Математика 9 класс 9-М-3

§4. Построение графиков функций

График квадратичной функции  `y=ax^2+bx+c` (где `a!=0`) - парабола. Абсцисса вершины этой параболы задаётся формулой `x_B=-b/(2a)`. Если `a>0`, то ветви параболы направлены вверх, если `a<0` - вниз.

Если дискриминант квадратного трёхчлена положителен, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках (абсциссы этих точек - корни квадратного уравнения `ax^2+bx+c=0`); если дискриминант меньше нуля - то не имеет с осью абсцисс ни одной общей точки; если равен нулю - парабола имеет с осью абсцисс ровно одну общую точку (в этом случае говорят, что парабола касается оси абсцисс). В последнем случае квадратный трёхчлен имеет вид `a(x-x_0)^2`.

Пример 8

Постройте график функции `y=-2x^2+8x-5`.

Решение

Выделим полный квадрат:

`y=-2x^2+8x-5=-2(x^2-4x)-5=`

`=-2(x^2-4x+4-4)-5=-2(x-2)^2+8-5=` 

`=-2(x-2)^2+3`.

График функции `y=-2(x-2)^2+3` - парабола, полученная из параболы `y=2x^2` с помощью симметрии относительно оси абсцисс, затем параллельного переноса на `2` единицы вправо вдоль оси абсцисс и, наконец, параллельного переноса на `3` единицы вверх вдоль оси ординат (см. рис. 10).

При помощи построения графика квадратичной функции можно решать квадратные неравенства.

Пример 9

Решите неравенство:

Решение

а) График квадратного трёхчлена `y=x^2-x-2` - парабола, её ветви направлены вверх (коэффициент при `x^2` положителен), абсциссы точек пересечения с осью `Ox:` `x_1=-1`, `x_2=2`  (корни квадратного уравнения `x^2-x-2=0`). Все точки оси абсцисс, для которых парабола находится выше этой оси (т. е. решения данного неравенства), расположены вне промежутка между корнями `x_1` и `x_2`. Значит, множество решений данного неравенства - объединение открытых лучей:

`(-oo;-1)uu(2;+oo)`.

Ответ

`x in (-oo;-1)uu(2;+oo)`.

б) `4x^2+4x+1<=0 iff (2x+1)^2<=0 iff 2x+1=0 iff x=-0,5`.

Ответ

`x=-0,5`.

в) График квадратного трёхчлена `y=3x^2-2x+1` - парабола, её ветви направлены вверх (коэффициент при `x^2` положителен), она не пересекает ось абсцисс, т. к. уравнение `3x^2-2x+1=0` не имеет решений (его дискриминант отрицателен). Поэтому все точки параболы расположены выше оси `Ox`. Следовательно, данное неравенство истинно для всех `x`


Ответ

`x in RR`.

Заметим, что эти неравенства могли быть решены также  с помощью метода интервалов, изложенного выше (см. §2).

Пример 10

Парабола `y=2016x^2-1941x-76` - пересекает ось абсцисс в точках `x_1` и `x_2`. Определите, где на этой прямой расположены точки `1`; `–1`; `–5` (т. е. вне промежутка между `x_1` и `x_2` или внутри него?).

Решение

Так как  `a>0` и `c<0`, то `D>0` и данное уравнение имеет корни.

График функции `f(x)=2016x^2-1941x-76` - это парабола, ветви которой направлены вверх. Видно, что точка лежит в промежутке между корнями тогда и только тогда, когда `f(x)<0` и вне этого промежутка, если `f(x)>0` (см. рис. 11).

`f(1)=-1<0=>1 in (x_1;x_2)`;

`f(-1)=2016+1941-76>0=>1!in (x_1;x_2)`;

`f(-5)=2016*25+1941*5-76>0=>5!in (x_1;x_2)`.

Пример 11

Определите знаки коэффициентов квадратного трёхчлена `y=ax^2+bx+c`, график которого изображён на рис. 12.

Решение

1) Заметим, что `y(0)=c`, откуда `c>0`.

2) Ветви параболы направлены вниз `=>a<0`.

3) Ось симметрии параболы - это прямая `x_B=-b/(2a)`, по рисунку видно, что `-b/(2a)>0`, откуда `b>0`.                  

Ответ

`a<0`, `b>0`, `c>0`.

Пример 12

Найти все значения `l`, при которых неравенство 

`lx^2-2(l-6)x+3(l-2)<0`

верно для всех значений `x`.

Решение

Коэффициент при `x^2` зависит от `l` и равен `0` при `l= 0`. В этом случае данное неравенство не квадратное, а линейное: `12x-6<0`. Это неравенство неверно, например, при `x=1`, значит, при `l=0` данное неравенство не является верным для всех значений `x`.

Рассмотрим значения `l!=0`. Для них данное неравенство квадратное. Видно, что все числа являются его решениями только в одном случае: во-первых, если  старший коэффициент отрицателен, (т. е. ветви параболы направлены вниз), и во-вторых, если дискриминант отрицателен, (т. е. парабола не пересекает ось абсцисс).

Получаем систему неравенств

l<0,D4=l-62-3ll-2<0l<0,-2l2-6l+36<0\left\{\begin{array}{l}l<0,\\\frac D4=\left(l-6\right)^2-3l\left(l-2\right)<0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}l<0,\\-2l^2-6l+36<0\end{array}\right.\Leftrightarrow

l<0,-2l+6l+6<0l<0,l-;-63;+l<-6.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}l<0,\\\left(-2l+6\right)\left(l+6\right)<0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}l<0,\\l\in\left(-\infty;-6\right)\cup\left(3;+\infty\right)\end{array}\right.\Leftrightarrow l<-6.

Ответ
`l< -6`.


Перейдём к графикам, содержащим знак модуля.

Пример 13

Постройте график функции: 

а) `y=|x+3|`;

б) `y=4-|x|`;

в) `y=|4-2x|-1`;

г) `y=2|x+4|+|x-3|+2x-3|x+1|`;

д) `y=|||x|-3|-1|`.

Решение

а) Рассмотрим графики функций `f(x)=|x|`  и  `g(x)=|x+3|`. Заметим, что при  подстановке значения `x_0` в функцию `f(x)` и значения `(x_0-3)` в функцию `g(x)` получается одно и то же число.  Это означает, что если графику функции `y=f(x)`  принадлежит точка с координатами `A(x_0;|x_0|)`, то графику функции `y=g(x)` принадлежит точка `B(x_0-3;|x_0|)`,  расположенная на `3` единицы слева от точки `A`.      

Таким образом, график функции `g(x)` получается из графика функции `f(x)` сдвигом на `3` единицы влево (рис. 13).                 

б) Рассмотрим   функции  `f(x)=-|x|` и `g(x)=4-|x|`. При любом `x` значение  функции `g(x)` на `4` больше, чем значение функции `f(x)`, а это означает, что график функции `g(x)` получается из графика функции `f(x)` сдвигом на `4` единицы вверх  (рис. 14).

в)  `y=|4-2x|-1=|2x-4|-1=2|x-2|-1`.              

Построим сначала график функции `y=|x|` (рис. 15а).

График функции `y=2|x|` получается   из  него  «растяжением» в два раза  (рис. 15б); график  `y=2|x-2|` получается  из  предыдущего сдвигом на `2` единицы вправо   (рис. 15в);

  график `y=2|x-2|-1` получается из  последнего сдвигом на единицу вниз (рис. 15г).       

вывод

График функции `y=af(x-b)+c` получается из графика функции `y=f(x)` следующим образом.                        

1) Проводится «растяжение» в `|a|` раз; при этом если `a<0`, то график функции отражается  относительно   оси   абсцисс.                                                             

2) График сдвигается на `|b|` влево (если `b<0`) или на `|b|` вправо (`b>0`).                     

3) График сдвигается на `|c|` вверх  при `c>0` и на `|c|` вниз при `c<0`.                                       

г) Отметим на числовой прямой точки, в которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в ноль (рис. 16а). Эти три точки делят числовую прямую на четыре части, причём  на  каждой  из  частей  знаки выражений,  стоящих под модулями, не меняются.                     

Возможны 4 случая.

1) `ul(x<=-4)`.  Тогда  `x+4<=0`, `x-3<0`, `x+1<0`, поэтому

`y=2*(-x-4)-(x-3)+2x+3(x+1)=2x-2`.

Получаем луч (часть прямой `y=2x-2`, лежащую слева от прямой `x=-4`).

2)  `ul(-4<x<=-1)`. Тогда `x+4>0`, `x-3<0`, `x+1<=0`, поэтому   

`y=2(x+4)-(x-3)+2x+3(x+1)=6x+14`.                        

Получаем отрезок (часть прямой `y=6x+14`, лежащая между прямыми  `x=-4` и `x=-1`).

3)  `ul(-1<x<=3)`. Тогда `x+4>0`, `x-3<=0`, `x+1>0`, поэтому

`y=2(x+4)-(x-3)+2x-3(x+1)=8`. 

Получаем отрезок (часть прямой `y=8`, заключённая между прямыми `x=-1` и `x=3`).

4) `ul(x>3)`.  Тогда `x+4>0`, `x-3>0`, `x+1>0`, поэтому

`y=2(x+4)+(x-3)+2x-3(x+1)=2x+2`.                                        

     Получаем луч (часть прямой `y=2x+2`, находящуюся справа от прямой  `x=3`). График см. на рис. 16б.

Укажем второй способ построения. На каждом из четырёх участков `(-oo;-4]`, `[-4;-1]`, `[-1;3]`, `[3;+oo)` после раскрытия модулей получим линейную функцию, графиком которой является прямая. Чтобы построить прямую, достаточно знать две её точки. Отсюда вытекает следующий способ построения. Вычислим значения   функции   в  точках `x=-4`, `x=-1` и `x=3`, а также в каких-либо точках, лежащих на промежутках `(-oo;-4)` и `(3;+oo)`, например, `x=-5` и `x=4`. Получаем пять точек, принадлежащих графику:

`A(-4;-10)`, `B(-1;8)`, `C(3;8)`, `D(-5;-12)`, `E(4;10)`.

Проводим отрезки `AB` и `BC`, лучи `AD` и `CE` и получаем график.                                      

д) Построим сначала график функции `f_1(x)=|x|-3` (рис. 17а).       

 

График `f_2(x)=||x|-3|` получается из графика функции `f_1(x)` так: точки, лежащие выше оси `Ox` и на оси `Ox` сохраняются, а  все точки, лежащие ниже оси `Ox`, отражаются относительно оси `Ox` в  верхнюю полуплоскость (рис. 17б). Действительно, если `f_1(x)>=0`, то `f_2(x)=|f_1(x)|=f_1(x)`, а если `f_1(x)<0`, то `f_2(x)=|f_1(x)|=-f_1(x)`. Таким  образом, если при некотором `x` оказалось, что `f_1(x)>=0`, то точки на графике  для `f_1(x)` и `f_2(x)` совпадают.  Если же `f_1(x)<0`, то для `y=f_2(x)` абсцисса точки не поменяется, а ордината сменит знак.  График  функции `f_3(x)=||x|-3|-1` получается из графика функции `f_2(x)` сдвигом на единицу вниз (рис. 17в).

       
График  функции `f_4(x)=|||x|-3|-1|` получается из `f_3(x)` отражением всех  точек,  лежащих  ниже оси `Ox`, относительно оси `Ox` наверх (рис. 17 г).

вывод

График функции `y=|f(x)|` получается  из  графика  функции `y=f(x)` следующим образом. Все точки, лежащие  выше оси `Ox` и на оси `Ox`, сохраняются, а все точки, лежащие ниже оси `Ox`, отражаются относительно оси `Ox` и попадают  в  верхнюю  полуплоскость.                           

Пример14

Постройте график функции:

а) `y=x^2-4x+3`,

б) `y=|x^2-4x+3|`,

в) `y=x^2-4|x|+3`,

г) `y=|x^2-4|x|+3|`.

Решение

а) `x^2-4x+3=x^2-4x+4-1=(x-2)^2-1`.

График функции `y=x^2-4x+3` получается из графика функции `y=x^2` сдвигом на `2` вправо и на `1` вниз (рис. 18а).

 

б) Отразим все точки графика пункта а), лежащие ниже  оси  абсцисс,  относительно  этой  оси  (рис. 18б).      

в) Заметим, что функция `f(x)=x^2-4|x|+3` чётная (т. е. удовлетворяет условию `f(-x)=f(x)`),  поэтому  её график симметричен относительно оси ординат. Кроме того, при `x>=0` этот  график совпадает с графиком функции `f(x)=x^2-4x+3`.

Отсюда вытекает следующий способ построения. От графика функции `y=x^2-4x+3` оставим точки, лежащие справа от оси `Oy`, отразим их симметрично относительно  этой оси,  а точки, лежащие слева от оси `Oy`, отбросим (рис. 18в).    

вывод

График функции `y=f(|x|)` получается  из  графика  функции `y=f(x)` следующим образом.  Отбрасываем  все точки, лежащие слева от оси `Oy`, а оставшиеся точки отражаем относительно оси `Oy`.

г) Есть 2 способа построения.                    

(1) Все точки графика из пункта (в), лежащие ниже оси абсцисс, отражаем относительно этой оси.                   

(2) От графика пункта (б) отбрасываем точки, лежащие слева от оси ординат; все точки, находящиеся справа от оси ординат, отражаем относительно неё. Разумеется, в обоих случаях получается одинаковый результат (рис. 18г).

Теперь рассмотрим график функции `y=(ax+b)/(cx+d)`; при этом считаем, что 1) `c!=0` - т. к. иначе получится линейная функция – и 2) коэффициенты в числителе и в знаменателе не пропорциональны друг другу, т. е.  `ad!=bc`. (Если `ad=bc`, то `b=(ad)/c` и получаем `(ax+b)/(cx+d)=(ax+(ad)/c)/(cx+d)=(a/c(cx+d))/(cx+d)=a/c` при `cx+d!=0`). 

Покажем на примере, как этот график может быть построен.

Пример 15

Постройте график функции:

а) `y=6/(2x+3)`;

б) `y=(6-3x)/(2x+1)`.

Решение

а) `y=3/(x+3//2)`. Это график получается из гиперболы `y=3/x` параллельным переносом на `3/2` влево (см. рис. 19). Асимптотами этой гиперболы являются прямые `x=-3/2` и `y=0`. (У каждой гиперболы есть две асимптоты. Горизонтальная асимптота `y=bbb"const"` - это та прямая, к которой график приближается при `x`, стремящемся к бесконечности. Вертикальная асимптота `x=bbb"const"` возникает при том значении `x`, где знаменатель дроби обращается в ноль. При `x`, приближающемся к данной точке, функция стремится к бесконечности).

б) Отношение коэффициентов при `x` в числителе и знаменателе дроби равно `(-3/2)`.

Преобразуем данную дробь, добавляя и вычитая `(-3/2)`:

`y=-3/2+((6-3x)/(2x+1)+3/2)`.

Дроби в скобках приводим к общему знаменателю:

`y=-3/2+(12-6x+6x+3)/(2(2x+1)) iff y=-3/2+15/(4x+2) iff`

`iff y=-3/2+(15//4)/(x+1//2)`.

Этот график получается из графика `y=(15//4)/x` параллельным переносом на `3/2` вниз и на `1/2` влево (рис. 20).