Математика 9 класс 9-М-2

§3. Многочлены

Многочленом с одной переменной называется выражение вида

  `P(x) = a_n x^n + a_(n-1)  x^(n-1) +a_(n-2)  x^(n-2) + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 (a_n != 0)`.           (8)

Числа `a_0`, `a_1`, `...`, `a_n` - это коэффициенты многочлена; `a_n` называют старшим коэффициентом,  `a_0` - свободным членом.

Степенью многочлена называют наибольшую степень переменной, входящую в многочлен.

Например, степень многочлена `P = x^4 - x^3 - x^2 + 2x + 1` равна 4; степень  многочлена `25 + x^5 - 3x` равна  5;  степень  многочлена `17` равна `0`, т. к. переменная в это выражение не входит; наконец, выражение `3x^2 + x +5+ 2/x` многочленом не является, поэтому о его степени говорить бессмысленно. Многочлен `P(x) = 0` называют нулевым многочленом.  Степень нулевого многочлена не определена.

Два многочлена называются равными, если равны все их коэффициенты. Многочлен равен нулю, если все его коэффициенты равны нулю.  

Число `a`  называется корнем многочлена  `F(x)`, если `F(alpha) = 0`.

 Приведём основные сведения о многочленах.

Теорема 1.

(Деление многочленов с остатком) (без доказательства). Для любых двух многочленов `F(x)` и `G(x)` существует единственная пара многочленов `P(x)` (частное) и `Q(x)` (остаток) такая, что `F(x) = G(x) * P(x) + Q(x)`, причём степень остатка `Q(x)` меньше степени делителя `G(x)`, или `Q(x)` есть нулевой многочлен. Покажем, как на практике находят частное и остаток от деления многочленов.

Пример 5.

Разделите с остатком многочлен `F(x) = 18x^5 + 27x^4 -37x^3 - 14x + 20`                                

на многочлен `G(x) = 2x^2 + 3x -5`.

Решение

Процедура деления многочленов очень похожа на деление целых чисел. Если степень делимого не меньше степени делителя, то делаем следующее: делим старший член многочлена `F(x)`  на старший член многочлена `G(x)`, получившийся результат записываем в частное. Умножаем результат на весь делитель `G(x)` и вычитаем полученное из исходного многочлена `F(x)`. После этих действий член со старшей степенью `x` сокращается. Если в результате вычитания у оставшегося многочлена степень не меньше, чем степень  делителя, то можно сделать ещё один шаг деления и т. д.

 Деление закончится тогда, когда степень делимого  будет меньше степени делителя. В случае, когда в делимом отсутствуют некоторые степени переменных, для удобства записи лучше оставить пустые места для соответствующих членов (хотя это не обязательно).

Вернёмся к нашему примеру. Первый член частного равен `(18x^5)/(2x^2) = 9x^3`. При умножении на делитель `2x^2 +3x-5` получаем `18x^5 + 27x^4 - 45x^3`. После вычитания из исходного многочлена от него остаётся `8x^3 -14x +20`. Степень многочлена, оставшегося после вычитания, равна `3`. Это больше степени делителя, поэтому можно сделать следующий шаг деления. Делим `8x^3` на `2x^2` и получаем `4x`, умножаем `4x` на `2x^2 +3x-5`, получаем `8x^3 +12x^2 -20`; вычитаем этот многочлен из `8x^3 -14x +20` и т. д. 

Ответ:

частное равно `9x^3 +4x -6`; остаток  равен `24x-10`.

ЗАМЕЧАНИЕ.

Таким  образом,   `18x^5 + 27x^4 - 37x^3 -14x + 20 = (2x^2 + 3x - 5)(9x^3 + 4x - 6) + (24x - 10)`.     

Теорема 2. (Теорема Безу и следствия из неё).

1) Теорема Безу. Остаток от деления многочлена `F(x)` на многочлен `(x-alpha)` равен `F(alpha)`.

2) Число `alpha`  является корнем многочлена `F(x)` тогда и только тогда, когда многочлен `F(x)` делится на многочлен `(x-alpha)`.

3) Если `alpha` и `beta` - различные корни многочлена  `F(x)`, то он делится на многочлен `(x- alpha)(x- beta)`.

4) Многочлен степени `n`  не может иметь более `n`  корней.


Доказательство

1) Разделим с остатком многочлен `F(x)` на многочлен `(x-alpha)`. Тогда остаток либо равен нулю, либо является многочленом нулевой степени (т. к. степень остатка меньше степени делителя, а степень делителя равна 1). Поэтому можно записать, что

`F(x) = (x-alpha) G(x) +C`                                                                        (9)

 Через `G(x)` здесь обозначено частное от деления, вид которого нас не интересует.

Равенство (9) верно при всех значениях `x`. Подставим в него `x=alpha`.

Тогда  `F(alpha) = (alpha - alpha)G(alpha) + C`, или `F(alpha) = C`.

 Подставим `C=F(alpha)` в (9) и получим            

 `F(x) = (x - alpha) G (x) + F(alpha)`.                                                      (10)

Первая часть доказана.

2) Из (10) следует, что `F(x)` делится на `(x - alpha)` тогда и только тогда, когда `F(alpha) = 0`, т. е. тогда и только тогда, когда  `alpha` есть корень многочлена `F(x)`.

3) `alpha` - корень  `F(x) => F(x)` делится на `(x- alpha) => F(x) = (x- alpha) G(x)`. Подставим в последнее равенство (которое верно для  всех  значений  переменной `x`) `x= beta`. Тогда   `F(beta) = (beta - alpha) G(beta)`.

`F(beta) = 0`  (т. к. `beta` -корень `F(x)`), поэтому `(beta - alpha)G(beta) = 0 =>G(beta) = 0`    (т. к. `beta != alpha`); отсюда `G(x)` делится  на `(x- beta)`, т. е. `G(x) = H(x) * (x- beta)`. Подведём итог: `F(x) = (x- alpha) G(x) = (x -alpha)(x- beta) H(x)`,  т. е. `F(x)` делится   на `(x- alpha)(x- beta)`.

4) Теперь становится понятным, что многочлен степени `n` не может иметь больше, чем `n` корней.


Пример 6.

Остатки от деления многочлена `F(x)` на многочлены `(x-3)` и `(x+5)` равны  `2` и `(-9)` соответственно. Найдите остаток  от деления многочлена `F(x)` на многочлен `x^2 + 2x -15`.

Решение

Заметим, что `x^2 + 2x -15 = (x-3)(x+5)`.

По теореме Безу `F(3) = 2`; `F(-5) =-9`.  

Поделим `F(x)` с остатком на `x^2 + 2x -15`:

 `F(x) = (x^2 + 2x - 15)G(x) + r(x)`.                             

Степень  остатка  не  превосходит степени делителя, поэтому остаток – это либо многочлен первой степени, либо нулевой степени, либо равен нулю. В любом случае, остаток представим в виде `r(x) = ax +b` (если `a!= 0`, то получим многочлен первой степени; если `a=0`, `b!=0`, то будет многочлен нулевой степени; если `a=b=0`, то получим нулевой многочлен). Итак,

`F(x) = (x^2 + 2x-15)G(x) + ax+b`.                                                 (11)

  Подставим в равенство  (11) `x=3` и `x=-5`: 

`F(3) = 0 * G(3) + 3a + b`; `F(-5)=0 * G(-5) -5a+b`, откуда 3a+b=2,-5a+b=-9.\left\{\begin{array}{l}3a+b=2,\\-5a+b=-9.\end{array}\right.

Решая эту систему, нахоим, что  `a=(11)/8`,  `b=- (17)/8`.    

Ответ
остаток равен `(11)/8 x - (17)/8`.


Пример 7.

Докажите, что 26-1533+26+1533=4\sqrt[3]{26-15\sqrt3}+\sqrt[3]{26+15\sqrt3}=4.                      (12)

Решение

Пусть  26-1533+26+1533=x\sqrt[3]{26-15\sqrt3}+\sqrt[3]{26+15\sqrt3}=x. Возведём обе части этого равенства в куб и преобразуем:  

26-153+326-1532326+1533+326-153326+15323+26+153=x326-15\sqrt3+3\sqrt[3]{\left(26-15\sqrt3\right)^2}\sqrt[3]{26+15\sqrt3}+3\sqrt[3]{26-15\sqrt3}\sqrt[3]{\left(26+15\sqrt3\right)^2}+26+15\sqrt3=x^3;

52+326-153326+153326-1533+26+1533=x352+3\sqrt[3]{26-15\sqrt3}\sqrt[3]{26+15\sqrt3}\left(\sqrt[3]{26-15\sqrt3}+\sqrt[3]{26+15\sqrt3}\right)=x^3;

52+3262-1532326-1533+26+1533=x352+3\sqrt[3]{26^2-\left(15\sqrt3\right)^2}\left(\sqrt[3]{26-15\sqrt3}+\sqrt[3]{26+15\sqrt3}\right)=x^3;

52+326-1533+26+1533=x352+3\left(\sqrt[3]{26-15\sqrt3}+\sqrt[3]{26+15\sqrt3}\right)=x^3;

`52+3x=x^3`;

`x^3-3x-52=0`.                                          (13)

Число `x=4` является корнем этого уравнения. Докажем, что других корней нет (и тем самым будет доказана справедливость равенства (12)).  Поскольку `x=4` является корнем,  многочлен `x^3 - 3x-52` делится  на `x-4` без остатка. Выполняя деление, получаем:

x3-3x-52=0x-4x2+4x+13=0x-4=0,x2+4x+13=0.x^3-3x-52=0\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x^2+4x+13\right)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x-4=0,\\x^2+4x+13=0.\end{array}\right.      

У квадратного трёхчлена `x^2 +4x+13` отрицательный дискриминант, поэтому уравнение (13)  имеет ровно один корень `x=4`.

Пример 8.

При каких  `a` и `b` многочлен `F(x)=x^4 +ax^3 - 2x^2 +19x+b` делится на многочлен `x^2 -3x+2`?

Решение

1-й способ. Выполним деление с остатком:

Приравниваем коэффициенты остатка к нулю

7a+28=0,b-6a-10=0,a=-4,b=-14.\left\{\begin{array}{l}7a+28=0,\\b-6a-10=0,\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-4,\\b=-14.\end{array}\right.

2-й способ. `x^2 -3x+2=(x-1)(x-2)`.

Многочлен делится на `(x-1)(x-2)` тогда и только тогда, когда `x=1` и `x=2` являются корнями  многочлена. То есть, 

F1=1+a-2+19+b=0,    F2=16+8a-8+38+b=0,18+a+b=0,46+8a+b=0,a=-4,b=-14.\begin{array}{l}\begin{array}{c}F\left(1\right)=1+a-2+19+b=0,\;\;\;\;\\F\left(2\right)=16+8a-8+38+b=0,\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}18+a+b=0,\\46+8a+b=0,\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-4,\\b=-14.\end{array}\right.\\\end{array}

Ответ

`a=-4`, `b=-14`.