Математика 9 класс 9-М-4

§1. Иррациональные уравнения

Уравнение называют иррациональным,

если оно содержит переменное выражение под знаком корня.

Напомним, что квадратный корень из `f(x)`, т. е.  `sqrt(f(x))`, определён лишь для тех значений `x`, для которых `f(x)>=0`.

Все значения `sqrt(f(x))`  неотрицательны.

Для любого значения `x` из области определения `f(x)` определён `sqrt((f(x))^2)`, поскольку `(f(x))^2>=0`. При этом  

 `sqrt((f(x))^2)=f(x)`,   если  `f(x)>=0`,

 `sqrt((f(x))^2)=-f(x)`,  если  `f(x)<=0`,

или, короче,

 `sqrt((f(x))^2)=|f(x)|`.

Область определения и область значений квадратного корня необходимо учитывать при решении задач.

Пример 1

Решите уравнение `sqrt(x+4)(25-x^2)=0`.

Решение

Уравнение определено лишь для  тех  значений `x`, для которых `x+4>=0`, т. е. `x>=-4`. Первый множитель равен нулю при `x=-4`, и это число - решение  уравнения. Второй множитель равен нулю при `x=5` и `x=-5`. Из них области определения принадлежит лишь `5`, это решение уравнения. Второе число `x=-5` не является решением уравнения.

Ответ

` – 4`; `5`.

По области определения и по области значений выражений, входящих в иррациональное уравнение, иногда легко обнаружить, что оно не имеет решений. Например, это видно для уравнений

`sqrtx=-1`  и  `3sqrt(x-3)=1-x`.

В первом уравнении левая часть неотрицательна `(sqrtx>=0)`, поэтому равенство неверно при любом `x>=0`. Во втором уравнении левая часть также неотрицательна. Уравнение определено лишь при `x>=3`. Для этих `x` имеем: `1-x<=-2`, т. е. правая часть отрицательна. Значит, равенство неверно при любом `x>=3`, решений нет.

При возведении частей уравнения в квадрат получаемое новое уравнение-следствие иногда оказывается равносильным исходному, а иногда - нет. Например, возведя в квадрат обе части уравнения `sqrtx=1`, получим  равносильное уравнение `x=1`. А возведя в  квадрат обе части уравнения `sqrtx=-1`, не имеющего решений, получим неравносильное ему уравнение `x=1`, имеющее решение  `1`.

Хотелось бы подчеркнуть, что возведение обеих частей уравнения в квадрат, вообще говоря, не является равносильным преобразованием, и это ни как не связано с наличием знака корня в исходном уравнении. Пусть обе части уравнения `f(x)=g(x)` возвели в квадрат и получили `f^2(x)=g^2(x)`. Последнее уравнение можно преобразовать к виду   

(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))=0f(x)=g(x),f(x)=-g(x).(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f(x)=g(x),\\f(x)=-g(x).\end{array}\right.

Таким образом, мы возможно приобрели лишние корни - решения уравнения `f(x)=-g(x)`. Чтобы их отбросить, можно добавить следующее ограничение: 

f(x)=g(x)f2(x)=g2(x),знаки f(x)и g(x)совпадают.f(x)=g(x)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f^2(x)=g^2(x),\\\mathrm{знаки}  f(x) \mathrm{и}  g(x) \mathrm{совпадают}.\end{array}\right.

(При этом под совпадением знаков мы понимаем, что либо оба выражения `f(x)` и `g(x)` неотрицательны, либо оба неположительны). Действительно, уравнение `f(x)=-g(x)` при указанных условиях может иметь только такие решения, при которых обе его части равны нулю. Но эти значения переменной являются также решениями уравнения `f(x)=g(x)`, поэтому множество решений совокупности f(x)=g(x),f(x)=-g(x)\left[\begin{array}{l}f(x)=g(x),\\f(x)=-g(x)\end{array}\right. совпадает с множеством решений уравнения `f(x)=g(x)`.

Пример 2

Решить уравнения

1) `3sqrtx=x+2`; 

2)  `sqrtx=2-x`; 

3)  `sqrtx=x-2`; 

4)  `3sqrtx=-x-2`.                              

Решение

Возведя в квадрат обе части каждого из этих уравнений, после простых преобразований получим уравнение 

                                                                           `x^2-5x+4=0`,                                           (1)

которое является следствием каждого из уравнений 1) - 4). Оно имеет корни  `x=1` и `x=4`. 

1)  Проверяем их подстановкой в исходное уравнение 1):

 `x=1 =>3=1+2` - верное равенство `=>1` - корень 1);

 `x=4=>3*2=4+2` - верное равенство `=>4` - корень 1).

Уравнения  1)  и  (1)  оказались равносильными.

Ответ

`1`, `4`.

2)  Подстановка корней (1) в уравнение 2) даёт:

`x=1=>1=2-1` - верное равенство `=>1` - корень 2);

`x=4=>2=2-4` - неверное равенство `=>4` - не корень 2).

Ответ

`1`.

3)  Для этого уравнения

`x=1=>1=1-2` - неверное равенство  `=>1` - не корень 3);

 `x=4=>2=4-2` - верное равенство `=>4` - корень 3).

Ответ

`4`.

4) Для уравнения 4) в обоих случаях получаем неверные равенства, а именно, `3*1=-3` и `3*2=-6`.

Ответ

\varnothing.


Отметим, что уравнение-следствие (1) оказалось неравносильно каждому из уравнений  2), 3), 4). Потеря равносильности произошла при возведении обеих частей в квадрат.

Приобретение посторонних корней может произойти не только при возведении его частей в квадрат, но и при сокращении дробей, приведении подобных членов.  Добавим к этому ещё замену произведения корней `sqrt(f(x))*sqrt(g(x))` на корень из произведения `sqrt(f(x)g(x))` или замену отношения корней `(sqrt(f(x)))/(sqrt(g(x)))` корнем из дроби  `sqrt((f(x))/(g(x)))`. Во всех этих случаях требуется проделать отбор корней.

Вместо проверки корней уравнения-следствия `(f(x))^2=(g(x))^2` подстановкой их в уравнение `f(x)=g(x)` можно добавить к уравнению-следствию такие ограничения в виде неравенств для неизвестного, что система из уравнения и этих неравенств будет иметь те же решения, что и исходное уравнение, т. е. будет равносильна ему.

Во-первых, значения неизвестного должны быть ограничены областью определения исходного  уравнения.

Во-вторых, должно быть обеспечено совпадение знаков частей исходного уравнения (т. е. того, что у нас было перед возведением в квадрат).

В примере 2 уравнение (1) определено для всех  `x`, а каждое из уравнений  1) - 4)  лишь для `x>=0`. Значит, это условие необходимо добавить к (1). Получаемая система

x2-5x+4=0,x0,\left\{\begin{array}{l}x^2-5x+4=0,\\x\ge0,\end{array}\right.                             (2)

оказывается равносильной уравнению 1),  так как при условии `x>=0` обе части исходного уравнения не отрицательны, но не равносильна уравнениям  2), 3), 4). Нужно ещё добавить условие совпадения знаков обеих частей исходного уравнения.

В уравнении 2) левая часть `sqrtx` неотрицательна, поэтому к (2) нужно добавить условие неотрицательности правой части `2-x`. В результате получим систему      

x2-5x+4=0,x0,2-x0,\left\{\begin{array}{l}x^2-5x+4=0,\\x\ge0,\\2-x\ge0,\end{array}\right.

равносильную уравнению 2).   

Действительно, из двух решений `x=1` и `x=4` лишь `x=1` удовлетворяет обоим добавленным  неравенствам, и, как было проверено, является решением 2).

Аналогично, уравнению 3) примера 2 равносильна система

x2-5x+4=0,x0,x-20.\left\{\begin{array}{l}x^2-5x+4=0,\\x\ge0,\\x-2\ge0.\end{array}\right.

Она, как и 3), имеет одно решение `x=4`.

Уравнению 4) равносильна система

 x2-5x+4=0,x0,-x-20.\left\{\begin{array}{l}x^2-5x+4=0,\\x\ge0,\\-x-2\ge0.\end{array}\right. 

не имеющая, как  и  4), решений.

В следующих примерах показаны некоторые приёмы, используемые при решении иррациональных уравнений.

Пример 3

Решите уравнение `sqrt(2+4x)=x`.

Решение

1) Это уравнение равносильно системе 2+4x=x2,x0.\left\{\begin{array}{l}2+4x=x^2,\\x\ge0.\end{array}\right.

Здесь неравенство `x>=0` обеспечивает совпадение знаков частей исходного уравнения. Неотрицательность подкоренного выражения следует из уравнения системы[1].

Уравнение  этой  системы  имеет  корни  `2+sqrt6` и `2-sqrt6`. Неравенству `x>=0` удовлетворяет только  `2+sqrt6`.

Отметим, что проверка этих значений подстановкой в исходное уравнение технически сложнее, чем проверка условия  `x>=0`.

Ответ

`2+sqrt6`.  

Пример 4

Решить уравнения  

1) `2sqrt(2t^2+22t+36)=12-3t`;     

2) `sqrt(2t+4)+sqrt(t+9)=5`.

Решение

1) Уравнение равносильно системе

4(2t2+22t+36)=(12-3t)2,12-3t0.\left\{\begin{array}{l}4(2t^2+22t+36)=(12-3t)^2,\\12-3t\ge0.\end{array}\right.          (3)

Условие неотрицательности подкоренного выражения можно опустить, так как из первого уравнения системы (3) видно, что оно равно квадрату, и, следовательно, неотрицательно. Условие неотрицательности правой части, обеспечивающее совпадение знаков частей уравнения (или, что то же самое, обеспечивающее область значений корня) напротив нельзя опустить, т. к. оно не следует из первого уравнения системы (3).

Уравнение в (3) сводится к квадратному:

`t^2-160t=0 ifft_1=0`, `t_2=160`.

Из его корней неравенству в системе удовлетворяет лишь `t_1=0`.

Ответ

`0`.

2) Обе части уравнения на его области определения неотрицательны, поэтому данное уравнение равносильно следующему:

`(sqrt(2t+4)+sqrt(t+9))^2=5^2`.

Применив формулу для квадрата суммы, преобразуем это уравнение к следствию.[2]  

                                                             `2sqrt(2t^2+22t+36)=12-3t`.                                (4)

Область определения исходного уравнения задаётся неравенствами

2t+40,t+90.\left\{\begin{array}{l}2t+4\ge0,\\t+9\ge0.\end{array}\right.                     (5)

Эти неравенства вместе с уравнением  (4)  составляют систему,  равно-

сильную исходному уравнению.

Уравнение (4) решено в п. 1), его решение `t_1=0`. Это значение удовлетворяет системе неравенств (5), т. е. принадлежит области определения уравнения 2), значит, является его решением.

Ответ

`0`.

Показанный здесь способ решения уравнения 2) требует дважды возводить в квадрат - при переходе к (4) и при решении (4) (которое приведено в первом пункте). И каждый раз нужно добавлять условия, обеспечивающие равносильность преобразований.

Отметим, что найденное в 1) при решении уравнения значение `t_2=160`, удовлетворяет системе неравенств (5), т. е. принадлежит области определения уравнения 2). И не будучи исключённым при решении пункта  1), оно попало бы в решения 2), что привело бы к ошибке.

Для преобразования уравнения, содержащего несколько радикалов, один из них «уединяют», затем возводят обе части в подходящую степень.

И каждый  раз нужно добавлять условия, обеспечивающие равносильность преобразования.

Пример 5

Решить уравнение `sqrt(5x+1)-sqrt(3x-1)-sqrt(x+1)=0`.

Решение

В этом уравнении два из трёх радикалов имеют одинаковые знаки, их и отнесём к одной части уравнения, тем самым «уединив» третий радикал. Получим `sqrt(5x+1)=sqrt(3x-1)+sqrt(x+1)`.

Область определения этого уравнения задаётся системой неравенств


5x+10,3x-10,x+10x13\left\{\begin{array}{l}5x+1\ge0,\\3x-1\ge0,\\x+1\ge0\end{array}\right.\Leftrightarrow x\ge\dfrac13.          (6)

Обе части уравнения неотрицательны, поэтому оно равносильно уравнению `5x+1=(sqrt(3x-1)+sqrt(x+1))^2`, которое при условиях (6) равносильно следующему `x+1=2sqrt(3x^2+2x-1)`. В силу (6) обе части этого уравнения неотрицательны, поэтому оно равносильно уравнению

`(x+1)^2=4(3x^2+2x-1)`.

Итак, исходное уравнение равносильно системе из этого последнего уравнения и неравенств (6).

Полученное уравнение сводим к квадратному `11x^2+6x-5=0`, его корни - числа `x=5/11` и `x=-1`. Неравенству (6) удовлетворяет только  `x=5/11`.    

Ответ

`5/11`.

Нередко иррациональное уравнение удаётся упростить, введя новую переменную.

Пример 6

Решите уравнение: `3x^2+sqrt(3x^2-8x+1)=8x+19`.

Решение

Перенесём всё в левую часть: `3x^2-8x-19+sqrt(3x^2-8x+1)=0`.

 Введём обозначение:

                                                                        `sqrt(3x^2-8x+1)=t`.                                         (7)

Тогда 

                                                                         `3x^2-8x=t^2-1`.                                             (8)

Подставим в исходное уравнение: `t^2+t-20=0`, откуда находим корни `t_1=4` и `t_2=-5`. Подставляем найденные значения `t` в (7) и получаем:

3x2-8x+1=-53x2-8x+1=4\left[\begin{array}{l}\sqrt{3x^2-8x+1}=-5\\\sqrt{3x^2-8x+1}=4\end{array}\right..

Первое из этих уравнений не имеет решений, а второе эквивалентно каждому из следующих: 

`3x^2-8x+1=16`;  `3x^2-8x-15=0`,  `x=(4+-sqrt(61))/3`.

                     

Ответ

`x=(4+-sqrt(61))/3`.

Замечание

Если для нахождения  вместо равенства (7) использовать равенство (8), полученное из (7) возведением в квадрат, то это приведёт к возникновению посторонних корней (`t=-5` при подстановке в (8) даёт уравнение `3x^2-8x=24`).

Таким образом, каждое возведение в квадрат может привести к нарушению равносильности, а именно, к появлению лишних корней. В этой задаче возведение в квадрат было произведено при переходе от (7) к (8); как раз здесь и произошло приобретение посторонних корней.

Рассмотрим ещё несколько примеров.

Пример 7

Решите уравнение `(x^2-1)sqrt(6x^2-7x-3)=0`.

Решение

Произведение двух множителей равно нулю один из множителей равен нулю, а второй при этом имеет смысл. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности

x2-1=0,6x2-7x-30,6x2-7x-3=0x=±1,6x2-7x-30,x=32,x=-13x=-1,x=32,x=-13.\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x^2-1=0,\\6x^2-7x-3\geq0,\end{array}\right.\\6x^2-7x-3=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=\pm1,\\6x^2-7x-3\geq0,\end{array}\right.\\x=\frac32,\\x=-\frac13\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-1,\\x=\frac32,\\x=-\frac13.\end{array}\right.\\\end{array}


Ответ

`x=-1`, `x=3/2`, `x=-1/3`.

Пример 8

Решите уравнения:

а) `sqrt(x^2-5x+2)-sqrt(x^2+x+1)=1-6x`;

б) `sqrtx+sqrt(x+7)+2sqrt(x^2+7x)=35-2x`;

в) `sqrt(2x^2-1)+sqrt(x^2-3x-2)=sqrt(2x^2+2x+3)+sqrt(x^2-x+2)`.

Решение

а) Умножим обе части уравнения на «сопряжённое»  к левой части,  т. е. на `sqrt(x^2-5x+2)+sqrt(x^2+x+1)` (поскольку оно положительно при всех `x`, то полученное уравнение равносильно исходному). Получаем

`(x^2-5x+2)-(x^2+x+1)=`

`=(1-6x)(sqrt(x^2-5x+2)+sqrt(x^2+x+1)) iff`

`iff 1-6x=(1-6x)(sqrt(x^2-5x+2)+sqrt(x^2+x+1))`ОДЗ\overset{\mathrm{ОДЗ}}\Leftrightarrow

ОДЗ1-6x=0,1=x2-5x+2+x2+x+1.\overset{\mathrm{ОДЗ}}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}1-6x=0,\\1=\sqrt{x^2-5x+2}+\sqrt{x^2+x+1}.\end{array}\right.

Первое уравнение совокупности имеет корень `x=1/6`, который принадлежит ОДЗ (проверяем подставкой в неравенство `x^2-5x+2>=0`). Второе уравнение равносильно следующему:

`sqrt(x^2-5x+2)=1-sqrt(x^2+x+1) iff`

1-x2+x+10,x2-5x+2=x2+x+2-2x2+x+1\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}1-\sqrt{x^2+x+1}\geq0,\\x^2-5x+2=x^2+x+2-2\sqrt{x^2+x+1}\end{array}\right.\Leftrightarrow

x2+x+11,x2+x+1=3x0x2+x+11,x0,x2+x+1=9x2\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2+x+1}\leq1,\\\sqrt{x^2+x+1}=3x\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}0\leq x^2+x+1\leq1,\\x\geq0,\\x^2+x+1=9x^2\end{array}\right.\Leftrightarrow

x2+x0,x0,8x2-x-1=0-1x0,,x0,8x2-x-1=0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2+x\leq0,\\x\geq0,\\8x^2-x-1=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-1\leq x\le0,,\\x\geq0,\\8x^2-x-1=0\end{array}\right.\Leftrightarrow

x=0,8x2-x-1=0.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0,\\8x^2-x-1=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\varnothing.

Итак, уравнение имеет единственный корень  `x=1/6`.

Ответ

`x=1/6`.

б) Сделаем замену `sqrtx+sqrt(x+7)=t`. Тогда при возведении обеих частей этого равенства в квадрат получаем `2x+7+2sqrt(x^2+7x)=t^2`. Уравнение принимает вид

`(sqrtx+sqrt(x+7))+(2sqrt(x^2+7x)+2x)=35`, 

`t+(t^2-7)=35 iff t^2+t-42=0 iff`t=6,t=-7.\left[\begin{array}{l}t=6,\\t=-7.\end{array}\right. 

Если `t=6`, то `sqrtx+sqrt(x+7)=6`. Это уравнение на ОДЗ равносильно следующему:

`2x+7+2sqrt(x^2+7x)=36 iff 2sqrt(x^2+7x)=29-2x iff`

29-2x0,4x2+28x=841-116x+4x2x14,5,x=841144x=841144.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}29-2x\geq0,\\4x^2+28x=841-116x+4x^2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x\leq14,5,\\x=\dfrac{841}{144}\end{array}\right.\Leftrightarrow x=\dfrac{841}{144}.

Полученный корень принадлежит ОДЗ `(x>=0)`, поэтому он является решением уравнения.

Если `t=-7`, то `sqrtx+sqrt(x+7)=-7`. Здесь решений нет, т. к. левая часть неотрицательна, а правая – отрицательна.  

Ответ

`(841)/(144)`.

в) Перепишем уравнение в виде

`sqrt(2x^2-1)-sqrt(2x^2+2x+3)=sqrt(x^2-x+2)-sqrt(x^2-3x-2)`.

Домножаем левую и правую части на «сопряжённое»

`((sqrt(2x^2-1)-sqrt(2x^2+2x+3))(sqrt(2x^2-1)+sqrt(2x^2+2x+3)))/(sqrt(2x^2-1)+sqrt(2x^2+2x+3))=`

`=((sqrt(x^2-x+2)-sqrt(x^2-3x-2))(sqrt(x^2-x+2)+sqrt(x^2-3x-2)))/(sqrt(x^2-x+2)+sqrt(x^2-3x-2)) iff`

`iff((2x^2-1)-(2x^2+2x+3))/(sqrt(2x^2-1)+sqrt(2x^2+2x+3))=`

`=((x^2-x+2)-(x^2-3x-2))/(sqrt(x^2-x+2)+sqrt(x^2-3x-2))iff`

`iff(-2(x+2))/(sqrt(2x^2-1)+sqrt(2x^2+2x+3))=`

`=(2(x+2))/(sqrt(x^2-x+2)+sqrt(x^2-3x-2))`ОДЗ\overset{\mathrm{ОДЗ}}\Leftrightarrow

ОДЗx+2=0,-22x2-1+2x2+2x+3=2x2-x+2+x2-3x-2.\overset{\mathrm{ОДЗ}}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x+2=0,\\\dfrac{-2}{\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{2x^2+2x+3}}=\dfrac2{\sqrt{x^2-x+2}{\displaystyle+}{\displaystyle\sqrt{x^2-3x-2}}}.\end{array}\right.

Первое уравнение совокупности имеет корень принадлежащий ОДЗ (убеждаемся в этом подстановкой). Второе уравнение не имеет решений, так как левая часть отрицательна, а правая – положительна.

Ответ

`x=-2`.


Пример 9

Решите уравнение   72+x3+80-x3=8.\sqrt[3]{72+x}+\sqrt[3]{80-x}=8.

Решение

Способ 1. Возведём обе части уравнения в куб (в отличие от возведения в квадрат это преобразование равносильно).

Получаем

72+x+372+x32·80-x3+372+x380-x32+80-x=51272+x+3\left(\sqrt[3]{72+x}\right)^2\cdot\sqrt[3]{80-x}+3\sqrt[3]{72+x}\left(\sqrt[3]{80-x}\right)^2+80-x=512\Leftrightarrow

372+x80-x372+x3+80-x3=360.\Leftrightarrow3\sqrt[3]{\left(72+x\right)\left(80-x\right)}\left(\sqrt[3]{72+x}+\sqrt[3]{80-x}\right)=360.

С учётом исходного уравнения выражение в скобках равно `8`, откуда следует[3], что

372+x80-x3·8=36072+x80-x3=153\sqrt[3]{\left(72+x\right)\left(80-x\right)}\cdot8=360\Leftrightarrow\sqrt[3]{\left(72+x\right)\left(80-x\right)}=15\Leftrightarrow

72+x80-x=3375-x2+8x+2385=0x=53,x=-45.\Leftrightarrow\left(72+x\right)\left(80-x\right)=3375\Leftrightarrow-x^2+8x+2385=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=53,\\x=-45.\end{array}\right.

Подстановкой в исходное уравнение проверяем, что оба эти числа являются решениями.

Способ 2. Обозначим 72+x3=u\sqrt[3]{72+x}=u80-x3=v\sqrt[3]{80-x}=v. Тогда  `u^3=72+x`, `v^3=80-x`, следовательно, `u^3+v^3=152`. Кроме того, исходное уравнение можно записать в виде `u+v=8`. Получаем систему уравнений

u+v=8,u3+v3=152u+v=8,u+vu2-uv+v2=152\left\{\begin{array}{l}u+v=8,\\u^3+v^3=152\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u+v=8,\\\left(u+v\right)\left(u^2-uv+v^2\right)=152\end{array}\right.\Leftrightarrow

u=8-v,u2-uv+v2=19u=8-v,(8-v)2-v(8-v)+v2=19\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u=8-v,\\u^2-uv+v^2=19\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u=8-v,\\(8-v)^2-v(8-v)+v^2=19\end{array}\right.\Leftrightarrow 

u=8-v,v2-8v+15=0.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u=8-v,\\v^2-8v+15=0.\end{array}\right.

Если `v=5`, то `u=3`; тогда `x=-45`.  

Если `v=3`, то `u=5`; тогда `x=53`.  

Ответ

 `x=53`,  `x=-45`.  

[1] Действительно, в левой части уравнения `2+4x=x^2` записано подкоренное выражение, а в правой - полный квадрат

[2] Напомним, что «из уравнения 1 следует уравнение 2» означает, что множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго. Действительно, пусть `M_1` - множество решений уравнения 1, `M_2` - множество решений уравнения 2.  1`=>`2 означает, что если некоторое `x` является решением 1 (т. е. `x inM_1`), то оно является решением 2 (т. е. `x inM_2`). Значит, любой элемент множества  `M_1` принадлежит  также  множеству   `M_2`  (т. е.  `M_1 sub M_2`).

[3] Отметим, что этот переход может не является равносильным. Фактически мы уравнение 372+x80-x372+x3+80-x3=3603\sqrt[3]{\left(72+x\right)\left(80-x\right)}\left(\sqrt[3]{72+x}+\sqrt[3]{80-x}\right)=360 почленно разделили на равносильное ему уравнение 72+x3+80-x3=8\sqrt[3]{72+x}+\sqrt[3]{80-x}=8. При таком действии могут появиться лишние корни (потерять корни мы при этом не можем, если только не делим на ноль). Почему? Пусть `x_0` - корень уравнений `f_1(x)=f_2(x)` и `g_1(x)=g_2(x)`, при этом `g_1(x)` или `g_2(x)` не обращаются  в ноль. Тогда `f_1(x_0)=f_2(x_0)` и `g_1(x_0)=g_2(x_0)`, откуда `(f_1(x_0))/(g_1(x_0))=(f_2(x_0))/(g_2(x_0))`,  т. е. `x_0` является корнем уравнения `(f_1(x))/(g_1(x))=(f_2(x))/(g_2(x))`. Но при этом нет никаких гарантий, что у полученного в результате деления уравнения не появится лишние корни. Например, оба уравнения `x^2+2x=-1` и `x+3=2` имеют единственный корень `x=-1`. В то же время уравнение `(x^2+2x)/(x+3)=(-1)/2` имеет корни `x=-1` и `x=-3/2`. Приобретение лишних корней может также происходить при почленном умножении, сложении, вычитании равносильных уравнений.