Математика 8 класс 8-М-4

§2. Уравнение $$x^2=a$$

Если a<0a<0, то уравнение x2=ax^2=a не имеет решений. Если a=0a=0, то уравнение имеет единственное решение x=0x=0. Рассмотрим теперь уравнение x2=ax^2=a при a>0a>0

Рассмотрим графики функций y=x2y=x^2 \: и y=ay=a (рис. 1). Если a=1a=1, то уравнение x2=1x^2=1 имеет два корня: 11 и -1-1. Если a=4a=4, то уравнение x2=4x^2=4 имеет два корня: 22 и -2-2. Один из корней совпадает с арифметическим корнем из числа 44, а второй корень - число, противоположное первому корню. 

Рассмотрим теперь уравнение x2=2x^2=2

В первом задании мы уже говорили о том, что не существует рационального числа, квадрат которого равен двум. Арифметический корень 2\sqrt{2} является числом иррациональным. 

Пример 1

Докажите, что число 7\sqrt{7} является числом иррациональным.

Решение

\triangle Предположим, что 7\sqrt{7} является числом рациональным, т. е. 7=mn\sqrt{7}=\dfrac{m}{n}, где nn - натуральное число, mm - целое число и mn\dfrac{m}{n} - несократимая дробь. Из определения арифметического корня следует, что m>0m>0, т. е. mm должно быть также натуральным числом. Тогда 

(7)2=7=m2n2,(\sqrt{7})^2=7=\dfrac{m^2}{n^2},\:\:\: 7n2=m2.7n^2=m^2.

Левая часть полученного выражения делится на 77, поэтому и m2m^2 делится на 77, т. е. mm делится на 77. Предположим, что число mm не делится на 77, тогда m=7k+pm=7k+p, где pp может быть равным 11, 22, 33, 44, 55, 66. Рассмотрим уравнение: 7n2=(7k+p)2,7n^2 = (7k+p)^2,

7n2=49k2++14kp+p27n^2=49k^2++14kp+p^2.

Выражение p2p^2 принимает значения 11, 44, 99, 66, 2525, 3636. Ни одно из этих чисел не делится на 77, следовательно p=0p=0, тогда m=7km=7k. Из уравнения 7n2=49k27n^2=49k^2, n2=7k2n^2=7k^2. Тогда легко установить, что nn делится на 77, т. е. n=7qn=7q, но тогда дробь mn\dfrac{m}{n} сократимая, что противоречит нашему предположению. Следовательно, число 7\sqrt{7} является иррациональным числом. \blacktriangle

Из рисунка следует, что если a>b0a>b \geq 0, то a>b\sqrt{a}>\sqrt{b}. Поэтому, например, 119>80\sqrt{119}>\sqrt{80}; 2,37>1,5\sqrt{2,37}>\sqrt{1,5}.

В школьных учебниках доказываются три теоремы:

Теорема 1. Если a>b>0a>b>0, то a>b\sqrt{a}>\sqrt{b}

Пример 2

Сравните числа a=23a=2\sqrt{3} и b=1247b=\dfrac{1}{2} \sqrt{47}.

Решение

\triangle Из определения арифметического корня следует, что a2=4·3=12a^2=4\cdot 3=12; b2=14·47=1134b^2=\dfrac{1}{4} \cdot 47 = 11\dfrac{3}{4}. Так как 12>113412>11\dfrac{3}{4}, то число a>ba>b. \blacktriangle

Пример 3

Найдите значение выражения (-3)2-5(3)2+23·3(-\sqrt{3})^2-5(\sqrt{3})^2+2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}.

Решение

\triangle (-3)2=(3)2=3;(-\sqrt{3})^2=(\sqrt{3})^2=3; \:\:\:\:\: 23·3=2(3)2=2·3=62\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2(\sqrt{3})^2 = 2 \cdot 3 = 6.

Получаем 3-5·3+6=-63-5\cdot 3 + 6 = -6. \blacktriangle

Пример 4

Между какими натуральными числами расположено число a=13209a=\dfrac{1}{3} \sqrt{209}?

Решение

\triangle a2=(13209)2=19·209=2329a^2=(\dfrac{1}{3} \sqrt{209})^2 = \dfrac{1}{9} \cdot 209 = 23 \dfrac{2}{9}. Заметим, что 16<2329<2516< 23\dfrac{2}{9}<25, поэтому 16<a<25\sqrt{16}<a<\sqrt{25}, т.е 4<a<5\: 4<a<5. \blacktriangle