Математика 9 класс 9-М-4

2. Нелинейные системы уравнений

В отличие от систем линейных уравнений общих методов решения нет. Системы, в которых одно из уравнений линейное, а второе нелинейное, как правило, решаются следующим образом. Из линейного уравнения одна из переменных выражается через другую и подставляется во второе уравнение.

Если в системе оба уравнения нелинейные, то можно попробовать разложить одно из уравнений на множители. Применяют также комбинирование уравнений с целью получения нового уравнения, которое можно разложить на множители.

Пример 12

Решите системы уравнений:

а) 2x2-y2-x+y+1=0,4x2-y2=0;\left\{\begin{array}{l}2x^2-y^2-x+y+1=0,\\4x^2-y^2=0;\end{array}\right.     

б) (x-y)xy=30,(x+y)xy=120;\left\{\begin{array}{l}(x-y)xy=30,\\(x+y)xy=120;\end{array}\right.   

в) x(y+1)=16,xy+1=4;\left\{\begin{array}{l}x(y+1)=16,\\\dfrac{x}{y+1}=4;\end{array}\right.               

г) x2-xy+y2=7,x4+x2y2+y4=91.\left\{\begin{array}{l}x^2-xy+y^2=7,\\x^4+x^2y^2+y^4=91.\end{array}\right.     

Решение

а) Из второго уравнения системы:  `(2x-y)(2x+y)=0`, поэтому

2x2-y2-x+y+1=0,4x2-y2=0;\left\{\begin{array}{l}2x^2-y^2-x+y+1=0,\\4x^2-y^2=0;\end{array}\right.2x2-y2-x+y+1=0,2x-u=0,2x+y=0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x^2-y^2-x+y+1=0,\\\left[\begin{array}{l}2x-u=0,\\2x+y=0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow

y=2x,2x2-y2-x+y+1=0,y=-2x,2x2-y2-x+y+1=0y=2x,2x2-x-1=0,y=-2x,2x2+3x-1=0.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}y=2x,\\2x^2-y^2-x+y+1=0,\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}y=-2x,\\2x^2-y^2-x+y+1=0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}y=2x,\\2x^2-x-1=0,\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}y=-2x,\\2x^2+3x-1=0.\end{array}\right.\end{array}\right.

Решение каждой из этих систем сводится к решению квадратного уравнения, после чего находим соответствующие значения `y`.

Ответ

`(1;2)`,`(-1/2;-1)`,`((-3+sqrt(17))/4;(3-sqrt(17))/2)`,

`((-3-sqrt(17))/4;(3+sqrt(17))/2)`.

б) Сложив оба уравнения, получаем `2x^2y=150`, а вычитая из второго уравнения первое:  `2xy^2=90`.

Таким образом, 

(x-y)xy=30,(x+y)xy=120x2y=75,xy2=45.\left\{\begin{array}{l}(x-y)xy=30,\\(x+y)xy=120\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2y=75,\\xy^2=45.\end{array}\right.   

Умножим первое уравнение на второе:  `x^3y^3=75*45 iff xy=15`. Тогда

x2y=75,xy2=45x·xy=75,xy·y=45x·15=75,15·y=45x=5,y=3.\left\{\begin{array}{l}x^2y=75,\\xy^2=45\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x\cdot xy=75,\\xy\cdot y=45\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x\cdot15=75,\\15\cdot y=45\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=5,\\y=3.\end{array}\right.

Подстановкой в исходные уравнения убеждаемся, что `(5;3)` – решение системы.

Ответ

`(5;3)`.

в) Почленно перемножив уравнения системы, получаем `x^2=64`, отсюда `x=+-8`.

Если `x=8`, то из первого уравнения  `8(y+1)=16 iff y=1`.

Если `x=-8`,  то из первого уравнения `-8(y+1)=16 iff y=-3`.

Ответ

`(8;1)`, `(-8;-3)`.

Замечание

При почленном сложении, умножении уравнений системы (и подобных действиях) надо следить за равносильностью преобразований. Если оказывается, что при каком-либо переходе мы получили следствие вместо равносильности,  то в конце решения надо будет делать проверку – подставлять найденные решения в исходную систему.

Например, переход

f1=f2,g1=g2f1+g1=f2+g2,f1-g1=f2-g2.\left\{\begin{array}{l}f_1=f_2,\\g_1=g_2\end{array}\right.\rightarrow\left\{\begin{array}{l}f_1+g_1=f_2+g_2,\\f_1-g_1=f_2-g_2.\end{array}\right.

Является равносильным преобразованием. Действительно, складывая уравнения системы справа, получаем, что

`(f_1+g_1)+(f_1-g_1)=(f_2+g_2)+(f_2-g_2) iff 2f_1=2f_2`.

Но тогда `g_1=g_2`. Таким образом, из уравнений новой системы следуют уравнения исходной системы, поэтому данный переход является равносильным.

Если же почленно перемножить и разделить уравнения системы, то преобразование оказывается не равносильным. Рассмотрим такой переход:

f1=f2,g1=g2f1g1=f2g2,f1g1=f2g2.\left\{\begin{array}{l}f_1=f_2,\\g_1=g_2\end{array}\right.\rightarrow\left\{\begin{array}{l}f_1g_1=f_2g_2,\\\dfrac{f_1}{g_1}=\dfrac{f_2}{g_2}.\end{array}\right.

Пусть для определённости  `g_1!=0`, `g_2!=0`. Тогда из первого уравнения системы справа получаем `f_1=(f_2g_2)/(g_1)`. Подстановка во второе уравнение даёт `(f_2g_2)/(g_1^2)=(f_2)/(g_2)`, откуда `f_2(g_2^2-g_1^2)=0`, т. е. либо `f_2=0`, либо `g_2^2=g_1^2`, `g_2=+-g_1`.  Значит, у новой системы могут появиться лишние решения. В этом легко убедиться на примере пункта в). Указанные преобразования приводят нас к следующему:

xy+1=16,xy+1=4x2=16·4,y+12=164x=±8,y+1=±2,\left\{\begin{array}{l}x\left(y+1\right)=16,\\\dfrac x{y+1}=4\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2=16\cdot4,\\\left(y+1\right)^2=\dfrac{16}4\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\pm8,\\y+1=\pm2,\end{array}\right.

т. е.   новой системы 4 решения: `(8;3)`, `(-8;-3)`, `(8;1)`,`(-8;1)`, но только два из них являются решениями исходной.

г) Заметим, что `x^4+x^2y^2+y^4=(x^4+2x^2y^2+y^4)-x^2y^2=(x^2+y^2)^2-(xy)^2=`

`=(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)`, поэтому система равносильна следующей:

x2-xy+y2=7,x2-xy+y2x2+xy+y2=91x2-xy+y2=7,7x2+xy+y2=91\left\{\begin{array}{l}x^2-xy+y^2=7,\\\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)=91\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2-xy+y^2=7,\\7\left(x^2+xy+y^2\right)=91\end{array}\right.\Leftrightarrow

x2-xy+y2=7,x2+xy+y2=13//почленно складываем и вычитаем уравнения системы//\style{font-size:14px}{\left\{\begin{array}{l}x^2-xy+y^2=7,\\x^2+xy+y^2=13\end{array}\right.\Leftrightarrow//\mathrm{почленно}\;\mathrm{складываем}\;\mathrm и\;\mathrm{вычитаем}\;\mathrm{уравнения}\;\mathrm{системы}//}

2x2+2y2=20,-2xy=-6x2+y2=10,2xy=6//почленно складываем и вычитаем//\style{font-size:11px}{\left\{\begin{array}{l}2x^2+2y^2=20,\\-2xy=-6\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=10,\\2xy=6\end{array}\right.\Leftrightarrow//\mathrm{почленно}\;\mathrm{складываем}\;\mathrm и\;\mathrm{вычитаем}//}

x2+2xy+y2=16,x2-2xy+y2=4x+y2=16,x-y2=4x+y=±4,x-y=±2.\left\{\begin{array}{l}x^2+2xy+y^2=16,\\x^2-2xy+y^2=4\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\left(x+y\right)^2=16,\\\left(x-y\right)^2=4\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+y=\pm4,\\x-y=\pm2.\end{array}\right.

Рассматриваем 4 возможных случая. В каждом из них почленно складываем и вычитаем уравнения системы:

x+y=4,x-y=-22x=2,2y=6x=1,y=3;\left\{\begin{array}{l}x+y=4,\\x-y=-2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x=2,\\2y=6\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=1,\\y=3;\end{array}\right.

x+y=4,x-y=22x=6,2y=2x=3,y=1;\left\{\begin{array}{l}x+y=4,\\x-y=2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x=6,\\2y=2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=3,\\y=1;\end{array}\right.

x+y=-4,x-y=-22x=-6,2y=-2x=-3,y=-1;\left\{\begin{array}{l}x+y=-4,\\x-y=-2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x=-6,\\2y=-2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-3,\\y=-1;\end{array}\right.

x+y=-4,x-y=22x=-2,2y=-6x=-1,y=-3.\left\{\begin{array}{l}x+y=-4,\\x-y=2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x=-2,\\2y=-6\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-1,\\y=-3.\end{array}\right.

Ответ

`(1;3)`, `(3;1)`, `(-3;-1)`, `(-1;-3)`.