Математика 8 класс 8-М-6

§3 Алгебраический метод

Алгебраический метод решения задач на построение заключается в построении искомых элементов по формулам, выражающих их зависимость от заданных элементов. Большинство задач этого вида решается с помощью комбинирования следующих 4-х построений отрезков вида:

`x_1=sqrt(a^2+b^2)`,

`x_2=sqrt(a^2-b^2)`,

`x_3=sqrt(ab)`,

`x_4=(ac)/b`.

Построение отрезка `x_1=sqrt(a^2+b^2)`

Проводим прямую `l`, выбираем на ней точку `C` и проводим через точку `C` прямую `l_1` перпендикулярно прямой `l` (основное построение 5). От точки `C` на прямых `l` и `l_1`  откладываем отрезки `CA=a` и `CB=b`. Отрезок `AB=sqrt(a^2+b^2)=x_1` (рис. 15).       

      

Построение отрезка `x_2=sqrt(a^2-b^2)`, `a>b`  

Проводим прямую `l`, выбираем на ней точку `C` и  проводим  через  точку `C` прямую `l_1` перпендикулярно прямой `l` (основное построение 5). От точки `C` на прямой `l_1` откладываем отрезок `CB=b`. От точки `B` раствором циркуля равным `a` делаем засечку на другой стороне угла – отрезок `CA=sqrt(a^2-b^2)=x_2` (рис. 16).


Построение отрезка `x_3=sqrt(ab)`

Проводим прямую `l`, выбираем точку `K` на ней и от точки `K` последовательно откладываем отрезки `KA=a` и `AB=b`. Делим отрезок `KB=a+b` пополам (основное построение 4), получаем точку `O` - середину отрезка `KB`. Проводим окружность с центром в точке `O` радиуса `(a+b)/2`. Через точку `A` проводим прямую перпендикулярную прямой `l` (основное построение 5) до пересечения в точке `C` с окружностью. Угол `KCB`- прямой, `CA` - высота прямоугольного треугольника к гипотенузе. По свойству высоты, проведённой из вершины прямого угла к гипотенузе `CA=sqrt(KA*AB)`  т. е. `CA=sqrt(ab)=x_3` (рис. 17).

Построение отрезка `x_4=(ac)/b`

Строим некоторый угол с вершиной `S`. На одной стороне от точки `S` последовательно откладываем отрезок `SB=b` и `BA=a`, на другой стороне откладываем отрезок `SC=c`. Через точки `B` и `C` проводим прямую `l`, а затем через точку `A` проводим ей параллельную прямую `l_1` (основное построение 6) получаем на стороне `SC` точку `D`. По теореме о пересечении сторон угла параллельными прямыми `(SB)/(SC)=(BA)/(CD)`, т. е. `b/c=a/(CD)`, `CD=(ac)/b=x_4` (рис. 18).

Совершенно очевидна единственность каждого из четырёх описанных построений.

Таким образом, мы расширили список допустимых построений. Ещё раз напомним, что для того чтобы решить задачу на построение, достаточно свести её к основным построениям и тем, которые сводятся к основным.

Пример 5

Даны отрезки `a`, `b` и `c` и число `n`  натуральное. Построить отрезки  

`y_1=sqrt(a^2+3ab+2b^2)`,  `y_2=sqrt(a^2+b^2+c^2)`,

`y_3=sqrt(a^2-ab+b^2)`,  `y_4=a^5/b^4`,  `y_5=a*sqrtn`.

Решение

Покажем, как построение этих отрезков сводится к комбинации построений отрезков вида `x_1`, `x_2`, `x_3`, `x_4`.

1. `a^2+3ab+2b^2=(a+2b)(a+b)`,  `y_1=sqrt((a+2b)(a+b))`.

Строим отрезки `z_1=a+2b`, `z_2=a+b`, тогда `y_1=sqrt(z_1*z_2)`.

2. Строим отрезок `z_1=sqrt(a^2+b^2)`, тогда искомый отрезок `y_2=sqrt(z_1^2+c^2)`.

3. `y_3=sqrt(a^2-ab+b^2)`. Строим отрезки `z_1=sqrt(a^2+b^2)`, `z_2=sqrt(ab)`. Из очевидного неравенства  `(a-b)^2>=0` следует

 `a^2-2ab+b^2>=0 iff 2ab<=a^2+b^2 => ab<a^2+b^2`,

значит `a^2-ab+b^2>0`.

Отрезок  – `y_3=sqrt(z_1^2-z_2^2)`.

4. `y_4=a^5/b^4`. Мы умеем строить отрезок `x_4=(ac)/b`. При `c=a`  получим отрезок  `z_1=a^2/b`. Строим отрезок `z_2=z_1*a/b=a^3/b^2`. Далее получим отрезок `z_3=z_2*a/b=a^4/b^3` и аналогично строим  отрезок `y_4=z_3*a/b=a^5/b^4`.

5. `y_5=a*sqrt(n)`. Сначала строим отрезок `z_1=n*a`, а затем `y_5=sqrt(z_1*a)=sqrt(na*a)=asqrtn`.