§1. Прямоугольный треугольник. Метрические соотношения.

Основные метрические сооьтношения в прямоугольном треугольнике

Пусть `ABC` прямоугольный треугольник с прямым углом `C` и острым углом при вершине `A`, равным `alpha` (рис. 1).

Используем обычные обозначения:

`c` - гипотенуза `AB`;

`a`  и `b` – катеты `BC` и `AC` (по-гречески "kathetos - катет" означает отвес, поэтому такое изображение прямоугольного треугольника нам представляется естественным);

`a_c` и `b_c` – проекции `BD`  и `AD`  катетов на гипотенузу;

`h` – высота `CD`, опущенная на гипотенузу;

`m_c` – медиана `CM`, проведённая к гипотенузе;

`R` – радиус описанной окружности;

`r` – радиус вписанной окружности.

Напомним, что если `alpha` - величина острого угла `A` прямоугольного треугольника `ABC` (см. рис. 1), то

`sin alpha = a/c`,  `cos alpha = b/c`   и    `"tg"alpha = a/b`.

Утверждение

Значения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника зависят только от меры угла и не зависят от размеров и расположения треугольника.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

`c^2 = a^2 + b^2`

Доказательство теоремы повторите по учебнику.

Выведем ряд соотношений между элементами прямоугольного треугольника.

свойство 1

Квадрат катета равен произведению гипотенузы и его проекции на гипотенузу

`a^2 = c * a_c`

`b^2 = c * b_c` 

Доказательство


Если `/_ A = alpha`   (см. рис. 1), то `/_ CBD = 90^@ - alpha`   и `/_ BCD = alpha`.  Из треугольника `ABC` `sin alpha = (BC)/(AB)`,  а из треугольника `BCD` `sin alpha = (BD)/(BC)`.

Значит, `(BC)/(AB) = (BD)/(BC)`, откуда  `BC^2 = AB * BD`, т. е. `a^2 = c * a_c`.  Аналогично доказывается второе равенство. 

свойство 2

Квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению проекции катетов на гипотенузу

`h^2 = a_c * b_c`

Доказательство


Из треугольника `ACD`  (рис. 1) имеем `"tg"alpha = (CD)/(AD)`, а из треугольника `BCD` `"tg"alpha = (BD)/(CD)`.

Значит `(BD)/(CD) = (CD)/(AD)`,  откуда `CD^2 = AD * BD`,  т.  е.  `h^2 = a_c * b_c`.


свойство 3

Произведение катетов равно произведению гипотенузы и высоты, опущенной на гипотенузу

`a * b = c * h`

Доказательство


Из треугольника `ABC` имеем `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треуольника `ACD`  `sin alpha = (CD)/(AC)`.

Таким образом, `(BC)/(AB) = (CD)/(AC)`,  откуда `BC * AC = AB * CD`, т. е.  `a * b = c * h`.


свойство 4

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, т. е.

`m_c = 1/2 c`

Доказательство


Пусть `AM = BM`. Проведём $$ MK\Vert BC$$ (рис. 2), тогда по теореме Фалеса  `AK = CK`

.

Кроме того, из того, что `BC _|_ AC`  и  $$ MK\Vert BC$$  следует `MK _|_ AC`. В прямоугольных треугольниках `CMK` и `AMK` катет `MK` общий, катеты `CK` и `AK` равны.  Эти треугольники равны и `CM = AM`,  т. е.  `CM = 1/2 AB`.


Полезно также запомнить, что медиана к гипотенузе разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника.

свойство 5

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы

`R = m_c = 1/2 c` 

Доказательство


Это следует из Свойства 4, действительно, `MA = MB = MC`,  следовательно, окружность с центром в точке  `M` и  радиуса `c/2` проходит через три вершины.

свойство 6

Сумма катетов равна удвоенной сумме радиусов описанной и вписанной окружностей

`a + b = 2(R + r)`    или    `a + b = c + 2r`

Доказательство


Пусть `O` - центр вписанной окружности и `F`, `N`  и `S` - точки касания сторон треугольника `ABC` (рис. 3), тогда `OF_|_ BC`, `ON _|_ AC`, `OS _|_ AB`   и   `OF = ON = OS = r`. Далее, `OFCN` - квадрат со стороной `r`, поэтому `BF = BC - FC`,  `AN = AC - CN`,  т. е.  `BF = a - r`  и `AN = b - r`.

Прямоугольные треугольники `AON` и `AOS` равны (гипотенуза `AO` - общая, катеты `ON` и `OS`  равны), следовательно,  `AS = AN`,  т.  е.  `AS = b - r`.

Аналогично доказывается, что  `BS = a - r`, поэтому из `AB = AS + BS`  следует   `c = (b - r) + (a - r)`,  т. е. `a + b = c + 2r`. Зная, что  `c = 2R`, окончательно получаем  `a + b = 2(R + r)`.

ЗАМЕЧАНИЕ

Равенства, доказанные в Свойствах 1 и 2, записываются также как:

`a = sqrt(c * a_c)`
`b = sqrt(c * b_c)`
`h = sqrt(a_c * b_c)`
и, соответственно, формулируются утверждения
Утверждения

Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Высота, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

Приведём примеры применения доказанных метрических соотношений в прямоугольном треугольнике. 

Пример 1

Проекции катетов прямоугольного треугольника на гипотенузу равны `9` и `16` . Найти радиус вписанной окружности.


Решение

1. Пусть  `a_c = 9`, `b_c = 16` (рис. 4),  тогда  `c = a_c + b_c = 25`.

2. По Свойству 1:  `a = sqrt(c * a_c) = 15`,   `b = sqrt(c * b_c) = 20`.

3. По Свойству 6:  находим радиус   `r = 1/2 (a + b - c) = 5`.

Пример 2

В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведены медиана и высота (рис. 5), расстояние между их основаниями равно `1`. Найти катеты, если известно, что один из них в два раза больше другого.


Решение

1. Заметим, что `a_c = c/2 - 1`, a `b_c = c/2 + 1`  (рис. 5), откуда  `a^2 = c * a_c = c(c/2 - 1)`  и  `b^2 = c * b_c = c(c/2 + 1)`.

2. По условию  `b = 2a`,  значит  `b^2 = 4a^2`,  т. е.  `c(c/2 + 1) = 4c(c/2 - 1)`.
   Находим  `c = (10)/3`,  и  `a = sqrt(c(c/2 - 1)) = 2/3 sqrt5`  и  `b = 2a = 4/3 sqrt5`.