Математика 9 класс 9-М-4

1. Системы линейных уравнений

Их вы подробно изучали в 7 классе и они не вызывают существенных сложностей, так как всегда могут быть решены, например, подстановкой. Остановимся немного подробнее на геометрической интерпретации. Пусть дана система

 a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2.\left\{\begin{array}{l}a_1x+b_1y=c_1,\\a_2x+b_2y=c_2.\end{array}\right.             (9)

Будем считать, что в каждом уравнении хотя бы один из коэффициентов при переменных `x`, `y` отличен от нуля. Иначе, например, при `a_1=b_1=0`, первое уравнение принимает вид `0=c_1`, т. е. оно либо выполняется при всех `x`, `y` (если `c_1=0`), либо не выполняется ни при каких `x`, `y` (если `c_1!=0`). 

Тогда каждое уравнение системы (9) задаёт прямую на плоскости. Возможны три ситуации.

1) Прямые пересекаются (если коэффициенты при переменных не пропорциональны, т. е.  `(a_1)/(a_2)!=(b_1)/(b_2)`). Тогда система имеет одно решение - точку пересечения прямых.

2) Прямые параллельны (если `(a_1)/(a_2)=(b_1)/(b_2)!=(c_1)/(c_2)`). Тогда решений нет.

3) Прямые совпадают (если `(a_1)/(a_2)=(b_1)/(b_2)=(c_1)/(c_2)`). Тогда каждая точка, лежащая на прямой, является решением системы.

В качестве упражнения можете записать условия для коэффициентов в том случае, когда какие - либо из них обращаются в ноль.

Пример 10

Найдите все значения параметра, при каждом из которых система a+1x-y=a,a-3x+ay=-9\left\{\begin{array}{l}\left(a+1\right)x-y=a,\\\left(a-3\right)x+ay=-9\end{array}\right. имеет единственное решение.

Решение

Система имеет единственное решение при `(a+1)/(a-3)!=-1/a`,  откуда `a^2+2a-3!=0`, т. е. `a!=1` и `a!=-3`.

Ответ

`a!=1`,  `a!=-3`.

Пример 11

Найдите все значения  `a`, при каждом из которых  система уравнений

ax-y=3a,y-x=1\left\{\begin{array}{l}ax-y=3a,\\y-\left|x\right|=1\end{array}\right.

имеет единственное решение.

Решение

Складывая уравнения системы, получаем `ax-|x|=3a+1`. Заметим, что количество решений системы равно количеству решений этого уравнения. Действительно, из второго уравнения системы `y=|x|+1`, т. е. для каждого значения `x` существует единственное значение `y`.

1) Если `x>=0`, то уравнение принимает вид `ax-x=3a+1`, откуда `x(a-1)=3a+1`. При `a=1` решений нет, а при `a!=1` получаем `x=(3a+1)/(a-1)`.

 Этот корень удовлетворяет условию `x>=0`, если `a in (-oo;-1/3]uu(1;+oo)`.

2) Если `x<0`, то `ax+x=3a+1 iff x(a+1)=3a+1`.  

Если `a=-1`, то `O/`, а если `a!=-1`, то `x=(3a+1)/(a+1)`. Условие  `x<0` выполнено при `(3a+1)/(a+1)<0 iff a in (-1;-1/3)`.

Корни, полученные в первом и втором случаях, не могут совпадать, так как в первом случае они неотрицательны,  а во втором – отрицательны. Нас интересуют те значения `a`, при которых ровно один корень, т. е. те значения `a`, которые принадлежат ровно одному из множеств `(-oo;-1/3]uu(1;+oo)` и `(-1;-1/3)`.

Это `(-oo;-1]uu{-1/3}uu(1;+oo)`.

Ответ

`a in (-oo;-1]uu{-1/3}uu(1;+oo)`.