Математика 9 класс 9-М-4

4. Симметрические системы

Многочлен с двумя переменными `F(x,y)` называется симметрическим, если `F(x,y)=F(y,x)`. Иными словами, многочлен является симметрическим, если он не изменяется, когда переменные `x` и `y` меняются местами. Например, многочлены `x^3+y^3`; `xy-590`; `2x^2y+y+2xy^2+x` являются симметрическими, а многочлены `x^2+y^2-6x` и `2x^5+2y` симметрическими не являются.

Многочлены `u=x+y` и `v=xy` называются элементарными симметрическими многочленами. Оказывается, что любой симметрический многочлен можно представить в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов. Последнее утверждение часто оказывается полезным при решении систем, в которых оба уравнения симметрические. А именно, такие системы обычно упрощаются при замене `x+y=u`, `xy=v`. Заметим, что

                             `x^2+y^2=(x^2+2xy+y^2)-2xy=(x+y)^2-2xy=u^2-2v`;           (10)

`x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=u((x^2+y^2)-xy)=`

                                                         `=u(u^2-2v-v)=u^3-3uv`;                                 (11)

`x^4+y^4=(x^4+2x^2y^2+y^4)-2x^2y^2=(x^2+y^2)^2-2(xy)^2=`

`(u^2-2v)^2-2v^2=u^4-4u^2v+2v^2`.

Если мы хотим получить выражение для  `x^5+y^5`, то можно, например, перемножить почленно два равенства (10) и (11), тогда получим:

`(x^2+y^2)(x^3+y^3)=(u^2-2v)(u^3-3uv) iff`

`iff x^5+y^5+x^2y^3+x^3y^2=u^5-5u^3v+6uv^2 iff`

`iff x^5+y^5=u^5-5u^3v+6uv^2-x^2y^2(x+y)`,

откуда `x^5+y^5=u^5-5u^3v+6uv^2-v^2u=u^5-5u^3v+5uv^2`.

Пример 14

Решите системы уравнений:

а) x3+y3=7,xyx+y=-2;\left\{\begin{array}{l}x^3+y^3=7,\\xy\left(x+y\right)=-2;\end{array}\right.

б)  x2y-xy2=6,xy+x-y=5.\left\{\begin{array}{l}x^2y-xy^2=6,\\xy+x-y=5.\end{array}\right.

Решение

а) После замены система принимает вид

 u3-3uv=7,uv=-2,u3=1,uv=-2,u=1,v=-2.\left\{\begin{array}{l}u^3-3uv=7,\\uv=-2,\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u^3=1,\\uv=-2,\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u=1,\\v=-2.\end{array}\right.                    

Значит, x+y=1,xy=-2.\left\{\begin{array}{l}x+y=1,\\xy=-2.\end{array}\right.

Решая эту систему[1], получаем две пары чисел: `(2;-1)` и `(-1;2)`.

Ответ

`(2;-1)`, `(-1;2)`.

б) Введём замену `x=-z`. Тогда система принимает вид:

z2y+zy2=6,-zy-z-y=5,\left\{\begin{array}{l}z^2y+zy^2=6,\\-zy-z-y=5,\end{array}\right.

т. е. она становится симметрической! Пусть `y+z=u`, `yz=v`.  Система преобразуется к виду:

uv=6,u+v=-5u=-3,  v=-2;u=-2,  v=-3.\left\{\begin{array}{l}uv=6,\\u+v=-5\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}u=-3,\;\;v=-2;\\u=-2,\;\;v=-3.\end{array}\right.

Если  `u=-3`, `v=-2`, то y+z=-3,yz=-2y=-3-z,z2+3z-2=0.\left\{\begin{array}{l}y+z=-3,\\yz=-2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=-3-z,\\z^2+3z-2=0.\end{array}\right.

Получаем две пары `y=(-3-sqrt(17))/2`, `z=(-3+sqrt(17))/2`  и  `y=(-3+sqrt(17))/2`, `z=(-3-sqrt(17))/2`. 

Если  `u=-2`, `v=-3`, то y+z=-2,yz=-3,\left\{\begin{array}{l}y+z=-2,\\yz=-3,\end{array}\right.      откуда  `y=-3`, `z=1` или `y=1`, `z=-3`.  

Учитывая, что `x=-z`, получаем такие решения:

`((3-sqrt(17))/2;(-3-sqrt(17))/2)`,  `((3+sqrt(17))/2;(-3+sqrt(17))/2)`,  `(-1;-3)`,  `(3;1)`.

Ответ

`((3-sqrt(17))/2;(-3-sqrt(17))/2)`,  `((3+sqrt(17))/2;(-3+sqrt(17))/2)`,  `(-1;-3)`,  `(3;1)`.


[1] Система уравнений  x+y=a,xy=b,\left\{\begin{array}{l}x+y=a,\\xy=b,\end{array}\right. где `a`, `b` - известные числа, может иметь не более двух решений (т. к. при подстановке `y=a-x` во второе уравнение получаем квадратное уравнение). Поэтому если нам удалось подобрать решение этой системы `(x_0;y_0)`, то вторым решением является `(y_0;x_0)` в силу симметричности, а других решений нет. (Если оказалось, что `y_0=x_0`, то можете в качестве упражнения показать, что такая система имеет ровно одно решение).