Математика 9 класс 9-М-2

§ 2. Квадратный трёхчлен. Квадратные уравнения. Теорема Виета

Квадратным называют уравнение

                                                            ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0,                                                                       (3)

где a0a \neq 0.

Если разделить обе части уравнения (3) на aa (это можно сделать, так как a0a \neq 0) и обозначить коэффициенты p=b/a p = b/a и q=c/aq = c/a, то получим уравнение

                                                           x2+px+q=0x^2+px+q = 0                                                                            (4)

называемое приведённым квадратным уравнением.

Левую часть в (3) и (4) называют квадратным трёхчленом. Корни уравнения называют также корнями трёхчлена.

Все вы, конечно же, знаете формулу корней квадратного уравнения. Ввиду особой важности метода выделения полного квадрата, напомним способ её получения. Преобразуем левую часть (3):

               ax2+bx+c=ax2+bax+ca  =ax2+2b2ax+ca=ax^2+bx+c=a \left(x^2+\dfrac bax+\dfrac ca\right)   = a\left(x^2+2\dfrac{b}{2a}x+\dfrac ca\right) =

               ax2+2b2ax+b2a2-b2a2+ca=ax+b2a2-b2-4ac4a2a \left(x^2+2\dfrac {b}{2a}x+\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac ca\right) = a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right).     (5)

Выражение b2-4acb^2 - 4ac называется дискриминантом и обозначается буквой DD. С учётом этого обозначения уравнение (3) можно переписать в виде:

                                                          x+b2a2=D4a2\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{D}{4a^2}                                                                     (6)

Теперь вы видите, откуда получается выражение для дискриминанта и почему его знак определяет количество корней квадратного уравнения.

Из (6) при D0D \geq 0 получаем x1=-b2a+D2ax_1 = -\dfrac{b}{2a}+\dfrac {\sqrt D }{2a};   x2=-b2a-D2ax_2 = -\dfrac{b}{2a}-\dfrac {\sqrt D }{2a}.

Эти формулы можно объединить одной записью

                                                           x1,2=-b±D2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a}                                                                         (7)

Обратим внимание, что при D=0D = 0 выходит, что x1=x2x_1 = x_2. В этом случае говорят, что квадратное уравнение имеет один корень кратности 2.

Если в уравнении (3) коэффициент bb имеет вид b=2kb = 2k (например, если bb - чётное число), то удобнее использовать формулы, получаемые из (7) сокращением на 2 числителя и знаменателя:

                x1,2=-b±b2-4ac2a=-2k±4k2-4ac2a=-k±k2-acax_{1,2} = \dfrac {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \dfrac {-2k \pm \sqrt{4k^2 - 4ac}}{2a} = \dfrac {-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}       (7')

Например, корни уравнения 81x2-42x+5=081x^2 - 42x + 5 = 0 проще найти по формулам (7'), чем (7). Здесь b=-42=2(-21)b = - 42 = 2(-21), поэтому

                x1,2=21±212-81·581=21±9(72-9·5)81= 21±3481=7±227x_{1,2} = \dfrac {21 \pm \sqrt{21^2-81 \cdot 5}}{81} = \dfrac{21 \pm \sqrt{9(7^2 - 9 \cdot 5)}}{81} = \dfrac {21 \pm 3\sqrt{4}}{81} = \dfrac {7 \pm 2}{27},

                                                                      x1=527,  x2=13x_1 = \dfrac{5}{27},   x_2 = \dfrac 1 3

Если дискриминант квадратного трёхчлена неотрицателен, то выкладки (5) можно продолжить:

`a((x+ b/(2a))^2 - D/(4a^2) ) = a((x+ b/(2a) )^2 - ((sqrtD)/(2a))^2)=a(x+b/(2a) - (sqrtD)/(2a))(x+b/(2a) + (sqrtD)/(2a))=`

`=a(x-(-b+sqrtD)/(2a))(x-(-b-sqrtD)/(2a))=a(x-x_1)(x-x_2)`.

Таким образом, если квадратный трёхчлен ax2+bx+cax^2+bx+c имеет крни, то он раскладывается на множители ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2). В случае D=0D = 0  корни совпадают `(x_1 = x_2 = x_0)`, и тогда получаем ax2+bx+c=a(x-x0)2ax^2 + bx + c = a(x-x_0)^2.

Заметим, что квадратный трёхчлен ax2+bx+cax^2+bx+c  имеет корни, то `x_1 + x_2 = (- b + sqrtD)/(2a) + (- b - sqrtD)/(2a) = - b/a`;

`x_1 * x_2 = (-b+ sqrtD)/(2a) * (-b-sqrtD)/(2a) = (b^2 - D)/(4a^2) = (b^2 - (b^2 - 4ac))/(4a^2) = c/a`.

Полученный результат называют теоремой Виета. Для приведённого квадратного трёхчлена x2+px+qx^2 + px + q теорема Виета выглядит так: если есть корни `x_1` и `x_2`, то `x_1 + x_2 = - p`, `x_1 x_2 =q`.

Имеет место и теорема, обратная теореме Виета:

если числа x1x_1 и x2x_2 удоветворяют условиям x1+x2=px_1+x_2 = p, x1·x2=qx_1 \cdot x_2 = q, то эти числа являются корнями уравнения x2-px+q=0x^2 - px + q = 0

Доказательство этой теоремы - это один из контрольных вопросов Задания. Иногда для краткости обе теоремы Виета (прямую и обратную) называют просто теорема Виета.

Пример 2.

Решите уравнение:

a) x2+(3+17)x+51=0x^2 + (\sqrt 3 + \sqrt {17})x + \sqrt {51} = 0;   б) 2016x2+2017x+1=02016x^2 + 2017x + 1 = 0;

в) 3x2+(5-23)x+(3-5)=0\sqrt 3 x^2+ (5 - 2\sqrt 3)x + (\sqrt 3 - 5) = 0.

Решение

a) По теореме, обатной теореме Виета, x1=-3x_1 = - \sqrt 3  и x2=-17x_2 = - \sqrt {17} - корни данного уравнения.

ОТВЕТ:

x=-3;x=-17x= -\sqrt 3 ; x = -\sqrt {17}

б) Заметим, что x1=-1x_1 = -1 является корнем данного уравнения.  Значит, уравнение имеет корни, и по теореме Виета, их произведение x1 · x2 = 12016x_1\;\cdot\;x_2\;=\;\dfrac1{2016}, откуда x2 = -12016x_{2\;}=\;\dfrac{-1}{2016}.

ОТВЕТ:

x=-1;x=-12016x = -1; x =\dfrac{-1}{2016}

в) Заметим, что x1=1x_1 = 1 является корнем (это легко видеть, т. к. сумма всех коэффициентов в уравнении равна нулю).  Из условия x1·x2=3-53x_1 \cdot x_2 = \dfrac {\sqrt 3 - 5}{\sqrt 3} получаем, что x2=1-53x_2 = 1 - \dfrac {5}{\sqrt 3}.

ОТВЕТ:

x=1;x=1-53x=1; x=1 - \dfrac {5} {\sqrt 3}.

Пример 3.

Найти наибольшее значение выражения 4+7x-3x24 + 7x - 3x^2.


Решение

Будем осуществлять методом выделения полного квадрата.

4+7x-3x2=-3x2-73x+4=-3x2-2·76x +4936-4936+4=4 + 7x - 3x^2 = -3 \left(x^2 - \dfrac 7 3 x \right) + 4 = -3 \left(x^2 - 2 \cdot \dfrac{7}{6} x  + \dfrac {49} {36} - \dfrac { 49}{36} \right) + 4 = -3x-762-4936+4=-3x-762+4912  +4=-3x-762+9712 -3 \left(\left(x - \dfrac{7}{6}\right)^2 - \dfrac{49}{36}\right) + 4 = -3\left(x - \dfrac{7}{6}\right)^2 + \dfrac{49}{12}   + 4 = -3\left(x - \dfrac{7}{6} \right)^2 + \dfrac{97}{12} .

-3x-7620-3\left(x - \dfrac{7}{6}\right)^2 \leq 0 при всех xx, поэтому максимальное значение выражения достигается, если -3x-762=0-3\left(x - \dfrac{7}{6}\right)^2 = 0. Значит, это максимальное значение равно 9712\dfrac {97}{12} (достигается при x=76 x = \dfrac {7}{6} ).

ОТВЕТ: 9712\dfrac{97}{12}

Пример 4.

Пусть x1x_1 и x2x_2 - корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0. выразите x12+x22x_{1}^2 + x_{2}^2 через коэффициенты уравнения.

Решение

По теореме Виета x1+x2=-ba,x1x2=cax_1 + x_2 = - \dfrac{b}{a}, x_1x_2 = \dfrac{c}{a}. Преобразуем x12+x22x_1^2 + x_2^2, выделяя полный квадрат:

            x12+x22=x12+x22+2x1·x2-2x1·x2=(x1+x2)2-2x1·x2x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + x_2 ^2 + 2x_1\cdot x_2 - 2x_1\cdot x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2.

Отсюда: x12+x22=-ba2-2ca=b2-2aca2x_1^2 + x_2^2 = \left(-\dfrac{b}{a}\right)^2 - 2 \dfrac{c}{a} = \dfrac{b^2 - 2ac}{a^2}

ОТВЕТ: b2-2aca2\dfrac{b^2 - 2ac}{a^2}