Математика 9 класс 9-М-4

3. Системы, сводящиеся к решению однородного уравнения

Уравнения вида `P(x,y)=0`, где `P(x,y)` - многочлен с двумя переменными `x` и `y`, называются однородными относительно `x` и `y`, степени `k`, если в каждом из членов сумма степеней `x` и `y`, одинакова и равна `k`. Например, уравнение `x^2-3xy-7y^2=0` является однородным второй степени, а `x^3-xy^2-2y^3=0` - однородным третьей степени. Уравнение `(x^3)/y-xy-(2y^3)/x=0`, вообще говоря, однородным не является, т. к. левая часть не многочлен. Тем не менее, в каждом из членов сумма степеней `x` и `y` равна двум (например, `(x^3)/y=x^3y^(-1)`, `3+(-1)=2`). В этом случае уравнение станет однородным, если избавиться от знаменателей,  т. е.  домножить  обе   части  на `xy`  (получится `x^4-x^2y^2-2y^4=0`, т. е. однородное уравнение четвёртой степени).

Если обе части однородного уравнения степени `k` разделить на `x^k` или `y^k`, то получится уравнение относительно дроби `y/x` или `x/y` (при этом перед делением надо отдельно разобрать случай `x=0`, если делим на `x^k`, и `y=0`,  если делим на `y^k`).

Пример 13

Решите системы уравнений:

а) 2x2+y2=6,3x2+2xy-y2=3;\left\{\begin{array}{l}2x^2+y^2=6,\\3x^2+2xy-y^2=3;\end{array}\right.      

б) 3x-9yx+y+2x+yx-y=4,x2-y2=48;\left\{\begin{array}{l}\dfrac{3x-9y}{x+y}+\dfrac{2x+y}{x-y}=4,\\x^2-y^2=48;\end{array}\right.

Решение

а) Складываем первое уравнение, умноженное на `(-1)` со вторым уравнением, умноженным на `2`, и получаем `4x^2+4xy-3y^2=0` (т. е. однородное уравнение).

Покажем два способа его решения.

а) Решаем как квадратное уравнение относительно `x`. Тогда  `D=(4y)^2+4*4*3y^2=64y^2`; `x=(-4y+-8y)/8`; `x=-3/2  y` или `x=1/2  y`.

б) Если `y=0`, то уравнение принимает вид `4x^2=0`, т. е. `x=0`. Но пара чисел `x=y=0` не удовлетворяет уравнениям исходной системы, т. е. при `y=0` решений нет. Если `y!=0`, то делим обе части уравнения на `y^2` и получаем `4(x/y)^2+4(x/y)-3=0`. Это квадратное уравнение относительно дроби `x/y`. Из него получаем, что `x/y=-3/2` или `x/y=1/2`, т. е.  `x=-(3y)/2` или `x=y/2`.

Второй способ потребовал от нас несколько больше времени, но он более  универсален, так  как  подходит не только для однородных  урав-

нений второй степени, но и для более высоких степеней[1]. Вернёмся к нашей системе:

                   (1)   `y=2x=>2x^2+4x^2=6`, `x=+-1`.

                   (2)   `y=-2/3x=>2x^2+4/9x^2=6`, `x=+-(3sqrt3)/(sqrt11)`. 

Находим соответствующие значения `y`.  

Ответ

`(-1;-2)`, `(1;2)`, `((3sqrt3)/(sqrt(11));-(2sqrt3)/(sqrt(11)))`, `(-(3sqrt3)/(sqrt(11));(2sqrt3)/(sqrt(11)))`.

б) Если обе части первого уравнения умножить на `(x-y)(x+y)`, а затем раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то получится однородное уравнение второй степени. Но можно поступить и по-другому. Если `y=0`, то первое уравнение системы принимает вид  `3+2=4`, то есть здесь нет решений. Если `y!=0`, то разделив числитель и знаменатель каждой дроби на `y` и обозначив `x/y=t`, получаем:

`(3t-9)/(t+1)+(2t+1)/(t-1)=4 iff`

t±1,3t-9t-1+2t+1t+1=4t2-1\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}t\neq\pm1,\\\left(3t-9\right)\left(t-1\right)+\left(2t+1\right)\left(t+1\right)=4\left(t^2-1\right)\end{array}\right.\Leftrightarrow

t±1,t2-9t+14=0t=2,t=7.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}t\neq\pm1,\\t^2-9t+14=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=2,\\t=7.\end{array}\right.

Если `t=2`, то `x=2y` и второе уравнение исходной системы принимает вид `4y^2-y^2=48`, откуда `y=+-4`. Получаем два решения `(8;4)` и `(-8;-4)`. 

Если `t=7`, то `x=7y`, `49y^2-y^2=48 iff y=+-1`. 

Если `y=1`, то `x=7`;  если `y=-1`, то `x=-7`.

Ответ

`(-7;-1)`, `(7;1)`, `(8;4)`, `(-8;-4)`.

[1] Например, если обе части уравнения `x^3-xy^2-2y^3=0` разделить на `y^3`, то получим  `(x/y)^3-x/y-2=0`.