Математика 9 класс 9-М-2

&1. Введение

Вспомним некоторые понятия и определения, изученные вами в восьмом классе.

Число aa называется решением (или корнем) уравнения, если при его подстановке в уравнение вместо неизвестной уравнение превращается в верное равенство. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Точно так же определяется понятие решения неравенства, а именно: число aa называется решением неравенства, если при подстановке числа aa вместо переменной в неравенство получается верное неравенство. Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Совокупность всех решений уравнения (неравенства) называют множеством решений уравнения (неравенства). Если уравнение (неравенство) не имеет решений, то говорят, что его множество решений пусто (обозначается значком \varnothing).

Уравнения (неравенства) называются равносильными, если множества их решений совпадают. Заметим также, что уравнение и неравенство могут быть равносильны друг другу. (Обозначение: уравнение (1) \Leftrightarrow уравнение (2)).

Пример 1.

Среди следующих пар уравнений и неравенств выберите равносильные:

а) |x|=2|x| = 2 и x4-x2-12=0x^4 - x^2 - 12 = 0;   б) x-12=24-x\sqrt{x - 12} = 24 - x  и  x-12=(24-x)2x - 12 = (24 - x)^2;

в) x2xx^2 \leq x и x1x \leq 1;   г) x0x \geq 0 и |x|=x|x| = x;   д) x2<0x^2 < 0 и x2+3x+3=0x^2 + 3x +3 = 0.

Решение

a) По определению модуля |x|=2|x| = 2 \Leftrightarrow x=2,x=-2.\left[\begin{array}{c}x=2,\\x=-2.\end{array}\right.

Решим уравнение x4-x2-12=0x^4 - x^2 - 12 = 0. Сделаем замену x2=tx^2 = t. Тогда получаем t2-t-12=0 t^2 - t -12 = 0, откуда t=4,t=-3.\left[\begin{array}{c}t = 4,\\t = -3.\end{array}\right.

Поэтому x4-x2-12=0x^4 - x^2 - 12 = 0 \Leftrightarrow x2=4x2=-3\left[\begin{array}{c}x^2=4\\x^2=-3\end{array}\right. x2=4\Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x=2x=-2\left[\begin{array}{c}x=2\\x=-2\end{array}\right.

Значит, уравнения равносильны.

б) x-12=(24-x)2x-12=x2-48x+576x2-49x+588=0x - 12 = (24 - x)^2 \Leftrightarrow x - 12 = x^2 - 48x + 576 \Leftrightarrow x^2 - 49x +588 = 0 \Leftrightarrow x=21x=28\left[\begin{array}{c}x=21\\x=28\end{array}\right.

Заметим, что x=28x=28 не является решением первого уравнения (при подстановке x=28x=28 получаем неверное равенство 4=-44 = -4), поэтому уравнения не равносильны.

в) Чисо x=-1x = -1 является решением второго неравенства, но не является решением первого. Значит, их множества решений не совпадают, и неравенства равносильными не являются.

г) По определению модуля, уравнению |x|=x|x| = x удовлетворяет любое x0x \geq 0. Отрицательных решений это уравнение не имеет, т. к. при x<0x < 0 левая часть положительна, а правая - отрицательна. Получаем, что данные уравнение и неравенство равносильны.

д) И уравнение, и неравенство не имеют решений, поэтому они равносильны.

При решении уравнений можно действовать двумя способами.

1) Все выполняемые преобразования равносильны. Тогда мы сразу получаем ответ.

2) Если мы делаем какие-то неравносильные преобразования, то ни одно из них не должно приводить к потере корней. (Действительно, если корень потерялся, то его никак не вернёшь). Значит, нам можно делать только такие неравносильные преобразования, в результате которых мы можем приобрести лишние корни. В таком случае в конце решения необходимо сделать отбор корней: подставляя все найденные значения переменной в исходное уравнение, отбираем те из них, которые являются его корнями. Естественно, этот способ не проходит, если уравнение имеет бесконечно много решений (так как при отборе корней нельзя подставить бесконечное количество значений в уравнение). В таком случае приходится делать только равносильные преобразования.

Некоторые преобразования всегда приводят нас к равносильным уравнениям, например, перенесение слагаемых из одной части уравнения в другую, умножение обеих частей уравнения на отличное от нуля число и др. Применяя другие преобразования, мы иногда получаем равносильные уравнения, а иногда нет. (См. контрольные вопросы № 10 – 11).

Когда мы решаем неравенства, почти всегда отбор корней сделать невозможно (так как неравенства обычно имеют бесконечно много реше-ний), поэтому необходимо делать только равносильные преобразования.

Рассмотрим два уравнения

                                                        f1(x)=g1(x)f_1(x) = g_1(x)                                                                      (1)

                                                       f2(x)=g2(x)f_2(x) = g_2(x)                                                                      (2)

Говорят, что уравнение (2) является следствием уравнения (1) (пишут (1)\Rightarrow(2)), если каждый из корней уравнения (1) является также и корнем уравнения (2). Иначе говоря, множество решений уравнения (1) содержится в множестве решений уравнения (2).

Несложно видеть, что если из (1) следует (2), а из (2) следует (1), то уравнения (1) и (2) равносильны.

Например, x=2(x-2)(x-3)=0 x = 2 \Rightarrow (x-2)(x-3) = 0;   x2+1=0x=5x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x= 5 (действительно, множество решений первого уравнения пусто, а пустое множество является подмножеством любого множества). Таким образом, если уравнение (неравенство) не имеет корней, то из него следует любое другое уравнение (неравенство).