\{\begin{array}{l}x-y=1,\\x+y=0,\end{array}\right.$

т. е. уравнению снова будет удовлетворять единственная точка $(0,5; – 0,5)$ (см. рис. 39).

Построим множество точек $(x, y)$ таких, что

$\sqrt{(x − 3)(y + 2)} = \sqrt{3 − x} \sqrt{−y − 2}$.

Равенство $\sqrt{(x − 3)(y + 2)} = \sqrt{3 − x} \sqrt{−y − 2}$ будет верно для всяких $x$ и $y$, удовлетворяющих ОДЗ. Поэтому искомым множество точек будет ОДЗ, т. е. часть плоскости, ограниченная двумя прямыми $y = −2$ и $x = 3$ (рис. 40).

Построим множество точек, удовлетворяющих $|y| = |x|$.

По определению модуля получаем: $y = ±x$. Поэтому множество точек – объединение двух прямых линий (рис. 41).