§2. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена

Автор
Агаханова Яна Сергеевна 274 статьи

§2. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена

Описание метода выделения полного квадрата

Определение

Выражения вида $2 x^{2} + 3 x + 5,$ `-4x^2+5x+7` носят название квадратного трёхчлена. В общем случае квадратным трёхчленом называют выражение вида $a x^{2} + b x + c,$ где $a, b, c$ – произвольные числа, причём $a \neq 0 .$

Рассмотрим квадратный трёхчлен $x^{2} - 4 x + 5 .$ Запишем его в таком виде: $x^{2} - 2 \cdot 2 \cdot x + 5 .$ Прибавим к этому выражению $2^{2}$ и вычтем $2^{2},$ получаем: $x^{2} - 2 \cdot 2 \cdot x + 2^{2} - 2^{2} + 5 .$ Заметим, что $x^{2} - 2 \cdot 2 \cdot x + 2^{2} = (x - 2)^{2},$ поэтому

$x^{2} - 4 x + 5 = (x - 2)^{2} - 4 + 5 = (x - 2)^{2} + 1 .$

Преобразование, которое мы сделали, носит название «выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена».

Пример 1

Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена $9 x^{2} + 3 x + 1 .$

Решение

Заметим, что $9 x^{2} = (3 x)^{2},$ `3x=2*1/2*3x`. Тогда

`9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`.

Прибавим и вычтем к полученному выражению `(1/2)^2`, получаем

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена для разложения квадратного трёхчлена на множители.

Пример 2

Разложите на множители квадратный трёхчлен $4 x^{2} - 12 x + 5 .$

Решение

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена:

${(2 x)}^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot 3 + 3^{2} - 3^{2} + 5 = {(2 x - 3)}^{2} - 4 = (2 x - 3)^{2} - 2^{2} .$

Теперь применяем формулу $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b),$ получаем:

$(2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1) .$

Пример 3

Разложите на множители квадратный трёхчлен $- 9 x^{2} + 12 x + 5 .$

Решение

$- 9 x^{2} + 12 x + 5 = - (9 x^{2} - 12 x) + 5 .$ Теперь замечаем, что $(9 x^{2}) = {(3 x)}^{2},$ $- 12 x = - 2 \cdot 3 x \cdot 2 .$

Прибавляем к выражению $9 x^{2} - 12 x$ слагаемое $2^{2},$ получаем:

$- ({(3 x)}^{2} - 2 \cdot 3 x \cdot 2 + 2^{2} - 2^{2}) + 5 = - ({(3 x - 2)}^{2} - 4) + 5 = - {(3 x - 2)}^{2} + 4 + 5 = = - {(3 x - 2)}^{2} + 9 = 3^{2} - {(3 x - 2)}^{2} .$

Применяем формулу для разности квадратов, имеем:

$- 9 x^{2} + 12 x + 5 = (3 - (3 x - 2)) (3 + (3 x - 2)) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .$

Пример 4

Разложите на множители квадратный трёхчлен $3 x^{2} - 14 x - 5 .$

Решение

Мы не можем представить выражение $3 x^{2}$ как квадрат какого-то выражения, т. к. ещё не изучали этого в школе. Это будете проходить позже, и уже в Задании №4 будем изучать квадратные корни. Покажем, как можно разложить на множители заданный квадратный трёхчлен:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3)^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1)`.

Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата для нахождения наибольшего или наименьшего значений квадратного трёхчлена.
Рассмотрим квадратный трёхчлен $x^{2} - x + 3 .$ Выделяем полный квадрат:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Заметим, что при `x=1/2` значение квадратного трёхчлена равно `11/4`, а при `x!=1/2` к значению `11/4` добавляется положительное число, поэтому получаем число, большее `11/4`. Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно `11/4` и оно получается при `x=1/2`.

Пример 5

Найдите наибольшее значение квадратного трёхчлена $- 16 x^{2} + 8 x + 6 .$

Решение

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: $- 16 x^{2} + 8 x + 6 = - ({(4 x)}^{2} - 2 \cdot 4 x \cdot 1 + 1 - 1) + 6 = - ({(4 x - 1)}^{2} - 1) + 6 = = - {(4 x - 1)}^{2} + 7 .$

При `x=1/4` значение квадратного трёхчлена равно $7,$ а при `x!=1/4` из числа $7$ вычитается положительное число, то есть получаем число, меньшее $7 .$ Таким образом, число $7$ является наибольшим значением квадратного трёхчлена, и оно получается при `x=1/4`.

Пример 6

Разложите на множители числитель и знаменатель дроби `{x^2+2x-15}/{x^2-6x+9}` и сократите эту дробь.

Решение

Заметим, что знаменатель дроби $x^{2} - 6 x + 9 = {(x - 3)}^{2} .$ Разложим числитель дроби на множители, применяя метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена.

$x^{2} + 2 x - 15 = {(x)}^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1 - 1 - 15 = {(x + 1)}^{2} - 16 = {(x + 1)}^{2} - 4^{2} = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4) = (x + 5) (x - 3) .$

Данную дробь привели к виду `{(x+5)(x-3)}/(x-3)^2` после сокращения на $(x - 3)$ получаем `(x+5)/(x-3)`.

Пример 7

Разложите многочлен $x^{4} - 13 x^{2} + 36$ на множители.

Решение

Применим к этому многочлену метод выделения полного квадрата.

`x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=`

`=(x^2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

`=(x^2-13/2)^2-(5/2)^2=(x^2-13/2-5/2)(x^2-13/2+5/2)=`

`=(x^2-9)(x^2-4)=(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)`.

Пример 8

Разложите на множители многочлен $4 x^{2} + 4 x y - 3 y^{2} .$

Решение

Применяем метод выделения полного квадрата. Имеем:

$(2 x)^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot y + y^{2} - y^{2} - 3 y^{2} = (2 x + y)^{2} - {(2 y)}^{2} = = (2 x + y + 2 y) (2 x + y - 2 y) = (2 x + 3 y) (2 x - y) .$

Пример 9

Применяя метод выделения полного квадрата, разложите на множители числитель и знаменатель и сократите дробь `{8x^2+10x-3}/{2x^2-x-6}`.

Решение

`8x^2+10x-3=8(x^2+10/8 x-3/8)=8(x^2+2*5/8 x+(5/8)^2-(5/8)^2-3/8)=`

`=8((x+5/8)^2-25/64-24/64)=8((x+5/8)^2-(7/8)^2)=`

`=8(x+5/8+7/8)(x+5/8-7/8)=8(x+12/8)(x-2/8)=`

`=8(x+3/2)(x-1/4)=(2x+3)(4x-1)`.

Преобразуем знаменатель дроби:

`2x^2-x-6=2(x^2-x/2-6/2)=2(x^2-2*1/4 x+(1/4)^2-(1/4)^2-6/2)=`

`=2((x-1/4)^2-(7/4)^2)=2(x-1/4-7/4)(x-1/4+7/4)=`

`=2(x-2)(x+3/2)=(x-2)(2x+3)`.

Имеем: `{(2x+3)(4x-1)}/{(x-2)(2x+3)}={4x-1}/{x-2}`.

Комментарии