Математика 8 класс 8-М-2

§ 2. Признаки равенства треугольников. Равнобедренный треугольник. Прямоугольный треугольник. Теоремы об углах.

Для повторения мы выбрали эти темы. Приводить доказательство теорем, содержащихся в учебнике, не будем, лишь напомним основные теоремы. Также обсудим некоторые важные вопросы, приведём примеры решения задач, докажем несколько дополнительных теорем (Всякое утверждение, сформулированное в общем виде и доказанное, есть теорема, но их так много и они часто столь просты, что наполнять ими учебник не имеет смысла, а вот учиться на них применению основных теорем, умению рассуждать, делать выводы, - очень полезно). Такие теоремы мы будем называть леммами.

В учебнике доказаны три признака равенства треугольников.

Первый признак: по двум сторонам и углу между ними.

Второй признак: по стороне и прилежащим к ней углам.

Третий признак: по трём сторонам.

Мы напомнили их краткую формулировку.

Отметим также важный момент. Запись равенства треугольников ABC=KPM\bigtriangleup ABC=\bigtriangleup KPM означает: A=K\angle A=\angle K, B=P\angle B=\angle P, C=M\angle C=\angle M, AB=KPAB=KP, AC=KMAC=KM и BC=PMBC=PM, т. е. соответствующие вершины стоят на соответствующих местах.

Когда это удобно, будем использовать обозначения: в треугольнике ABCABC углы обозначать AA, BB и CC,

aa, bb и cc – стороны, противолежащие углам AA, BB и CC,

hah_a, hbh_b, hch_c – высоты к сторонам aa, bb и cc,

mam_a, mbm_b, mcm_c – медианы к сторонам aa, bb и cc.

Покажем, как важно точно помнить формулировки теорем. Пусть треугольники ABCABC и `A^'B^'C^'` таковы, что `b^'=b`, `c^'=c` и `/_B^'=/_B`. Будут ли эти треугольники равны? Есть первый признак равенства «по двум сторонам и углу», но «углу между ними», а здесь какой угол? Нарисуем некоторый треугольник ABCABC (рис. 3) и отметим стороны и угол, о которых идёт речь: это не тот угол!

Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5

Приведём пример треугольника `A^'B^'C^'` (рис. 5), который не равен треугольнику ABCABC `(B^'C^'!=BC)`, хотя `c=c^'`, `b=b^'` и `/_B=/_B^'`.

Рисунок 4 поясняет, как треугольник `A^'B^'C^'` получается из треугольника ABCABC.

Приведём ещё пример (рис. 6), который показывает, что слова «прилежащим к стороне» чрезвычайно важны в формулировке второго признака равенства треугольников.

Здесь AB=A1B1AB=A_1B_1C=A1=90°\angle C=\angle A_1=90^\circB=B1=45°\angle B=\angle B_1=45^\circ


Рис. 6

(Сторона одного треугольника равна стороне другого, два угла первого равны двум углам второго).

Но равные углы не прилежат к равным сторонам и `DeltaABC!=DeltaA_1B_1C_1`. Как легко видеть, треугольник ABCABC  равен треугольнику A1B1DA_1B_1D  который составляет часть треугольника A1B1C1A_1B_1C_1.

Пример 1

Треугольники ABCABC и `A^'B^'C^'`  таковы, что равны их медианы, проведённые из вершин `B` и `B^'` и  равны углы, которые образуют эти медианы со сторонами aa и cc и со сторонами `a^'` и `c^'` соответственно. Доказать, что `DeltaABC=DeltaA^'B^'C^'`.

Решение

При доказательстве мы рисуем треугольники, о которых идёт речь, в наиболее удобном положении (см. рис. 7), что возможно по аксиоме «перемещения треугольника», иначе называемой   аксиомой  «существования треугольника,  равного данному».

Рис. 7

Итак, AM=CMAM=CM, `A^'M^'=C^'M^'`, `BM=B^'M^'` равные углы ABMABM и `A^'B^'M^'` обозначим α\alpha вторую пару равных углов обозначим φ\varphi.

1. В треугольнике ABCABC продолжим медиану BMBM за точку MM  и на прямой BMBM  отложим отрезок MD=BMMD=BM.  Рассмотрим треугольники ABMABM и CDMCDM.

Имеем:  AM=CMAM=CM (т. к. `BM` – медиана),

                BM=DMBM=DM (по построению),

                AMB=CMD\angle AMB=\angle CMD (как вертикальные).

По первому признаку равенства треугольников ABM= CDM\bigtriangleup ABM = \bigtriangleup CDM  В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны (AB=CD)(AB=CD)  и против равных сторон лежат равные углы (поэтому CDM=α\angle CDM=\alpha).

Аналогичное построение осуществим с треугольником `A^'B^'C^'` получим, что `A^'B^'=C^'D^'` и `/_C^'D^'M^'=alpha`.

2. Теперь рассмотрим треугольники BCDBCD и `B^'C^'D^'`. Так как `BD=B^'D^'`  и прилежащие к отрезкам BDBD и `B^'D^'` углы соответственно равны φ\varphi и α\alpha, то `Delta BCD=DeltaB^'C^'D^'` по второму признаку равенства. Из этого равенства следует `CD=C^'D^'` (т. е. `c=c^'`) и `BC=B^'C^'` (т. е. `a=a^'`).

3. Вновь рассматриваем треугольники ABCABC и `A^'B^'C^'` Угол при вершине BB равен углу при вершине `B^'` и равны стороны, образующие этот угол. По первому признаку равенства `Delta ABC=Delta A^'B^'C^'`.

Пример 2

На сторонах ABAB  и ADAD квадрата ABCDABCD  во вне его построены равносторонние треугольники AKBAKB и AMDAMD (рис. 8). Доказать, что треугольник  KCMKCM также равносторонний.

Решение

Обозначим сторону квадрата aa очевидно, что стороны равносторонних треугольников тоже равны aa. Отметим равные стороны в треугольниках KBCKBC, CDMCDM и KAMKAM.

Рис. 8

 

KBC=CDM\bigtriangleup KBC=\bigtriangleup CDM по первому признаку, т. к. KBC=CDM=90°+60°=150°\angle KBC=\angle CDM=90^\circ+60^\circ=150^\circ.

Пусть прямая CACA пересекает отрезок KMKM  в точке FF.  

KAC=MAC=60°+45°=105°\angle KAC=\angle MAC=60^\circ+45^\circ=105^\circ 

Смежные с ними углы KAFKAF и MAFMAF равны 180°-105°=75°180^\circ-105^\circ=75^\circ значит `/_RAM=150^@`, и KAM=KBC\bigtriangleup KAM=\bigtriangleup KBC   Делаем вывод:  KC=CM=KMKC=CM=KM т. е. треугольник KCMKCM – равносторонний.

(В решении использовано утверждение, что все углы равностороннего треугольника равны 60°60^\circ). 

II. Равнобедренный треугольник.

В учебнике доказаны теоремы:

Теоремы

Т1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Т2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

Т3. (Признак равнобедренного треугольника). Если два угла в треугольнике равны, то он равнобедренный.

Обратим внимание, что признаком фигуры AA  называется теорема с формулировкой: «если имеет место … , то это фигура AA». Сформулируем следующие, часто применяемые в задачах, признаки равнобедренного треугольника:

признаки равнобедренного треугольника

а) если в треугольнике высота является медианой, то треугольник равнобедренный;

б) если в треугольнике высота является биссектрисой, то треугольник равнобедренный;

в) если в треугольнике медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Доказательство

Доказательство признака а) вполне простое. Если BDACBD\perp AC и AD=DCAD=DC (рис. 9), то ADB=CDB\bigtriangleup ADB=\bigtriangleup CDB по двум сторонам ( BDBD – общая, AD=DCAD=DC) и углу между ними (ADB\angle ADB смежный с BDC=90°\angle BDC=90^\circ  поэтому ADB=90°\angle ADB=90^\circ ).

Из равенства треугольников следует AB=BCAB=BC и треугольник ABCABC по определению равнобедренный.

Рис. 9 Рис. 10

Доказательство признака  б) Столь же простое,  докажите  его  самостоятельно.

Докажем признак  в) Пусть в треугольнике ABCABC биссектриса BMBM является медианой: AM=MCAM=MC (рис. 10). На продолжении биссектрисы BMBM отложим отрезок MDMD равный BMBM  Треугольники ABMABM и CDMCDM равны по первому признаку: у них углы при вершине MM равны, как вертикальные,  и AM=CMAM=CM, BM=DMBM=DM   Из равенства треугольников следует

CD=ABCD=AB                                                                               (1) 

и CDM=ABM\angle CDM = \angle ABM. Но ABM=CBM\angle ABM = \angle CBM поэтому CDM=CBM\angle CDM = \angle CBM, т. е.  в  треугольнике BCDBCD углы  при основании BDBD  равны. По признаку Т3 этот треугольник равнобедренный: BC=CDBC=CD Отсюда и из (1) заключаем: BC=ABBC=AB. Утверждение доказано.

В следующем примере применяются признак параллельности прямых и две теоремы об углах треугольника (и следствия этих теорем):

Теоремы

Т. Сумма углов треугольника равна 180°180^\circ.

Т. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не
смежных с ним.

Пример 3

Точка KK лежит на основании ACAC равнобедренного треугольника ABCABC (AB=BCAB=BC). Через точку KK проведена прямая, пересекающая прямую ABAB и отрезок BCBC, при этом образовалось два равнобедренных треугольника (рис. 11). Найти углы треугольника ABCABC.

Решение

Обозначим точки пересечения MM и DD.

1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны и они острые, значит угол MAKMAK – тупой.

2. В треугольнике может быть только один тупой угол, значит, если треугольник MAKMAK равнобедренный, то равными могут быть только углы при вершинах MM и KK. Обозначим их α\alpha.

3. BAK=2α\angle BAK = 2\alpha (как внешний угол треугольника MAKMAK), BCA=2α\angle BCA=2\alpha (углы при основании равнобедренного треугольника равны) и DKC=α\angle DKC=\alpha (DKC=AKM\angle DKC = \angle AKM как вертикальные).

Расставим углы.

4. Треугольник KDCKDC по условию равнобедренный. Возможны, вообще говоря, два случая: а) KDC=α\angle KDC=\alpha и б) KDC=2α\angle KDC = 2\alpha.

а) Если KDC=α\angle KDC =\alpha, то накрест лежащие углы при секущей MDMD равны α\alpha; это по теореме означало бы параллельность прямых MBMB и CBCB, что противоречит их пересечению. Этот случай невозможен.

б) Если KDC=2α\angle KDC=2\alpha, то по теореме о сумме углов треугольника (для треугольника KDCKDC) α+2α+2α=180°\alpha+2\alpha+2\alpha=180^\circ ,α=36°\alpha=36^\circ. Находим углы треугольника ABCABC :A=C=2α=72°\angle A =\angle C=2\alpha =72^\circ , B=180°-2·A=36°\angle B =180^\circ-2\cdot\angle A =36^\circ

III. Для прямоугольных треугольников справедливы признаки равенства (их надо уметь доказывать):

1. по двум катетам;

2. по гипотенузе и катету;

3. по гипотенузе и острому углу;

4. по катету и острому углу.

Применяя признаки равенства прямоугольных треугольников, докажем ещё один признак равнобедренного треугольника:

Пример 4

Доказать, что если две высоты треугольника равны, то он равнобедренный.

Решение

Пусть высоты AA1AA_1 и CC1CC_1 треугольника ABCABC равны друг другу. 

1. (Треугольник остроугольный. Обе высоты внутри треугольника, (рис. 12а). Прямоугольные треугольники AA1BAA_1B и CC1BCC_1B равны по катету (AA1=CC1AA_1=CC_1) и противолежащему острому углу (угол BB – общий). Тогда
равны их гипотенузы AB=CBAB=CB, а это и означает, что треугольник ABCABC равнобедренный.

Рис. 12a Рис. 12б

Рис. 12в

2. (Треугольник тупоугольник, угол ВВ тупой. Обе высоты вне треугольника, рис. 12б). Прямоугольные треугольники AA1BAA_1B и CC1BCC_1B имеют равные катеты AA1=CC1AA_1=CC_1 и равные противолежащие углы ABA1=CBC1\angle ABA_1=\angle CBC_1 как вертикальные . Треугольники равны, равны их гипотенузы AB=CBAB=CB. Треугольник ABCABC – равнобедренный.
3. Случай равенства двух высот равнобедренного треугольника, одна из которых внутри треугольника, другая – вне треугольника, невозможен. Действительно, если BB1=AA1=hBB_1=AA_1=h (рис. 12в), то AA1B=BB1A\bigtriangleup AA_1B=\bigtriangleup BB_1A по гипотенузе (у них общая ABAB) и катету AA1=BB1AA_1=BB_1. Тогда BAA1=ABB1\angle BAA_1=\angle ABB_1 (обозначен α\alpha ), т. е. накрест лежащие углы при секущей ABAB равны и прямые AA1AA_1 и B1BB_1B параллельны, что неверно.
4. Если угол BB – прямой, то высоты из вершин AA и CC совпадают с катетами ABAB и CBCB
При равных высотах равны и катеты, треугольник ABCABC – равнобедренный. 

Пример 5. (Лемма о медиане прямоугольного треугольника)

Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Решение

Рис. 13

Точка MM – середина гипотенузы ABAB прямоугольного треугольника ABCABC (рис. 13). Проведём через точку MM прямую MKACMK\perp AC.

Из BCACBC\perp AC и MKACMK\perp AC следует BCMKBC\parallel MK.

Из параллельности прямых BCBC и MKMK и равенства отрезков BMBM и MAMA по теореме Фалеса следует CK=KACK=KA.

В прямоугольных треугольниках CMKCMK и AMKAMK катет MKMK общий и, как установили, равны катеты CKCK и AKAK. Эти треугольники равны, значит, равны и их гипотенузы, т. е. CM=AMCM=AM, или CM=12ABCM=\dfrac12AB.

Дополнение

Дополнение. Для многих учащихся при решении задач возникает проблема: с чего начать? С рисунка! В геометрической задаче очень важен рисунок, он должен отвечать условиям задачи, быть наглядной формой их записи.

Рис. 14a Рис. 14б

Например, в задаче рассматривается равнобедренный треугольник. Его можно нарисовать по-разному (рис. 14а и 14б), поэтому сначала рисуют на черновике, от руки, и из других условий определяют вид треугольника.

Если сказано, что один отрезок в два раза длиннее другого, – отразите это на рисунке; если какие-то прямые параллельны – так и рисуйте, т. е. после таких рассмотрений делаете чёткий хороший рисунок, отвечающий условиям задачи.

Хороший рисунок – помощник в решении, особенно если на нём Вы отмечаете равные углы, перпендикулярность отрезков, отношение длин и т. п. и ставите данные задачи. Посмотрите, например, на рис. 7, 8, 11 и подумайте, как рисунок помогает в решении.

Пример 6

В треугольнике ABCABC медиана BMBM перпендикулярна биссектрисе ADAD. Найти длину стороны ABAB, если AC=6AC=6.

Решение

△ 1. Подумаем, как построить рисунок. Возьмём луч AKAK (рис. 15) и отложим от точки AA какие-то равные углы (т. е. считаем, что биссектриса ADAD лежит на этом луче).

Рис. 15

Выберем точку BB, проведём через точку BB прямую, перпендикулярно AKAK и отметим точку MM, BMBM – медиана, поэтому отложим отрезок MC=MAMC = MA. Треугольник ABCABC – тот, что нужен: ADAD – биссектриса, BMBM – медиана, ADBMAD\perp BM.

2. Решение очевидно: ABO=AMO\bigtriangleup ABO=\bigtriangleup AMO (по катету и острому углу), значит AB=AMAB=AM и AC=2AM=2ABAC=2AM=2AB. Зная, что AC=6AC=6, находим AB=3AB=3