ЗФТШ
- Обучение
- Поступление в ЗФТШ
- О ЗФТШ
- Учителям
- Лекторий
-
Курсы
- Заочное отделение
- Очное отделение
- Факультативы
При увеличении `n` члены последовательности `x_n=1//n` становятся сколь угодно малыми, неограниченно приближаются (стремятся) к нулю. Логично считать, что ноль - предел последовательности `x_n`. Однако такого интуитивного понимания в более сложной ситуации может оказаться недостаточно. Мы должны точно сформулировать, что означает слово «предел» на языке чисел. Строгое определение предела было сформулировано довольно поздно - только в середине XIX века. Дело в том, что в отличие от используемых ранее «назывных» определений (типа определения равнобедренного треугольника) здесь описывается процесс изменения величины: пробегая по ряду натуральных чисел `1,2,3,...,n,...`, мы наблюдаем за поведением `x_n`. Такие понятия плохо формализуются.
Попытаемся понять, что следует предпринять, чтобы проконтролировать утверждение «`x_n` стремится к `a`». Изобразим члены последовательности на числовой оси и отметим на ней точку `a`. Представим ситуацию образно: будем делать фотографии `a` каждый раз с новым оптическим увеличением. Число `a` будет пределом последовательности `(x_n)`, если `a` - «друг» `x_n`: на любой такой фотографии окажутся все `x_n`, начиная с некоторого номера.
Проиллюстрируем сказанное на примере последовательности `x_n=1//n`. В качестве «фотографии» `a=0` можно взять симметричный интервал `(-epsilon, epsilon)^1`. [1 `epsilon` - греческая буква «эпсилон».] Оптическому увеличению соответствует уменьшение `epsilon`. Пусть `k=1//epsilon`, тогда `1//n<epsilon` при `n>k` и, следовательно, член `x_n` попадает на «фотографию», т. е. `-epsilon<x_n<epsilon`. Например, при `epsilon1//100` все члены `x_(101), x_(102), ...`, окажутся в интервале `(-1//100, 1//100)`, при `epsilon=1//1000` уже только члены `x_(1001), x_(1002), ...`, окажутся в интервале `(-1//1000, 1//1000)` и т. д.
Число `a` называется пределом последовательности `(x_n)`, если для любого положительного числа `epsilon` найдётся такое действительное число `k`, что при всех `n>k` выполняется неравенство
`|x_n-a|<epsilon`. (2.1)
В этом случае пишут `lim_(n->oo) x_n=a` (читается: предел `x_n` при `n`, стремящемся к бесконечности, равен `a`). Последовательность, называется сходящейся, если существует число `a`, являющееся её пределом. Если такого числа `a` не существует, то последовательность называется расходящейся.
Часто в определении предела полагают число `k` натуральным. Однако, как нетрудно понять, получится эквивалентное определение.
Выясним геометрический смысл понятия предела. Для положительного числа `epsilon` интервал `(a-epsilon, a+epsilon)` называется `epsilon` - окрестностью точки `a`. Неравенство (2.1) равносильно двойному неравенству `-epsilon<x_n-a<epsilon` или
`a-epsilon<x_n<a+epsilon`. (2.2)
Неравенство (2.2) показывает, что все члены последовательности `(x_n)` с номерами `n>k` попадают в `epsilon` - окрестность точки `a`. В определении предела число `epsilon` может быть любым (сколь угодно малым), поэтому произвольная (сколь угодно малая) окрестность точки `a` содержит все члены `(x_n)` за исключением, быть может, конечного числа (рис. 1а). На уровне графика последовательности это означает, что вне сколь угодно узкой полосы между прямыми `x=a-epsilon` и `x=a+epsilon` может оказаться лишь конечное число точек графика `(x_n)` (рис. 1б).
В определении предела выбор числа `k`, вообще говоря, зависит от `epsilon`. Чтобы подчеркнуть это, иногда пишут `k=k(epsilon)`. Доказать, что последовательность `(x_n)` имеет предел, фактически означает найти функциональную зависимость `k` от `epsilon`. Вообще, определение предела по виду напоминает нескончаемую дискуссию между двумя лицами `A` и `B:A` задаёт точность приближения `epsilon`, в ответ `B` указывает число `k`, с которого эта точность достигается, т. е. выполняется неравенство (2.1) при всех `n>k`; уменьшает точность, `B` - указывает новое `k` и т. д.
Пусть `x_n=c` - постоянная последовательность. Доказать, что `lim_(n->oo)x_n=c`.
Пусть выбрано произвольное `epsilon>0`. Нам нужно найти такое число `k`, что при всех `n>k` выполнялось бы неравенство `|x_n-c|<epsilon`. Но это неравенство равносильно следующему: `|c-c|<epsilon`, или `0<epsilon`, что выполняется для всех номеров `n`. Это означает, что в качестве `k` можно выбрать любое число, например, `k=0`. Тогда для любого `n>k` имеет место неравенство `|x_n-c|<epsilon`. По определению `lim_(n->oo)x_n=c`.
В разобранном примере число `k` удалось выбрать так, чтобы оно годилось сразу для всех `epsilon`. Такой случай не типичен.
Доказать, что `lim_(n->oo)1/n=0`.
Пусть фиксировано произвольное `epsilon>0`. Нам нужно найти такое число `k`, что при всех `n>k` выполнялось бы неравенство `|1/n -0|<epsilon`, или `n>1//epsilon`. Выберем `k=1//epsilon`. Тогда при `n>k` имеем: `|1/n-0|=1/n<1/k=epsilon`. По определению `lim_(n->oo) 1/n=0`.
Наглядное представление о пределе можно получить, считая, что `x_n` - какие-то физические величины, которые мы можем измерять с определённой точностью, допускаемой приборами. Пусть `epsilon` есть точность прибора, тогда неравенство `|x_n-a|<epsilon` означает, что мы не сможем отличить `x_n` от `a`. Таким образом, условие `lim_(n->oo)x_n=a` означает, что при любой точности измерения последовательность `(x_n)`, начиная с некоторого номера, не отличается от постоянной последовательности `a`, `a`, `a`, `...` .
Могут ли два разных числа быть пределами одной и той же последовательности?
Нет. Предположим, что два разных числа `a` и `b` являются пределами одной и той же последовательности `x_n)` и пусть, например, `b>a`. Положим `epsilon=(b-a)//3`, тогда `epsilon` - окрестности точек `a` и `b` не пересекаются (сделать чертёж!). Ввиду условия найдутся такие числа `k_1` и `k_2`, что при всяком `n>k_1` член `x_n` лежит в `epsilon` -окрестности точки `a` и при всяком `n>k_2` член `x_n` лежит в окрестности точки `b`. Если теперь взять какое-нибудь `n>max{k_1,k_2}`, то окажется, что `x_n` лежит одновременно в `epsilon` - окрестности точки `a` и в `epsilon` - окрестности точки `b`, а это невозможно, поскольку окрестности не пересекаются.
Пусть `lim_(n->oo)x_n=a`. Имеет ли предел последовательность `(x_(n+1))`?
Пусть `lim_(n->oo)x_n=a`, `epsilon>o` - произвольное. По определению предела найдётся `k` такое, что `|x_n-a|<epsilon` при всех `n>k`. Но если номер `n>k`, то также `n+1>k` и, следовательно, `|x_(n+1)-a|<epsilon`. Это означает, что `lim_(n->oo)x_(n+1)=a`.
Пусть `lim_(n->oo)x_n=a`, `epsilon>o`. Можно ли утверждать, что найдётся такое число `k`, что `|x_n-a|<epsilon/2` при всех `n>k`?
Да. Поскольку `lim_(n->oo)x_n=a`, то по определению предела для любого положительного числа `alpha`, а следовательно, и для `alpha=epsilon//2`, найдётся число `k`, такое что `|x_n-a|<alpha` при всех `n>k`.
Сформулируем необходимое условие существования предела.
Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Пусть `lim_(n->oo)x_n=a`. Покажем, что последовательность `(x_n)` ограничена. Согласно примеру 1.4 для этого достаточно показать, что все её члены лежат на некотором отрезке. Возьмём `epsilon=1`. Тогда по определению предела найдётся число `k` такое, что все члены `(x_n)` с номерами `n>k` попадают в интервал `(a-1; a+1)`. За пределами этого интервала может оказаться лишь конечное число членов `x_1, x_2, ..., x_N`, где `N` - наибольший из номеров `n<=k`. Добавим к этому набору числа `a-1` и `a+1` и из полученного набора чисел выберем наименьшее (обозначим его через `m`) и наибольшее (обозначим его через `M`) Тогда отрезок `[m;M]` содержит уже все члены данной последовательности: `m<=x_n<=M` для всех `ninN`.
Доказать, что последовательность `x_n=n^2` не имеет предела.
В примере 1.6 было показано, что данная последователь-ность не является ограниченной. По теореме 2.1 заключаем, что последовательность `(x_n)` расходится.
Следующий пример показывает, что ограниченная последователь-ность может и не иметь предела, т. е. обратное утверждение к теореме 2.1 неверно.
Доказать, что последовательность `x_n=(-1)^n` не имеет предела.
Предположим противное, т. е. какое-то число `a` является пределом этой последовательности. Тогда для `epsilon=1` найдётся такое число `k`, что `|x_n-a|<1` при всех `n>k`. Пусть номер `N>k`, тогда `|x_N-a|<1` и `|x_(N+1)-a|<1`. Но одно из чисел `x_N` и `x_(N+1)` равно `1`, а другое равно `-1`. Поэтому `|-1-a|<1` и `|1-a|<1`, т. е. одновременно `0<a<2` и `-2<a<0`. Полученное противоречие показывает, что последовательность `(x_n)` расходится.
При вычислении пределов на практике редко пользуются опреде-лением. Обычно применяют уже известные стандартные предельные равенства и следующую теорему об арифметических операциях с пределами.
Если последовательности `(x_n)` и `(y_n)` сходятся, то сходятся и последовательности `(x_n+y_n)`, `(x_n*y_n)` и `x_n//y_n` (в последнем случае предполагается `y_n!=0`, `lim_(n->oo)y_n!=0`). При этом
1) `lim_(n->oo)(x_n+y_n)=lim_(n->oo)x_n+lim_(n->oo)y_n`;
2) `lim_(n->oo)(x_n*y_n)=(lim_(n->oo)x_n)*(lim_(n->oo)y_n)`;
3) `lim_(n->oo)(x_n)/(y_n)=(lim_(n->oo)x_n)/(lim_(n->oo)y_n)`.
Ограничимся доказательством пункта 2. Фиксируем произвольное `epsilon>0`. Нам нужно показать, что существует такое число `k`, что `|x_ny_n-ab|<epsilon` при всех `n>k`. По теореме 2.1 последовательности `(x_n)` и `(y_n)` ограничены; тем самым найдётся такое `C>0`, что `|x_n|<=C` и `|y_n|<=C` при всех `n`, а также `|a|<=C`, `|b|<=C`. Заметим, что
`|x_ny_n-ab|=|x_ny_n-x_nb+x_nb-ab|=|x_n(y_n-b)+b(x_n-a)|`
и, следовательно, по неравенству `|x+y|<=|x|+|y|` имеем
`|x_ny_n-ab|<=|x_n|*|y_n-b|+|b|*|x_n-a|`.
Ввиду условия существует число `k_1` такое, что `|x_n-a|<epsilon/(2C)` для всех `n>k_1`, а также число `k_2` такое, что `|y_n-b|<epsilon/(2C)` для всех `n>k_2`. Если положить `k=max{k_1,k_2}`, то при `n>k` имеем:
`|x_ny_n-ab|<=|x_n|*|y_n-b|+|b|*|x_n-a|<C epsilon/(2C)+C epsilon/(2C)=epsilon`,
что и требовалось.
Доказать, что постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е. `lim_(n->oo)cx_n=clim_(n->oo)x_n` для любого `cinR`.
В самом деле, рассмотрим последовательность `y_n=c`. Поскольку `lim_(n->oo)y_n=c` (пример 2.1), то по пункту 2 теоремы 2.2
`lim_(n->oo)cx_n=lim_(n->oo)c*lim_(n->oo)x_n=clim_(n->oo)x_n`.
Показать, что `lim_(n->oo) 1/(n^2)=0`.
Поскольку `lim_(n->oo) 1/n=0`, то по пункту 2 теоремы 2.2
`lim_(n->oo) 1/(n^2)=lim_(n->oo) 1/n*lim_(n->oo) 1/n=0`.
Теорему 2.2 можно обобщить на произвольное (конечное) число слагаемых (сомножителей). В частности, `lim_(n->oo)1/n^m=0` для любого `m inN`.
Найти `lim_(n->oo) ((n+2)^3-n(n-1)^2)/(n^2+11)`.
Обозначим дробь, стоящую под знаком предела, через `x_n`. В числителе и знаменателе `x_n` стоят последовательности, не являющиеся ограниченными (доказывается аналогично примеру 1.6). По теореме 2.1 они не имеют предела и теорема о пределе частного (теорема 2.2 3)) «напрямую» здесь неприменима. Поступим следующим образом: поделим числитель и знаменатель на наибольшую степень `n`. По формулам сокращённого умножения `(n+2)^3-n(n-1)^2=8n^2+11n+8`, так что `x_n` можно переписать в виде:
`x_n=(8n^2+11n+8)/(n^2+11)=(n^2(8+11/n + 8/n^2))/(n^2(1+11/n^2))=(8+11/n+8/n^2)/(1+11/n^2)`.
Теперь в числителе и знаменателе `x_n` стоят сходящиеся последовательности:
`lim_(n->oo)(8+11/n+8/n^2)=lim_(n->oo)8+11lim_(n->oo)1/n+8lim_(n->oo)1/n^2=8`,
`lim_(n->oo)(1+11/n^2)=lim_(n->oo)1+11lim_(n->oo)1/n^2=1`.
По пункту 3 теоремы 2.2
`lim_(n->oo)x_n=lim_(n->oo)(8+11/n+8/n^2)/(1+11/n^2)=(lim_(n->oo)(8+11/n+8/n^2))/(lim_(n->oo)(1+11/n^2))=8/1=8`.
`8`.
Следующее полезное свойство пределов известно под названием теоремы о «зажатой» последовательности.
Пусть `(x_n)`, `(y_n)` и `(z_n)` - такие последовательности, что `x_n<=y_n<=z_n` при всех `n inN` и `lim_(n->oo)x_n=lim_(n->oo)z_n=a`. Тогда `lim_(n->oo)y_n=a`.
Для данного `epsilon>0` существует такое число `k_1`, что члены `x_n` лежат в интервале `(a-epsilon, a+epsilon)` при всех `n>k_1`, и существует такое число `k_2`, что члены `z_n` лежат в интервале `a-epsilon;a+epsilon)` при всех `n>k_2`. Положим `k=max{k_1,k_2}`. Тогда при `n>k` одновременно `x_n in(a-epsilon;a+epsilon)` и `z_n in(a-epsilon;a+epsilon)` и, следовательно, `a-epsilon<x_n<=y_n<=z_n<a+epsilon`, т. е. `y_n in(a-epsilon;a+epsilon)`, что и требовалось.
Дана последовательность `x_n=1/(sqrt(n^2+1))+1/(sqrt(n^2+2))+...+1/(sqrt(n^2+n))`.
Доказать, что `lim_(n->oo)x_n=1`.
Попробуем «зажать» `x_n` между членами последовательностей, сходящихся к одному и тому же числу, и применим теорему 2.3.
Заметим, что `1/(sqrt(n^2+1))` - наибольшая, а `1/(sqrt(n^2+n))` - наименьшая дробь суммы `x_n`. Тогда верна оценка `n*1/(sqrt(n^2+n))<=x_n<=n*1/(sqrt(n^2+1))`.
Поскольку `n^2+n<n^2+2n+1`, тогда
`sqrt(n^2+n)<n+1 iff1/(sqrt(n^2+n))>1/(n+1) iff n/(sqrt(n^2+n))>n/(n+1)`.
Учитывая `n/(sqrt(n^2+1))<n/n=1`, получаем: `n/(n+1)<x_n<1`.
Поскольку `lim_(n->oo)n/(n+1)=1` и `lim_(n->oo)1=1`, по теореме 2.3 `lim_(n->oo)x_n=1`.
Если для любого `n inN`, `n>=n_0` выполняется неравенство `a_n<=b_n` и `lim_(n->oo)a_n=a`, `lim_(n->oo)b_n=b`, то `a<=b`.
Предположим, что `a>b`. По определению предела для `epsilon=(a-b)/2` найдутся такие `k_1`, `k_2`, что для `n>k_1` выполняется `|a_n-a|<epsilon`, а для `n>k_2` выполняется `|b_n-b|<epsilon`. Положим `k=max{k_1,k_2,n_0}`. Тогда для `n>k` имеем `b_n<b+epsilon=(a+b)/2=a-epsilon<a_n`, что противоречит условию.
Предельный переход не обязан сохранять строгие неравенства. Например, `1/n<0` для всех `n inN`, но `lim_(n->oo)1/n=0`.
В теории пределов важную роль играет следующий факт.
Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Эта теорема эквивалентна свойству полноты множества действительных чисел. Образно говоря, свойство полноты означает, что числовая ось является «сплошным» множеством, множеством без «дырок».
Доказать, что если `|q|<1`, то `lim_(n->oo)q^n=0`.
Для `q=0` утверждение очевидно. Пусть `q in (0,1)`, тогда
`x_(n+1)=q*x_n`, (2.3)
следовательно, `x_(n+1)<x_n` при всех `n`, т. е. последовательность `(x_n)` является строго убывающей. В частности, `x_n<x_1` при всех `n`. Кроме того, очевидно `x_n>0` при всех `n`, т. е. последовательность `(x_n)` ограничена. По теореме 2.5 существует `lim_(n->oo)x_n`. Обозначим его через `a`. Тогда, переходя к пределу в равенстве (2.3), получаем `a=q*a`, т. е. `a=0`.
Пусть теперь `q in (-1;0)`, тогда справедливо неравенство
`-|q|^n<=q^n<=|q|^n`.
Поскольку `|q|in(0;1)`, то по доказанному выше `lim_(n->oo)|q|^n=0`, тогда согласно примеру 2.5 и `lim_(n->oo)(-|q|^n)=0`. По теореме о «зажатой» последовательности (теорема 2.3) `lim_(n->oo)q^n=0`.
Дадим обоснование одного способа приближённого извлечения квадратных корней, встречавшегося еще в древних вавилонских текстах.
Последовательность `(x_n)` задана рекуррентно где
`x_(n+1)=1/2(x_n+a/x_n)`, (2.4)
`x_1>0`, `a>0`. Доказать, что `lim_(n->oo)x_n=sqrta`.
Поскольку `x_1>0` и `a>0`, все члены последовательности положительные. Применяя неравенство `(c+d)//2>=sqrt(cd)` для среднего арифметического и среднего геометрического, получаем:
`x_(n+1)=1/2(x_n+a/x_n)>=sqrt(x_na/x_n)=sqrta`,
т. е. `x_n>=sqrta` для всех `n>=2`. Отсюда вытекает, что
`x_(n+1)-x_n=(a-x_n^2)/(2x_n)<=0`,
т. е. последовательность `(x_n)` является нестрого убывающей при `n>=2`. Кроме того, `(x_n)` ограничена: `sqrta<=x_n<=x_2` для всех `n>=2`. По теореме 2.5 существует `lim_(n->oo)x_n=b` и по теореме 2.4 `b>=sqrta>0`. Переходя в равенстве (2.4) к пределу, получаем `b=1/2(b+a/b)`, откуда `b^2=a` и, значит, `b=sqrta`.
