Математика 8 класс 8-М-4

§1. Определение арифметического квадратного корня

Рассмотрим простейшую задачу. Пусть площадь квадрата равна 25. Требуется определить сторону квадрата. Если сторона квадрата равна xx, то для нахождения длин сторон квадрата получаем уравнение x2=25x^2=25. Этому уравнению удовлетворяют два числа: 5 и -5. Эти числа называют квадратными корнями числа 25. Заметим, что один корень является положительным, а второй корень является отрицательным числом. 

Арифметическим квадратным корнем из числа aa называется неотрицательное число, квадрат которого равен aa
Обозначают арифметический квадратный корень так: a\sqrt{a}.

Например, 64=8\sqrt{64}=8; 1,44=1,2\sqrt{1,44}=1,2; 0=0\sqrt{0}=0

Равенство a=b\sqrt{a}=b является верным, если выполняются два условия: 1) b0b \geq 0 и 2) b2=ab^2=a.

При a<0a<0 выражение a\sqrt{a} не имеет смысла, т. к. квадрат любого числа - число неотрицательное. Поэтому выражения -49\sqrt{-49} и -3,5\sqrt{-3,5} не имеют смысла. 

Из определения арифметического корня следует, что если a\sqrt{a} имеет смысл, то (a)2=a(\sqrt{a})^2=a и a2=|a|\sqrt{a^2}=|a|.

Докажем, что, действительно, a2=|a|\sqrt{a^2}=|a|. Если a0a \geq 0, то из определения арифметического квадратного корня следует, что a2=|a|\sqrt{a^2}=|a|.

Если же a<0a<0, то -a>0-a>0 и (-a)2=a2(-a)^2=a^2. Таким образом, арифметический квадратный корень a2\sqrt{a^2} равен aa, если a0a \geq 0 и равен (-a)(-a), если a<0a<0, т. е. a2=|a|\sqrt{a^2}=|a|.

Пример 1

Найдите значение выражения:

а) 212,25-0,1·0,252\sqrt{12,25}-0,1\cdot \sqrt{0,25} \:\:\:   б) (-9)2\sqrt{(-9)^2} \:\:\: в) -16,2\sqrt{-16,2}

Решение

\triangle  а) Из определения арифметического корня следует, что 12,25=3,5\sqrt{12,25}=3,5, т.к  3,5>03,5>0 и 3,52=12,253,5^2=12,25; 0,25=0,5\sqrt{0,25}=0,5, т. к. 0,5>00,5>0 и 0,52=0,250,5^2=0,25. Получаем: 2·3,5-0,1·0,5=7-0,05=6,952\cdot 3,5 - 0,1\cdot 0,5 = 7-0,05=6,95.

б) (-9)2=9\sqrt{(-9)^2}=9, т.к (-9)2=|-9|=9.\sqrt{(-9)^2}=|-9|=9.

в) Данное выражение не имеет смысла, т. к. квадрат любого числа является неотрицательным числом.  \blacktriangle

Пример 2

При каких xx имеет смысл выражение:

а) 3xx-1;\dfrac{3x}{\sqrt{x-1}}; \:\:\: б) 2x+1x+x+2\dfrac{2x+1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+2}} \:\:\:?

Решение

\triangle а) Выражение x-1\sqrt{x-1} определено, если x-10x-1 \geq 0, т. е. при x1x \geq 1. Но т. к. x-1\sqrt{x-1} стоит в знаменателе, то он не должен быть равен нулю, т. е. данное выражение имеет смысл при x>1x>1.

б) Выражение x\sqrt{x} определено при x0x \geq 0, а выражение x+2\sqrt{x+2} определено при x+20x+2\geq 0, x-2x \geq -2. Таким образом, при x0x \geq 0 определены оба корня. При таких xx имеем x0\sqrt{x} \geq 0 и x+2>0\sqrt{x+2}>0, поэтому знаменатель при x0x \geq 0 не обращается в нуль, а значит, при x0x \geq 0 данное выражение имеет смысл. \blacktriangle

Пример 3

Решите уравнение:

а) x+2=0\sqrt{x}+2=0 \:\: б) x-3=0\sqrt{x}-3=0 \:\: в) 5x+6=6\sqrt{5x+6}=6 \:\: г) 3x-7=-5\sqrt{3x-7}=-5

Решение

\triangle а) Арифметический корень x\sqrt{x} определен при x0x \geq 0, при этом x0\sqrt{x}\geq 0, значит, при любом x0x \geq 0 выражение x+22\sqrt{x}+2 \geq 2, поэтому данное уравнение не имеет решений.

б) x=3\sqrt{x}=3. Из определения арифметического корня следует, что (x)2=x=9(\sqrt{x})^2=x=9, т. е. x=9x=9 является корнем уравнения.

в) Предположим, что данное уравнение имеет решение, тогда (5x+6)2=5x+6=62(\sqrt{5x+6})^2=5x+6=6^2. Отсюда уже видно, что 5x+6>05x+6>0, т. е. выражение 5x+6\sqrt{5x+6} определено. Решаем уравнение 5x+6=365x+6=36 \:\:, 5x=305x=30 \:\:, x=6x=6.

г) Уравнение не имеет смысла, т. к. арифметический корень число неотрицательное, а число -5<0-5<0. \blacktriangle