Математика 11 класс 11-М-2

§2. Задачи о делении отрезка. Теорема Менелая

Задача о «делении отрезка», как правило, решаются дополнительным построением – проведением прямой, параллельной рассекающей, и использованием подобия или теоремы о пересечении сторон угла параллельными прямыми. Общий подход к решению таких задач даёт теорема Менелая (далее напомним формулировку и доказательство, в задании 9-го класса это уже было сделано).

Задача 7

Точка DD  лежит на стороне BCBC, точка KK - на стороне ABAB треугольника  ABCABC, прямые ADAD и CKCK пересекаются в точке OO (рис. 15). Найти отношение  AO:ODAO:OD, если AK:KB=1:3AK:KB=1:3 и BD:DC=2:3BD:DC=2:3.  

Решение
Рис. 15 Рис. 15a Рис. 15б

Δ Расставим на рисунке данные о делении  сторон.  Чтобы  решение стало  более  понятным,  сделаем  ещё  один  рисунок  (рис. 15а),  на   нём проведём DS||CKDS||CK.    

Рассматриваем треугольник KBCKBC. Из DS||CK по утверждению  2°2^\circ

(второй признак подобия треугольников) следует KS:KB=CD:CBKS:KB=CD:CB откуда KS=35*3x=95x.KS=\frac35\ast3x=\frac95x. (Ставим это на рисунке).

На этом этапе удобно сделать ещё один рисунок (рис. 15б), либо на рисунке 15а провести прямую  и отметить точку  OO.

В треугольнике ASDASD по построению SD||KOSD||KO, По утверждению 2°2^\circ имеем  AO:OD=AK:KSAO:OD=AK:KS, откуда следует AO:OD=5:9AO:OD=5:9  ▲

теорема 7 (менелая) о треугольнике и секущей

Точки  и  расположенные на сторонах  и  треугольника  и точка  расположенная на продолжении стороны  за точку   лежат  на  одной  прямой   тогда  и только тогда, когда имеет  место равенство: 

AC1C1B*BA1A1C*CB1B1A=1 (*)\frac{AC_1}{C_1B}\ast\frac{BA_1}{A_1C}\ast\frac{CB_1}{B_1A}=1\;(\ast)

Рис. 16а

□ Пусть точки B1,A1,C1B_1,A_1,C_1 лежат на одной прямой. 

  Проводим CK||ABCK||AB (рис. 16а):

A1CK~A1BC1CKC1B=A1CBA1;B1AC1~B1CKAC1CK=B1AB1C.\begin{array}{l}\triangle A_1CK\sim\triangle A_1BC_1\Rightarrow\frac{CK}{C_1B}=\frac{A_1C}{BA_1};\\\triangle B_1AC_1\sim\triangle B_1CK\Rightarrow\frac{AC_1}{CK}=\frac{B_1A}{B_1C}.\end{array}                                    

Почленно перемножив, получим  

AC1C1B=A1CBA1*B1ACB1AC1C1B*BA1A1C*CB1B1A=1\begin{array}{l}\frac{AC_1}{C_1B}=\frac{A_1C}{BA_1}\ast\frac{B_1A}{CB_1}\Rightarrow\\\Rightarrow\frac{AC_1}{C_1B}\ast\frac{BA_1}{A_1C}\ast\frac{CB_1}{B_1A}=1\end{array}                          

(стрелочки на рис. 16а показывают последовательность взятия отрезков, движение начинается в точке А и в ней же заканчивается).

Рис. 16б

2. Пусть имеет место равенство (*)(*). Через две точки B1B_1 и A1A_1 проводим   прямую,   точку  пересечения    с   отрезком ABAB обозначаем C2C_2 (рис. 16б). Точки  A1,B1A_1, B_1 и C2C_2  лежат на одной прямой, по доказанному имеет место 

AC1C1B*BA1A1C*CB1B1A=1.\frac{AC_1}{C_1B}\ast\frac{BA_1}{A_1C}\ast\frac{CB_1}{B_1A}=1.

Сравнивая с равенством (*)(*), устанавливаем, что AC2C2B=AC1C1B\frac{AC_2}{C_2B}=\frac{AC_1}{C_1B} и показываем, что точки C2C_2 и C1C_1 совпадают, т. к. делят отрезок ABAB на равные отрезки. ■

Применим теорему Менелая к решению примера 7 (см. рис. 15): рассматриваем треугольник BADBAD и секущую CKCK (она определяет три точки: K,O,CK,O,C ). Имеем: BKKA·AOOD·DCCB=1, т.е. 3xx·AOOD·3y5y=1AOOD=59.\frac{BK}{KA}\cdot\frac{AO}{OD}\cdot\frac{DC}{CB}=1,\;т.е.\;\frac{3x}x\cdot\frac{AO}{OD}\cdot\frac{3y}{5y}=1\Rightarrow\frac{AO}{OD}=\frac59.

Дополнение. Если при тех же условиях задачи 6 требуется определить, какую часть площади треугольника составляет, например, площадь 4х угольника KODBKODB то полезно сначала решить задачу о «делении отрезка» и найти, например, AO:OD=5:9AO:OD=5:9, а затем использовать тот факт, что площади треугольников с одинаковыми высотами относятся как длины их оснований:

SABC=S; SADC=35S (DC=35BC);SOCD=914SADC=91435S=2770S (OD=914AD);SKCB=34S (BK=34AB)SKCB=SKCB-SOCD=34S-2770S=51140S.\begin{array}{l}S_{ABC}=S;\;S_{ADC}=\frac35S\;(DC=\frac35BC);\\S_{OCD}=\frac9{14}S_{ADC}=\frac9{14}\left(\frac35S\right)=\frac{27}{70}S\;(OD=\frac9{14}AD);\\S_{KCB}=\frac34S\;(BK=\frac34AB)\Rightarrow\\\Rightarrow S_{KCB}=S_{KCB}-S_{OCD}=\frac34S-\frac{27}{70}S=\frac{51}{140}S.\\\end{array}