Математика 9 класс 9-М-3

§1. Свойства модуля. Уравнения с модулем

Напомним определение модуля числа:

\[ |a| = \left\{ \begin{aligned} a \text{, если } & a \ge 0, \\ -a \text{, если } & a < 0 \end{aligned} \right.  \]

Отметим следующие свойства модуля, вытекающие непосредственно из определения.

11^\bigcirc. |a|0.|a| \ge 0.             22^\bigcirc. |a|a.|a|\ge a.          33^\bigcirc. |ab|=|a|·|b|.|ab| = |a|\cdot|b|.          44^\bigcirc. ab=|a||b|.\left| \dfrac{a}{b} \right| = \dfrac{|a|}{|b|}.        

55^\bigcirc. |-a|=|a|.|-a|=|a|.       66^\bigcirc. |a2|=|a|2=a2.|a^2| = |a|^2 = a^2.

77^\bigcirc. |a+b||a|+|b||a+b| \le |a| + |b| (здесь равенство достигается, когда числа `a` и `b` одного знака или одно из них равно нулю; если же числа `a` и `b` разных знаков, то выполняется строгое неравенство).

88^\bigcirc. |a-b|||a|-|b||.|a-b| \ge ||a|-|b||.

99^\bigcirc. |a||a| - это расстояние от точки `a` на числовой оси до точки `0`.

1010^\bigcirc. |a-b||a-b| - это расстояние между точками `a` и `b` на числовой оси.

1111^\bigcirc. a2=|a|.\sqrt{a^2} = |a|.

Докажем свойство 77^\bigcirc. Остальные свойства проверьте самостоятельно. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, возведение их в квадрат является равносильным преобразованием. Получаем 

\[|a+b|^2 \le (|a| + |b|)^2 \Leftrightarrow a^2 + 2ab + b^2 \le |a|^2 + 2|a| \cdot |b| + |b|^2 \Leftrightarrow ab \le |ab|.\]

Последнее неравенство верно (свойство 22^\bigcirc). Заметим, что оно обращается в равенство, когда числа aa и bb одного знака (или одно из них равно нулю).

Перейдём к уравнениям с модулем. В простейших случаях можно воспользоваться свойством модуля 1010^\bigcirc.


Пример 1

Решите уравнение:

a) |x-2|=5;|x-2| = 5;          б) |2x-1|=-1|2x-1| = -1         в) |x-2|=|x+6||x-2| = |x+6|


Решение

a) |x-2||x-2| - это расстояние между точками `x` и `2` на число вой прямой (свойство 1010^\bigcirc). Поэтому уравнение можно прочитать так: точка `x` удалена от точки `2` на расстояние `5`. Иначе говоря, мы ищем точки, удалённые от точки `2` на расстояние `5`. Ясно, что это точки `-3` и `7`. Записать решение короче всего так:

\[|x-2| = 5\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} x-2 &= 5, \\ x-2 &= -5 \end{aligned} \right.  \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} x &= 7, \\ x &= -3 \end{aligned} \right. .\]


Ответ

`x=-3`; `x=7`.

б) Левая часть уравнения неотрицательна (свойство 11^\bigcirc). Поэтому уравнение не имеет решений.


Ответ

нет решений.


в) Задачу можно сформулировать так: расстояние от точки `x` до точки `2` равно расстоянию от точки `x` до точки `(– 6)`, то есть мы ищем точку на прямой, равноудалённую от точек `2` и `(– 6)`. Ясно, что это середина отрезка, соединяющего эти точки, т. е. `x = -2`. 

Покажем ещё один способ решения: 

\[|x-2| = |x+6|\Leftrightarrow (x-2)^2 = (x+6)^2\Leftrightarrow x = -2 \]


Ответ

`x=-2`.


Если уравнение имеет более сложный вид, то, как правило, приходится раскрывать модуль по определению. Для этого отмечаем на числовой прямой точку (точки), в которых выражения, находящиеся под модулем, обращаются в ноль. Эти точки делят прямую на несколько промежутков, на каждом из которых знаки подмодульных выражений фиксированы, поэтому можно раскрыть модули. Рассмотрим пример. 

Пример 2

Решите уравнение: |x+1|+11= |2x+11|+|1-x||x+1| +11 =\ |2x+11| + |1-x|.


Решение

Отметим на числовой прямой точки x=-1, x= -112, x=1.x = -1, \; x = \ -\dfrac{11}{2}, \; x = 1.. Получаем `3` точки, которые разбивают числовую прямую на `4` интервала. Раскрываем модули на каждом из этих интервалов (см. рис. 1).

Рассмотрим 4 случая:

а) x-112.x \le -\dfrac{11}{2}. Тогда:

\[-(x+1) + 11 = -(2x+11) + (1-x) \Leftrightarrow x = -10.\]

Убеждаемся, что x=-10x =-10 удовлетворяет условию x-112x \le - \dfrac{11}{2}, поэтому x=-10x =-10 является решением данного уравнения.

б) -112<x<-1-\dfrac{11}{2} < x < -1. Тогда:

\[-(x+1) + 11 = (2x+11) + (1-x) \Leftrightarrow x = -1.\]

Однако x=-1x =-1 не удовлетворяет условию -112<x<-1-\dfrac{11}{2} < x < -1, поэтому x=-1x =-1  не подходит.

в) -1x1-1 \le x \le 1. Тогда:

\[(x+1) + 11 = (2x+11) + (1-x) \Leftrightarrow 12 = 12.\]

Получилось верное равенство, поэтому все `x`, удовлетворяющие условию -1x1-1 \le x \le 1 являются решениями.

г) x>1x>1. Тогда:

\[(x+1) + 11 = (2x+11) - (1-x) \Leftrightarrow x = 1.\]

Условие x>1x >1 не выполнено, поэтому данный корень не подходит.

Объединяем полученные решения и получаем x{-10}[-1; 1]x \in \{-10\} \cup [-1; \; 1] .

Ответ

x{-10}[-1; 1]x \in \{-10\} \cup [-1; \; 1] .

Замечания

1) При таком методе решения необходимо проверять принадлежат ли найденные корни рассматриваемому в данный момент промежутку – иначе можно получить неверный ответ.

2) Точки, в которых выражения под модулями обращаются в ноль, можно включать в любой из двух промежутков, для которых они являются границами. Например, если бы в случае б) мы взяли-112<x-1-\dfrac{11}{2} < x \le -1 то число x=-1x =-1 попало бы в промежуток. В случае в) мы бы рассматривали -1<x1-1 < x \le 1 и здесь корня x=-1x = -1 мы бы не получили. При этом объединение всех решений было бы тем же самым.