инерциальные системы отсчёта (ИСО) существуют

в ИСО приращение импульса материальной точки пропорционально силе и происходит по направлению силы:

Импульсом (или количеством движения) материальной точки называют физическую величину, определяемую произведением её массы на вектор скорости в  данной системе отсчёта:

`vec p = m * vec v`.

в ИСО приращение импульса материальной точки  равно импульсу силы.

в ИСО ускорение материальной точки прямо пропорционально сумме сил, действующих на неё, и обратно пропорционально её массе:

при взаимодействии двух материальных точек сила `vecF_(12)`, действующая на первую материальную точку со стороны второй, равна по величине и противоположна по направлению силе `vecF_(21)`, действующей со стороны первой материальной точки на вторую:

`vecF_(12) = - vecF_(21)`.

1) силы возникают парами и имеют одинаковую природу, они приложены к разным материальным точкам,

2) эти силы равны по величине,

3) они действуют вдоль одной прямой в противоположных направлениях.

Скорость изменения импульса материальной точки в инерциальной системе отсчёта равна сумме сил, действующих на эту точку.

К телу, первоначально покоившемуся на шероховатой горизонтальной поверхности, прикладывают в течение времени $t_1=10\;\mathrm с$ горизонтальную силу величиной $F=5\;\mathrm H$. После прекращения действия силы тело движется до остановки $t_2=40\;\mathrm c$.  Определите величину $$ {F}_{\mathrm{тр}}$$ силы трения скольжения, считая её постоянной.

На рис. 1 показаны ИСО и силы, действующие на тело в процессе разгона. По второму закону Ньютона 

`(Delta vec p)/(Delta t) = M vec g + vec N + vecF_("тр") + vec F`.

Переходя к проекциям на горизонтальную ось, находим элементарные приращения импульса в процессе разгона

$$ ∆{p}_{x}=\left(F-{F}_{\mathrm{тр}}\right)∆t$$

и в процессе торможения `(F = 0)`

$$ ∆{p}_{x}=-{F}_{\mathrm{тр}}∆t$$.

Просуммируем все приращения импульса тела от старта до остановки:

`sum Delta p_x = sum_(0 <= t <= t_1) (F - F_sf"тр") Delta t + sum_(t_1 <= t <= t_1 + t_2) (-F_sf"тр" ) Delta t`.

Напомним, что для любой физической величины сумма приращений равна разности конечного и начального значений. Тогда

$p_{x\;\mathrm{конечн}}-p_{x\;\mathrm{начальн}}=\left(F-F_\mathrm{тр}\right)t_1+\left(-F_\mathrm{тр}\right)t_2$.

С учётом равенств $p_{x\;\mathrm{конеч}}=0$, $p_{x\;\mathrm{начальн}}=0$ и независимости сил от времени приходим к ответу на вопрос задачи:

$F_\mathrm{тр}=\dfrac{t_1}{t_1+t_2}F=\dfrac{10}{10+40}\cdot5=1\;\mathrm H$.

На какое максимальное расстояние `L_max` улетит мяч, если в процессе удара футболист действует на мяч постоянной по направлению силой, величина которой изменяется по закону, представленному на  рис. 2.  Длительность  удара $\tau=8\cdot10^{-3}\;\mathrm c$,  максимальная  сила $F_\max=3,5\cdot10^3\;\mathrm H$, масса мяча $m=0,5\;\mathrm{кг}$. Здесь и далее ускорение свободного падения $g=10\;\mathrm м/\mathrm с^2$.   Сопротивление воздуха не учитывайте.  

В процессе удара на мяч действуют две силы: $mg=0,5\cdot10=5\;\mathrm H$ - тяжести и сила `vec F`, с которой футболист действует на  мяч,                    

          $F\leq F_\max=3,5\cdot10^3\;\mathrm H$.

Так как `mg < < F_max`, силой тяжести пренебрежём. Из кинематики известно, что максимальная дальность полёта наблюдается при старте под углом `alpha = pi/4`. Процесс удара показан на рис. 3.   

По второму закону  Ньютона  приращение  импульса равно импульсу силы `Delta vec p = vec F * Delta t`. Переходя к проекциям приращения импульса и силы на ось `Ox`, получаем 

   `Delta p_x = F Delta t`.

Просуммируем элементарные приращения импульса мяча за время удара

`sum Delta p_x = mv - 0 = sum_(0 <= t <= tau) F Delta t`. 

Импульс  силы  `sum_(0 <= t <= tau) F(t) Delta t` за  время  удара численно равен площади под графиком зависимости этой силы от времени (каждое слагаемое `F(t) Delta t` в импульсе силы можно интерпретировать как площадь элементарного прямоугольника со сторонами `F(t)` и `Delta t` на графике зависимости `F(t)`). Тогда импульс силы `F` за время удара равен 

`sum_(0 <= t <= tau) F Delta t = (F_max tau)/2`

и в рассматриваемом случае не зависит от того, в какой именно момент времени сила достигает максимального значения (площадь треугольника равна  половине произведения основания на высоту!). Далее  находим импульс мяча в момент  окончания действия силы

`mv = 1/2 F_max * tau`.

Отсюда находим начальную скорость полёта мяча

`v = (F_max * tau)/(2m) = (3,5 * 10^3 * 8 * 10^-3)/(2 * 0,5) = 28 sf"м/с"`

и  максимальную дальность (старт под углом `alpha = pi/4`) полёта

`L_max = (v^2)/g = (28^2)/(10) ~~ 78 sf"м"`.

В рассматриваемом модельном примере получен несколько завышенный по сравнению с наблюдениями результат.

Мяч, брошенный с горизонтальной поверхности земли под углом `alpha = 60^@` к горизонту со скоростью `v = 10 sf"м/с"`, упал на землю, имея вертикальную составляющую скорости по абсолютной величине на `delta = 30 %` меньшую, чем при бросании. Найдите время  по­лёта мяча. Считать, что сила сопротивления движению мяча пропорциональна его скорости.

Согласно  второму закону Ньютона приращение импульса пропорционально силе и происходит по направлению силы:

`m * Delta vec v = (m vec g - k vec v) * Delta t`.

Переходя к проекциям сил и приращения скорости  на вертикальную ось, получаем   

`m * Delta v_y = - mg * Delta t - k * v_y * Delta t`.

Заметим, что элементарное перемещение мяча по вертикали равно `Delta y = v_y * Delta t`,  и перепишем  последнее соотношение в виде:

`m * Delta v_y = - mg * Delta t - k * Delta y`.

Просуммируем все приращения вертикальной проекции импульса по всему времени полёта, т. е. от `t = 0` до `t = T`:

`m * (sum Delta v_y) = - mg * (sum Delta t) - k* (sum Delta y)`.

Переходя к конечным приращениям, получаем

`m (v_y (T) - v_y (0)) = - mg (T - 0) - k (y (T) - y (0))`.

Точки старта и финиша находятся в одной горизонтальной плоскости, поэтому перемещение мяча по вертикали за время полёта нулевое

`y (T) - y (0) = 0`.

Тогда  `- (1 - delta) mv_0 sin alpha - mv_0 sin alpha = - mgT`.  Отсюда находим продолжительность полёта мяча:

`T = (v_0 sin alpha)/(g) (2 - delta) = (10 * sin 60^@)/(10) (2,0 - 0,3) ~~ 1,5  sf"с"`.

В следующем  примере  рассматривается удар, в ходе которого две  очень большие силы,  «согласованно»  действуют во взаимно перпендикулярных направлениях.

Кубик, движущийся поступа­тельно со скоростью `v` (рис. 4) по гладкой горизонтальной поверхности, испытывает соударение с шероховатой вертикальной стенкой.

Коэффициент трения `mu` скольжения кубика по стенке и угол `alpha` известны. Одна из граней кубика параллельна стенке. Под каким углом `beta` кубик отскочит от стенки? Считайте, что перпендикулярная стенке составляющая скорости кубика в результате соударения не изменяется по величине.         

Силы, действующие на кубик в процессе соударения, показаны на рис. 5.

По второму закону Ньютона

`Delta vec p = (m vec g + vecN_("г") + vecF_("тр") + vecN_("в") ) * Delta t`.

Переходя к проекциям на горизонтальные оси `Ox` и `Oy`, получаем

`Delta p_x = - F_sf"тр" Delta t`,  `Delta p_y = N_sf"в" Delta t`.

Просуммируем приращения `Delta p_y = N_sf"в" Delta t` по всему времени `tau` соуда­рения, получим:          

`sum Delta p_y = p_y (tau) - p_y (0) = mv sin alpha - (- mv sin alpha) = sum_(0 <= t <= tau) N_sf"в" Delta t`.          

В процессе удара в любой момент времени `F_sf"тр" = mu N_sf"в"`, следовательно, во столько же раз отличаются импульсы этих сил за время соударения

`sum_(0 <= t <= tau) F_sf"тр" Delta t = mu sum_(0 <= t <= tau) N_sf"в" Delta t = mu 2 mv sin alpha`.

Тогда легко вычислить проекцию `v_x (tau)` скорости кубика после соударения. Для этого просуммируем приращения 

`Delta p_x = - F_sf"тр" Delta t = - mu N_sf"в" Delta t`

по всему времени `tau` соударения, получим:

`sum Delta p_x = p_x (tau) - p_x (0) = mv_x (tau) - mv cos alpha = - sum _(0 <= t<= tau) F_sf"тр" Delta t =- mu 2 mv sin alpha`.                               

Отсюда  `v_x (tau) = v (cos alpha - 2 mu sin alpha)`. Далее, считая `v_x (tau) > 0`, получаем

`bbb"tg"  beta = (v_y (tau))/(v_x (tau)) = (sin alpha)/(cos alpha - 2 mu sin alpha)`.