Математика 8 класс 8-М-6

§ 1. Геометрическое место точек

Геометрическим местом точек на плоскости

называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определённым свойством.

Каждая задача, связанная с нахождением того или иного геометрического места точек (ГМТ), требует доказательства двух утверждений (теорем):

Теоремы

1) каждая точка указанной фигуры обладает данным свойством;

2) каждая точка плоскости, обладающая данным свойством, принадлежит указанной фигуре.

Перечислим некоторые простейшие и наиболее часто встречающиеся ГМТ на плоскости:

1. Геометрическое место точек `M`, расстояние от которых до данной точки `O` равно `R`, есть  окружность  радиуса  `R`  c  центром  в  точке  `O` (рис. 1).

2. Геометрическое место точек `M`, равноудалённых от двух данных точек `A` и `B`, есть прямая, перпендикулярная отрезку `AB` и проходящая через его середину – серединный перпендикуляр отрезка `AB` (рис. 2).

3. Геометрическое место внутренних точек угла, равноудалённых от его сторон есть биссектриса этого угла (рис. 3).

 

4. Геометрическое место точек `M`, равноудалённых от трёх заданных точек, не лежащих на одной прямой, есть точка – центр окружности, проходящей через данные точки (рис. 4).

5. Геометрическое место точек, из которых отрезок `AB` виден под прямым углом, т. е. точек `M`, для которых угол `/_AMB=90^@`, есть  окружность  с  диаметром `AB` без точек `A` и `B` (рис. 5).

6. Геометрическое место центров окружностей, касающихся данной прямой `l` в точке `C`, есть перпендикуляр к  `l` в точке  `C` (рис. 6)

Пример

Для примера докажем, что  геометрическим местом точек, из которых отрезок `AB` виден под прямым углом, является окружность с диаметром `AB`, из которой выброшены точки `A` и `B`.

Доказательство

1) Покажем, что любая точка `M` окружности с диаметром `AB` (и не совпадающая с точками `A` и `B`)  обладает свойством: `/_AMB=90^@`.

Если `AB` - диаметр, то его середина – точка `O` есть центр окружности (рис. 7). По определению окружности `AO=OB=OM`. Прочитаем это по-другому: в треугольнике `AMB` медиана `MO` равна половине стороны `AB`. Треугольник `AOM` равнобедренный, углы при основании `AM` обозначим `alpha`. Треугольник `MOB` также равнобедренный, углы  при  основании `MB` обозначим `beta`. Сумма углов треугольника `ABC` равна  `2alpha+2beta=180^@`, откуда  `/_AMB=alpha+beta=90^@`.       

                     

2) Пусть точка `C` такая, что `/_ACB=90^@` (рис. 8). Треугольник `ABC` - прямоугольный, его медиана `CO` к гипотенузе `AB` равна половине гипотенузы (Пример 5 Задания), т. е.  `OA=OB=OC`. Точки `A`, `B` и `C` одинаково удалены  от точки `O` и поэтому лежат на окружности с центром в точке `O` и радиуса `OA`, т. е. с диаметром `AB`.

Обратите  внимание,  что  часть  1  доказательства  основана  на  одной теореме, а часть 2 на обратной теореме.

Пример 1

Дана окружность с центром в точке `O` и точке `A` на окружности (рис. 9). Найти геометрическое место середин хорд данной окружности, проходящих через точку `A` этой окружности.

Решение

а) Рассмотрим хорду `AB`. Середина хорды – точка `M` - есть основание перпендикуляра из точки `O` на `AB` (следует из `OA=OB`).  Угол `AMO` - прямой, точка `M` лежит на окружности с диаметром  `AO`.

б). Возьмём некоторую точку `K` этой окружности, отличную от точки `A`. Угол `OKA` опирается на диаметр, он прямой. Продлим прямую `AK` до пересечения с окружностью (`C` - точка пересечения). Тогда из `OA=OC` и `OK_|_AC` следует `AK=KC`, т. е. точка `K` - середина хорды `AC`.

Сама точка `O` является серединой диаметра, проходящего через точку `A`.

Из а) и б) следует, что искомое геометрическое место есть окружность с диаметром `AO`, за исключением точки `A`.