Математика 9 класс 9-М-2

§ 4. Некоторые приёмы решения алгебраических уравнений

Нам уже известны формулы для решения квадратных уравнений. А что делать, если встретится уравнение более высокой степени? Оказывается, что для уравнений третьей и четвёртой степени есть формулы, позволяющие найти корни (но они редко используются на практике ввиду их громоздкости), а для уравнений пятой степени и выше доказа- но, что таких формул не существует. Таким образом, у нас не выйдет в общем случае решить уравнение третьей или более высокой степени. Но существует ряд приёмов, позволяющих решить некоторые специ- альные виды уравнений. К их рассмотрению мы сейчас и перейдём.

Пример 9

Решите уравнение: `x^3 +4x^2 - 2x-3=0`.

Решение

Заметим, что `x=1` является корнем уравнения (значение многочлена при `x=1` равно сумме коэффициентов многочлена). Тогда по теореме Безу многочлен `x^3 +4x^2 -2x -3` делится на многочлен `x=1`. Выполнив деление, получаем:

 `x^3 +4x^2 -2x -3=0 hArr (x-1)(x^2 + 5x +3) =0 hArr` 

x-1=0,x2+5x+3=0,x=1,x=-5±132.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x-1=0,\\x^2+5x+3=0,\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1,\\x=\dfrac{-5\pm\sqrt{13}}2.\end{array}\right.

Ответ

`x=1`; `x=(-5+- sqrt13)/2`.

Обычно кубические уравнения решают именно так: подбирают один корень, выполняют деление уголком, после чего остаётся решить только квадратное уравнение. А что делать, если у нас уравнение четвёртой степени? Тогда придётся подбирать корень два раза. После подбора первого корня и деления останется кубическое уравнение, у которого надо будет подобрать ещё один корень. Возникает вопрос. Что делать, если такие «простые» числа как `+-1`, `+-2` не являются корнями уравнения? Неужели тогда надо перебирать всевозможные числа? Ответ на этот вопрос даёт следующее утверждение.

Теорема

Если несократимая дробь `p//q` (`p` - целое, `q` - натуральное) является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то свободный член делится на `p`, а старший коэффициент делится на `q`.

Доказательство

Пусть несократимая дробь `p//q` - корень многочлена (8). Это означает, что

`a_n (p/q)^n +a_(n-1) (p/q)^(n-1) + a_(n-2) (p/q)^(n-2) + ... + a_2 (p/q)^2 + a_1 (p/q) + a_0 =0`.

Умножим обе части на `q^n`, получаем:

`a_n p^n + a_(n-1) p^(n-1) q+a_(n-2) p^(n-2) q^2 + ... + a_2 p^2 q^(n-2) + a_1 pq^(n-1)+ a_0 q^n =0`.