Опубликовал
Кочерова А. С. 133 статьи

Математика 8 класс 8-М-4

§3. Свойства арифметического квадратного корня

В школьном учебнике у вас доказываются теоремы.

Теорема 2. Если a0a\geq 0 и b0b\geq 0, то ab=a·b\sqrt{ab}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}.

Теорема 3. Если a0a\geq 0 и b0b\geq 0, то ab=ab\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.

Пример 1

Найдите значение выражения(без калькулятора):

а) 5·35·175;\sqrt{5\cdot 35\cdot 175}; \:\:\:\: б) 51149;\sqrt{5\dfrac{11}{49}}; \:\:\:\: в) 75192;\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{192}}; \:\:\:\: г) 1492-7624572-3842;\sqrt{\dfrac{149^2-76^2}{457^2-384^2} }; \:\:\:\: д) 163·44\sqrt{16^3\cdot 4^4}.

Решение

\triangle а) 5·35·175=175·175=175\sqrt{5\cdot 35\cdot 175}= \sqrt{175\cdot 175} = 175.

б) 51149=25649=167.\sqrt{5\dfrac{11}{49} }= \sqrt{\dfrac{256}{49}}=\dfrac{16}{7}. \:\:\: в) 75192=75192=2564=58\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{192}}=\sqrt{\dfrac{75}{192}}=\sqrt{\dfrac{25}{64}}=\dfrac{5}{8}.

г) 1492-7624572-3842=(149-76)(149+76)(457-384)(457+384)=73·22573·841=225841=225841=1529\sqrt{\dfrac{149^2-76^2}{457^2-384^2} }=\sqrt{\dfrac{(149-76)(149+76)}{(457-384)(457+384)} }=\sqrt{\dfrac{73\cdot 225}{73 \cdot 841} }= \sqrt{\dfrac{225}{841}}=\dfrac{\sqrt{225}}{\sqrt{841}}=\dfrac{15}{29}

д) 163·44=(42)3·44=46·44=410=(45)2=45\sqrt{16^3\cdot 4^4}=\sqrt{(4^2)^3\cdot 4^4}=\sqrt{4^6\cdot 4^4}=\sqrt{4^{10}}=\sqrt{(4^5)^2}=4^5.

Можно решать и другим способом.

163·44=162·16·44=162·16·(42)2=16·4·42=42·4·42=45\sqrt{16^3\cdot 4^4}=\sqrt{16^2\cdot 16 \cdot 4^4}=\sqrt{16^2}\cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{(4^2)^2}=16\cdot 4 \cdot 4^2 = 4^2\cdot 4 \cdot 4^2 = 4^5. \blacktriangle

Рассмотрим 48\sqrt{48}. Преобразуем это выражение:

48=16·3=16·3=43\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{16}\cdot \sqrt{3}=4 \sqrt{3}.

В этом случае мы говорим, что множитель 44 вынесен из-под знака корня.

Теперь рассмотрим выражение 575\sqrt{7}, преобразуем его:

57=25·7=25·7=1755\sqrt{7}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{25\cdot 7}= \sqrt{175}.

В этом случае мы говорим, что множитель 55 внесли под знак корня.

Пример 2

Вынесите множитель из-под знака корня:

а) (513-419)2;\sqrt{(5\sqrt{13}-4\sqrt{19})^2}; \:\:\:\: б) (7-11)3(3-5)5;\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{11})^3(\sqrt{3}-\sqrt{5})^5};

в) --a4b11;-\sqrt{-a^4 b^{11} };\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: г) 21(xy)2\sqrt{21(xy)^2}, если xy0xy\leq 0

Решение

\triangle а) Так как a2=|a|\sqrt{a^2}=|a|, то (513-419)2=|513-419|.\sqrt{(5\sqrt{13}-4\sqrt{19})^2}=|5\sqrt{13}-4\sqrt{19}|.

Определим знак числа 513-4195\sqrt{13}-4\sqrt{19}. Числа 5135\sqrt{13} и 4194\sqrt{19} положительные. Рассмотрим их квадраты: (513)2=25·13=325(5\sqrt{13})^2=25\cdot 13 = 325 и (419)2=16·19=304(4\sqrt{19})^2=16\cdot 19=304. Так как 304<325304<325, то 304<325\sqrt{304}<\sqrt{325}, т. е. 513>4195\sqrt{13}>4\sqrt{19}, поэтому |513-419|=513-419|5\sqrt{13}-4\sqrt{19}|=5\sqrt{13}-4\sqrt{19}.

б) (7-11)3(3-5)5=(7-11)2(7-11)(3-5)4(3-5)=\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{11})^3(\sqrt{3}-\sqrt{5})^5}=\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{11})^2(\sqrt{7}-\sqrt{11})(\sqrt{3}-\sqrt{5})^4(\sqrt{3}-\sqrt{5})}=

=|7-11|(3-5)2(7-11)(3-5)=|\sqrt{7}-\sqrt{11}|(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{11})(\sqrt{3}-\sqrt{5})}.

Число 7<11\sqrt{7}<\sqrt{11}, т. к. (7)2=7(\sqrt{7})^2=7, (11)2=11(\sqrt{11})^2=11 и 7<117<11. Поэтому 7-11<0\sqrt{7}-\sqrt{11}<0, т. е. |7-11|=11-7|\sqrt{7}-\sqrt{11}|=\sqrt{11}-\sqrt{7}.

Окончательно получаем:

(11-7)(3-5)2(7-11)(3-5)(\sqrt{11}-\sqrt{7})(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{11})(\sqrt{3}-\sqrt{5})}.

в) Так как a40a^4\geq 0, то корень определен, если -b110-b^{11}\geq 0, т. е .b110b^{11}\leq 0, b0\: b\leq 0.

-a4(-b5)2(-b)=-a2(-b5)-b=a2b5-b-\sqrt{a^4(-b^5)^2(-b)}=-a^2 (-b^5) \sqrt{-b}=a^2b^5\sqrt{-b}.

г) 21(xy)2=|xy|21=-xy21\sqrt{21(xy)^2}=|xy|\sqrt{21}=-xy\sqrt{21}. \blacktriangle

Пример 3

Внесите множитель под знак корня:

а) (5-37)2+3;(5-\sqrt{37})\sqrt{\sqrt{2}+3}; \:\:\:\: б) (2a-1)1-2a;(2a-1)\sqrt{1-2a};\:\:\:\: в) -3xy-1(xy)3-3xy\sqrt{-\dfrac{1}{(xy)^3}}.

Решение

\triangle При решении этих примеров используем формулу a2=|a|\sqrt{a^2}=|a|.

а) Число 5-37<05-\sqrt{37}<0, т. к. 52=255^2=25, (37)2=37(\sqrt{37})^2=37 и 25<3725<37. Поэтому 

(5-37)2+3=-(37-5)2+3=-(37-5)2(2+3)(5-\sqrt{37})\sqrt{\sqrt{2}+3}=-(\sqrt{37}-5)\sqrt{\sqrt{2}+3}=-\sqrt{(\sqrt{37}-5)^2(\sqrt{2}+3)}.

б) Корень 1-2a\sqrt{1-2a} определен, если 1-2a01-2a \geq 0, 2a12a\leq 1, a12a\leq \frac{1}{2}. При таких aa выражение 2a-102a-1\leq 0. Поэтому

(2a-1)1-2a=-(1-2a)1-2a=-(1-2a)2(1-2a)=-(1-2a)3(2a-1)\sqrt{1-2a}=-(1-2a)\sqrt{1-2a}=-\sqrt{(1-2a)^2(1-2a)}=-\sqrt{(1-2a)^3}.

в) Корень -1(xy)3\sqrt{-\dfrac{1}{(xy)^3}} определен, если xy<0xy<0. Поэтому

-3xy-1(xy)3=3(-xy)-1(xy)3=9(-xy)2(-1(xy)3)=-9xy-3xy\sqrt{-\dfrac{1}{(xy)^3}}=3(-xy)\sqrt{-\dfrac{1}{(xy)^3}}=\sqrt{9(-xy)^2(-\dfrac{1}{(xy)^3})}=\sqrt{\dfrac{-9}{xy}}. \blacktriangle

Пример 4

Сравните числа aa и bb:

а) a=3+11a=\sqrt{3}+\sqrt{11} и b=6+8;b=\sqrt{6}+\sqrt{8};\:\:\:\: б) a=2-3a=2-\sqrt{3} и b=7-43b=\sqrt{7-4\sqrt{3}};

в) a=25+33-25-33a=\dfrac{2}{5+3\sqrt{3}}-\dfrac{2}{5-3\sqrt{3}} и b=110b=\sqrt{110}

Решение

\triangle а) Числа aa и bb положительные. Рассмотрим квадраты этих чисел. Имеем: a2=3+2311+11=14+233a^2=3+2\sqrt{3}\sqrt{11}+11=14+2\sqrt{33}, b2=6+268+8=14+248b^2=6+2\sqrt{6}\sqrt{8}+8=14+2\sqrt{48}. Так как 48>3348>33, то 48>33\sqrt{48}>\sqrt{33},  248>2332\sqrt{48}>2\sqrt{33}, поэтому b2>a2b^2>a^2 и b>ab>a.

б) Число a>0a>0, т. к. 22>(3)2=32^2>(\sqrt{3})^2=3. Число 7-43>07-4\sqrt{3}>0, т. к. 72>(43)2=487^2>(4\sqrt{3})^2=48. Отсюда следует, что число bb определено и оно больше нуля. 

Таким образом, числа aa и bb положительные. Рассмотрим их квадраты: a2=(2-3)2=4-43+3=7-43,a^2=(2-\sqrt{3})^2=4-4\sqrt{3}+3=7-4\sqrt{3},\:\: b2=7-43b^2=7-4\sqrt{3}. Следовательно, a=ba=b.

в) a=25+33-25-33a=\dfrac{2}{5+3\sqrt{3}}-\dfrac{2}{5-3\sqrt{3}}.

Приводим дроби к общему знаменателю, получаем:

a=10-63-10-63(5+33)(5-33)=-123-2=63=108a=\dfrac{10-6\sqrt{3}-10-6\sqrt{3}}{(5+3\sqrt{3})(5-3\sqrt{3})}=\dfrac{-12\sqrt{3}}{-2}=6\sqrt{3}=\sqrt{108}.

Так как 110>108110>108, то 110>108\sqrt{110}>\sqrt{108} и b>ab>a. \blacktriangle

Пример 5
а) Укажите два рациональных числа, лежащих между числами 3\sqrt{3} и 5\sqrt{5}.
б) Укажите два иррациональных числа, лежащих между числами 3\sqrt{3} и 5\sqrt{5}.
Решение

\triangle а) Из теоремы сравнения корней следует, что 1<3<4\sqrt{1}<\sqrt{3}<\sqrt{4}. т. е. 1<3<21<\sqrt{3}<2. Заметим, что число 1.82=3.24>31.8^2=3.24>3, а 1.92=3.61>31.9^2=3.61>3, таким образом 3<1.8<2<5\sqrt{3}<1.8<2<\sqrt{5}, т. е. 1.81.8 является числом рациональным и располагается между числами 3\sqrt{3} и 5\sqrt{5}. Число 1.91.9 удовлетворяет неравенству 3<1.9<2<5\sqrt{3}<1.9<2<\sqrt{5}, т. е. 1.91.9 также располагается между числами 3\sqrt{3} и 5\sqrt{5}.

б) Иррациональные числа являются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Рассмотрим дробь a=1,810110111011110...a=1,810110111011110... Это бесконечная непериодическая дробь, после цифры 88 идет цифра 11, затем ноль, затем 22 цифры 11, снова ноль и т. д. Данная дробь больше, чем 1.81.8, т. к. после цифры .88 идет 11. Для числа aa выполняются неравенства 3<a<2<5\sqrt{3}<a<2<\sqrt{5}

Аналогично строим вторую дробь: b=1,820220222022220...b=1,820220222022220...\:, 3<b<2<5\sqrt{3}<b<2<\sqrt{5}. \blacktriangle

Пример 6

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) 235-7;\dfrac{2}{3\sqrt{5}-\sqrt{7}};\:\:\:\: б) 1+23-2+5\dfrac{1+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}+\sqrt{5}}.

Решение

\triangle Эту задачу надо понимать так: следует так преобразовать дробь, чтобы в знаменателе отсутствовали квадратные корни. 

При решении этих задач полезно использовать формулу:

(a-b)(a+b)=a2-b2(a-b)(a+b)=a^2-b^2

а) Умножим числитель и знаменатель дроби на 35+73\sqrt{5}+\sqrt{7}. Получим:

2(35+7)(35-7)(35+7)=65+27(35)2-(7)2=65+2745-7=35+719\dfrac{2(3\sqrt{5}+\sqrt{7})}{(3\sqrt{5}-\sqrt{7})(3\sqrt{5}+\sqrt{7})}=\dfrac{6\sqrt{5}+2\sqrt{7}}{(3\sqrt{5})^2-(\sqrt{7})^2}=\dfrac{6\sqrt{5}+2\sqrt{7}}{45-7}=\dfrac{3\sqrt{5}+\sqrt{7}}{19}.

б) Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение (3-2)-50(3-\sqrt{2})-\sqrt{5}\neq 0. Получим: (1+2)((3-2)-5)((3-2)+5)((3-2)-5)=3-2-5+32-2-10(9+2-62)-5=\dfrac{(1+\sqrt{2})((3-\sqrt{2})-\sqrt{5})}{((3-\sqrt{2})+\sqrt{5})((3-\sqrt{2})-\sqrt{5})}=\dfrac{3-\sqrt{2}-\sqrt{5}+3\sqrt{2}-2-\sqrt{10}}{(9+2-6\sqrt{2})-5}=

=1+22-5-106(1-2)=\dfrac{1+2\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{10}}{6(1-\sqrt{2})}.

В полученной дроби умножаем числитель и знаменатель на 1+21+\sqrt{2}, получаем: (1+2)(1+22-5-10)6(1-2)=-1+2+22+4-5-10-10-206=\dfrac{(1+\sqrt{2})(1+2\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{10})}{6(1-2)}=-\dfrac{1+\sqrt{2}+2\sqrt{2}+4-\sqrt{5}-\sqrt{10}-\sqrt{10}-\sqrt{20}}{6}=

=-5+32-35-2106=-\dfrac{5+3\sqrt{2}-3\sqrt{5}-2\sqrt{10}}{6}. \blacktriangle