Математика 11 класс 11-М-7

Текстовые задачи

Текстовые задачи отличаются большим разнообразием: задачи на движение, на совместную работу, на смеси, на проценты и пр.  Как правило, при решении текстовых задач мы вводим одну или несколько переменных, а затем составляем уравнение или систему уравнений, решая которые, находим все неизвестные.

В более сложных случаях в задачах могут встречаться ограничения – неравенства, целочисленные переменные и т. д.

В этом задании мы остановимся главным образом на текстовых задачах с экономическим содержанием (такие задачи предлагаются в профильном уровне ЕГЭ), однако в задачах для самостоятельного решения будет предложено и несколько иных задач.

Обратите также внимание на два момента:

необходимо учитывать размерность величин (время может измеряться в часах или минутах, масса – в килограммах или тоннах, денежные суммы — в рублях или тысячах рублей и пр.);

в ответе нужно записать ту величину, которую просят найти в условии задачи (это совершенно очевидно, однако, к сожалению, многие на экзамене об этом забывают).

Перейдём теперь к примерам.

Пример 1

Предприниматель Корейко купил в Таганроге несколько мешков чеснока и продал их в Ростове-на-Дону, получив на `50000` рублей больше, чем потратил. На все вырученные деньги он снова купил в Таганроге чеснок и затем продал его в Ростове-на-Дону. На этот раз прибыль (т. е. разность между выручкой и затратами) составила `55` тысяч рублей. Сколько денег Корейко потратил на первую покупку, если цены закупки и продажи мешка чеснока не изменились?

Решение

Способ 1. Пусть изначально у Корейко было `x` тысяч рублей. В результате первой продажи у него стало `x+50` тысяч рублей, которые он потратил на закупку второй партии товара. В результате продажи этой партии он получил `(x+50)+55=x+105` тысяч рублей. Получаем уравнение

`(x+105)/(x+50)=(x+50)/x`

(так как отношение выручки к затратам на закупку равно отношению цены продажи к цене закупки), откуда

`x^2+105x=x^2+100x+2500`,  `x=500`.

Способ 2. Во второй раз Корейко потратил на закупку чеснока на `50` тысяч рублей больше и получил прибыль на `5` тысяч рублей больше. Это означает, что на `50` тысяч рублей затрат приходится `5` тысяч рублей прибыли, поэтому прибыль в `10` раз меньше затрат. В первый раз прибыль составила `50` тысяч рублей, поэтому затраты были `500` тысяч рублей.

При втором способе решения в работе должен быть записан текст, объясняющий все логические переходы.

Ответ

`500000` рублей.

Пример 2

Свежий инжир содержит `88%` воды, а сушёный – `10%`. Сколько сушёного инжира получится из `75` кг свежего?

Решение

Пусть `x` – масса сушёного инжира. При сушке испаряется вода, а масса сухого вещества остаётся неизменной. В свежем инжире `12%` сухого вещества, а в сушёном – `90%`. Приравнивая количество сухого вещества, получаем уравнение `75*0,12=x*0,9`,

откуда `x=10`.

Ответ

`10` кг.

В задачах «на проценты» нередко встречаются фразы вида «`A` больше  `B` на `alpha` процентов», «`A` дешевле `B` на `alpha` процентов» и т. д. В подобных случаях проценты следует считать от той величины, которая указана последней. Например, «`A`  больше `B` на `alpha` процентов» означает, что `A` равно `B` плюс `alpha` процентов от `B`, 

`A=B+alpha%*B=B+alpha/(100)*B=B(1+alpha/(100))`.

Таким образом,

`A` больше `B` на `alpha% iff A` больше `B` в `(1+alpha/(100))` раз.

Аналогично,

`A` меньше `B` на `alpha% iff A=B(1-alpha/100)`.

Пример 3

Стиральная машина стоит на `25%` дороже посудомоечной машины и на `20%` дешевле холодильника. На сколько процентов посудомоечная машина дешевле холодильника?

Решение

Пусть стиральная машина стоит `x`, посудомоечная машина – `y`, а холодильник – `z`. Тогда

`x=(1+25/(100))y=1,25y`,  `x=(1-20/(100))z=0,8z`.

Поэтому

`1,25y=0,8z`,  `y=0,64z=(1-36/(100))z`.

Значит, посудомоечная машина на `36%` дешевле холодильника.

Ответ

На `36%`.

Замечание

Если `y=0,64z`, то `z=1,5625y`, следовательно, холодильник дороже посудомоечной машины на `56,25%`.

Пример 4

В начале года `5//6` некоторой суммы денег вложили в банк `A`, а то, что осталось – в банк `B`. Если вклад находится в банке в течение года, то к концу этого периода его сумма увеличивается на определенный процент[1], величина которого зависит от банка. Известно, что к концу первого года сумма вкладов в обоих банках стала равна `670` у. е.[2], к концу следующего года – `749` у. е. Если бы первоначально `5//6` суммы было вложено в банк `B`, а оставшаяся сумма – в банк `A`, то по истечении одного года сумма возросла бы до `710` у. е. Определите сумму вкладов по истечении второго года в этом случае. Процентные ставки по вкладам в каждом из банков в течение двух лет не изменялись.

Решение

Введём обозначения: `S` — сумма денег, которая была изначально, `a` и `b` — процентные ставки в банках `A` и `B` соответственно. Тогда за год сумма в банке `A` увеличивается в `alpha=1+alpha/(100)` раз, а в банке `B` — в `beta=1+b/(100)` раз. Получаем систему уравнений

56Sα+16Sβ=670,56Sα2+16Sβ2=749,16Sα+56Sβ=710.\left\{\begin{array}{l}\dfrac56S\alpha+\dfrac16S\beta=670,\\\dfrac56S\alpha^2+\dfrac16S\beta^2=749,\\\dfrac16S\alpha+\dfrac56S\beta=710.\end{array}\right.

При этом нам нужно найти не `alpha`, `beta` и `S` по отдельности, а сумму вкладов на конец второго года, т. е. величину

`X=1/6Salpha^2+5/6Sbeta^2`                                                           (1)

Разделим первое уравнение системы на третье:

`(5/6Salpha+1/6Sbeta)/(1/6Salpha+5/6Sbeta)=(670)/(710) iff (5alpha+beta)/(alpha+5beta)=67/71`,

откуда `alpha=11/12 beta`.

Разделим уравнение (1) на второе уравнение исходной системы:

`X/(749)=(1/6Salpha^2+5/6Sbeta^2)/(5/6Salpha^2+1/6Sbeta^2)=(alpha^2+5beta^2)/(5alpha^2+beta^2)=((121)/(144)beta^2+5beta^2)/(5*(121)/(144)beta^2+beta^2)=(841)/(749)`.

Таким образом, `X=841`.

Ответ

`841` у. е.

Пример 5

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год `20%` накопленной суммы было снято со счета. Банк увеличил процентную ставку на `5` процентных пунктов (с `a%` до `(a+5)%`). К концу следующего года накопленная сумма в `1,2` раза превысила первоначальный вклад. Какой новый процент годовых[3] в банке?

Решение

Пусть `S` – первоначальная сумма вклада; `a` – первоначальный процент годовых. Тогда в конце первого года сумма вклада будет равна `S(1+a/(100))`, а после снятия `20%` суммы останется `0,8S` `(1+a/(100))`.

К концу второго года сумма вклада будет равна

`0,8S(1+a/(100))(1+(a+5)/(100))`.

По условию `1,2S=0,8S(1+a/(100))(1+(a+5)/(100))`, откуда

`(1+a/100)(1+(a+5)/100)=1,5 iff (100+a)(105+a)=15000 iff`

`iffa^2+205a-4500=0 iff`a=20,a=-225.\left[\begin{array}{l}a=20,\\a=-225.\end{array}\right.

Поскольку процентная ставка положительна, то `a=20`, а новая процентная ставка равна `25%`.

Ответ

`25%`.

Пример 6

Общий процент прибыли за весь товар, проданный в трёх магазинах, составил `31,9%`. Через первый магазин было продано `40%` всего товара, а через второй –  `30%` оставшейся части товара. Прибыль от продаж в первом магазине составила `40%`, а во втором – `30%`. Определите процент прибыли от продажи товара в третьем магазине.

Решение

Пусть `S` – изначальная цена всей партии товара, проданного магазинами. Прибыль составила `31,9%`, следовательно, общая выручка магазинов равна `1,319S`.

В первом магазине было продано `0,4` всего товара, во втором — `0,3` от оставшихся `0,6` товара,  т. е. `0,18`. Значит, через третий магазин было продано `0,42` всего товара. Выручка в первом магазине составила `0,4S*1,4`, во втором магазине – `0,18S*1,3`. Значит, выручка в третьем магазине равна `1,319S-0,56S-0,234S=0,525S`.

Так как начальная цена товара, реализованного через третий магазин, равна `0,42S`, то получаем уравнение `0,42S(1+alpha/100)=0,525S`, где `alpha` – процент прибыли в третьем магазине. Следовательно, `alpha=25`.

Ответ

`25%`

Пример 7

В течение года цена пальто снижалась дважды на один и тот же процент. Первоначальная цена была `10800` рублей, а цена после второго снижения стала равна `5292` рубля. На сколько процентов снижалась цена каждый раз?

Решение

Пусть каждый раз цена снижалась на `x%`. Это равносильно следующему: цена умножалась на `alpha=1-x/100`. Тогда после первого снижения цена равна `10800alpha`, а после второго – `10800alpha^2`. Получаем уравнение `10800alpha^2=5292`, откуда `alpha^2=49/100`, `alpha=7/10`. Следовательно, `x=30`.

Ответ

`30%`.

В некоторых задачах рассматриваемые величины являются целочисленными (например, количество человек и т. п.), что иногда приводит к другим методам решения. Рассмотрим примеры.

Пример 8

Вкладчик разместил в банке  `32` тысячи рублей. Несколько лет он получал то `5%`, то `10%` годовых, а за последний год получил `25%` годовых. При этом проценты начислялись в конце каждого года и добавлялись к сумме вклада. В результате его вклад стал равен `53361` рублю. Сколько лет пролежал вклад?

Решение

Пусть вклад пролежал в банке `k` лет под `5%` годовых,   `l`   лет под `10%` годовых и `1` год под `25%` годовых. Тогда  `32000*(1+0,05)^k*(1+0,1)^l*(1+0,25)=53361`.

Упрощая, получаем

`32000*(21/20)^k*(11/10)^l*5/4=53361`,

`32000*21^k*11^l*5=53361*20^k*10^l*4`.

Здесь записано равенство двух целых чисел, поэтому имеет смысл разложить обе части на простые множители. Получаем

`2^8*5^3*3^k*7^k*11^l*5=3^2*7^2*11^2*2^(2k)*5^k*2^l*5^l*2^2`,

`2^8*3^k*5^4*7^k*11^l=2^(2+2k+l)*3^2*5^(k+l)*7^2*11^2`,

Поскольку разложение на простые множители единственно с точностью до порядка сомножителей, отсюда следует, что

8=2+2k+l,k=2,4=k+l,k=2,l=2k=l=2.\left\{\begin{array}{l}8=2+2k+l,\\k=2,\\4=k+l,\\k=2,\\l=2\end{array}\right.\Leftrightarrow k=l=2.

Значит, вклад пролежал в банке `k+l+1=5` лет.

Ответ

`5` лет.

Пример 9

Фермер, занимающийся производством ягод, посадил кусты крыжовника и смородины. Количество кустов крыжовника превышает количество кустов смородины менее чем на `4`. Если число кустов смородины увеличить на `42`, то оно превысит число кустов крыжовника, но не более чем в `3` раза. Если число кустов смородины увеличить впятеро и прибавить удвоенное число кустов крыжовника, то результат не превысит `126`. Найдите, сколько кустов крыжовника и сколько кустов смородины посадил фермер.

Решение

Пусть было посажено `k` кустов крыжовника и `s` кустов смородины. Тогда из условия следует, что

s<k<s+4,k<s+423k,5s+2k126.\left\{\begin{array}{l}s<k<s+4,\\k<s+42\leq3k,\\5s+2k\leq126.\end{array}\right.

Из первого неравенства получаем три варианта: `k=s+1`, `k=s+2` или `k=s+3` (так как `k` и `s` — целые числа). Подставляем эти значения во второе и третье неравенства и решаем в каждом из случаев:

1) `k=s+1`. Тогда

s+1<s+423s+1,5s+2s+11262s39,7s124s19,5;s1757s.\left\{\begin{array}{l}s+1<s+42\leq3\left(s+1\right),\\5s+2\left(s+1\right)\leq126\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2s\geq39,\\7s\leq124\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}s\geq19,5;\\s\leq17\dfrac57\end{array}\right.\Leftrightarrow s\in\varnothing.                       

2) `k=s+2`. Тогда

 s+2<s+423s+2,5s+2s+21262s36,7s122s18;s1737s.\left\{\begin{array}{l}s+2<s+42\leq3\left(s+2\right),\\5s+2\left(s+2\right)\leq126\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2s\geq36,\\7s\leq122\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}s\geq18;\\s\leq17\dfrac37\end{array}\right.\Leftrightarrow s\in\varnothing.                       

3) `k=s+3`. Тогда

s+3<s+423s+3,5s+2s+31262s33,7s120s16,5;s1717s=17.\left\{\begin{array}{l}s+3<s+42\leq3\left(s+3\right),\\5s+2\left(s+3\right)\leq126\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2s\geq33,\\7s\leq120\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}s\geq16,5;\\s\leq17\dfrac17\end{array}\right.\Leftrightarrow s=17.                      

Следовательно, `k=20`.

Ответ

`20` кустов крыжовника и `17` кустов смородины.

Пример 10

В штамповочном цехе машиностроительного завода было несколько одинаковых прессов, штампующих детали, и цех выпускал `6480` деталей в день. После реконструкции все прессы заменили на более производительные, но также одинаковые, при этом увеличив число прессов на три. После реконструкции цех стал выпускать в день  `11200` деталей. Сколько прессов было в цехе первоначально?

Решение

Пусть изначально было `k` прессов, а после реконструкции их стало `k+3`. Поскольку прессы штампуют целое число деталей в день, отсюда следует, что `6480vdotsk`, `11200vdots(k+3)`. Раскладываем числа на простые множители:

`2^4*3^4*5vdotsk`,

`2^6*5^2*7vdots(k+3)`.

Заметим, что в разложении на простые множители числа `k` не может содержаться множитель `3`, так как тогда `k+3` также делится на `3`, и второе условие не выполняется. Значит, первое условие можно переписать в виде `2^4*5vdotsk`. Рассмотрим все возможные случаи:

`k=1 iffk+3=4` – подходит (выполняются оба условия);

`k=2 iffk+3=5` – подходит;

`k=4 iffk+3=7` – подходит;

`k=8 iffk+3=11` – не подходит;

`k=16 iffk+3=19` – не подходит;

`k=5 iffk+3=8` – подходит;

`k=10 iffk+3=13` – не подходит;

`k=20 iffk+3=23` – не подходит;

`k=40 iffk+3=43` – не подходит;

`k=80 iffk+3=83` – не подходит.

Учтём также, что прессы заменили на более производительные, поэтому

`(6480)/k<(11200)/(k+3) iff (2^4*3^4*5)/k<(2^6*5^2*7)/(k+3) iff3^4(k+3)<2^2*5*7*kiff`

`iff 81k+243<140k iff k>243/59`.

Следовательно, из значений `k=1`, `k=2`, `k=4`, `k=5` подходит только `k=5`.

Ответ

`5` прессов.

Пример 11

Сотрудники ООО[4] “Рога и копыта” решили купить новый холодильник, при этом каждый внес одинаковую сумму. Однако в последний момент два человека отказались участвовать в покупке, заявив, что они не будут пользоваться холодильником, и забрали свои деньги обратно. Чтобы совершить покупку, каждому из оставшихся сотрудников пришлось добавить в кассу по `400` рублей. Сколько человек работает в ООО  “Рога и копыта”, если известно, что стоимость холодильника находится в пределах от `11000` до `14500` рублей?

Решение

Пусть в фирме «Рога и копыта» работает `k` человек и изначально все они планировали собрать по `x` рублей с каждого. Тогда стоимость холодильника равна `kx`. С другой стороны, стоимость холодильника можно выразить как `(x+400)(k-2)`, откуда получаем уравнение

`xk=(x+400)(k-2)iff400k-800-2x=0iffx=200k-400`.                     

Значит, стоимость холодильника можно выразить формулой

`p=k(200k-400)=200k^2-400k`.

Из условия задачи получаем неравенство:

`11000<=200k^2-400k<=14500iff`

k2-2k-550,2k2-4k-1450k-;1-561+56;+,k1-1472;1+1472\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}k^2-2k-55\geq0,\\2k^2-4k-145\leq0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}k\in\left(-\infty;1-\sqrt{56}\right]\cup\left[1+\sqrt{56};+\infty\right),\\k\in\left[1-\sqrt{\dfrac{147}2};1+\sqrt{\dfrac{147}2}\right]\end{array}\right.\Leftrightarrow                      `iffk in[1-sqrt(147/2);1-sqrt(56)]uu[1+sqrt(56);1+sqrt(147/2)]`.     

Поскольку `k in NN`, получаем `k=9`.

Ответ

`9` человек.

Во многих задачах на вклады и кредиты используются формулы `n` подряд идущих членов арифметической прогрессии. Напомним, как они выводятся.

Сначала рассмотрим сумму `n` подряд идущих натуральных чисел:

`sigma_n=1+2+3+cdots+(n-1)+n`.

Запишем эту сумму в прямом и обратном порядке:

`sigma_n=1` `+2` `+3` `+...` `+(n-1)` `+n`,
`sigma_n=n` `+(n-1)` `+(n-2)` `+...` `+2` `+1`

и сложим равенства. В правой части сумма двух чисел, стоящих в любом столбце, равна `(n+1)`, а всего таких столбцов `n`, следовательно,

`2sigma_n=(n+1)n`; `sigma_n=(n(n+1))/2`.

Тогда сумма первых `n` членов арифметической прогрессии равна

`S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-1)d)=`

`=na_1+(d+2d+...+(n-1)d)=na_1+d(1+2+...+(n-1))=na_1+d*(n(n-1))/2.`

Эту формулу можно также преобразовать к более удобному для запоминания виду:

`S_n=n(a_1=(d(n-1))/2)=n*(a_1+a_1+d(n-1))/2=n*(a_1+a_n)/2`.

Таким образом, сумма `n` подряд идущих членов арифметической прогрессии равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на количество членов:


`S_n=a_1+a_2+...+a_n=n*(a_1+a_n)/2=na_1+(n(n-1))/2d`.


Для геометрической прогрессии рассмотрим случай, когда её знаменатель `q` отличен от единицы (если `q=1`, то все члены прогрессии равны между собой и сумма первых `n` членов прогрессии равна `nb_1`, где `b_1` — первый член).

Вычислим сначала

`tau_n=1+q+q^2+...+q^(n-1)`.                                                      (2)

Умножив обе части равенства (2) на `q`, получаем

`qtau_n=q+q^2+...+q^(n-1)+q^n`.                                                         (3)

Вычтем из (2) равенство (3):

`tau_n-qtau_n=1-q^n iff tau_n=(1-q^n)/(1-q)`.

Тогда сумма первых `n` членов геометрической прогрессии равна

`T_n=b_1+b_2+...+b_n=b_1+b_1q+b_1q^2+...+b_1q^(n-1)=`

`=b_1(1+q+q^2+...+q^(n-1))=b_1*(1-q^n)/(1-q)`.

`T_n=b_1+b_2+...+b_n=b_1*(1-q^n)/(1-q),`    `q!=1`.

Пример 12

Даны две различные геометрические прогрессии, первые члены которых равны `1`, а сумма знаменателей равна `(-4)`. Найдите сумму пятых членов прогрессий, если известно, что сумма шестых членов равна `(-724)`.

Решение

Пусть `x` и `y` – знаменатели прогрессий. Тогда

x+y=-4,x5+y5=-724.\left\{\begin{array}{l}x+y=-4,\\x^5+y^5=-724.\end{array}\right.                                                       (1)

Рассмотрим равенство

`(x+y)^5=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5`.

Подставляя данные из системы (1), получаем

`-1024=-724+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4`;
`-300=5xy(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3)`;
`-60=xy((x^3+y^3)+2xy(x+y))`;
`-60=xy((x+y)(x^2-xy+y^2)+2xy(x+y))`;
`-60=xy(x+y)(x^2+xy+y^2)`;
`-60=-4xy(x^2+xy+y^2)`;
`15=xy((x+y)^2-xy)`;
`15=xy(16-xy)`;
`(xy)^2-16(xy)+15=0`,

откуда `xy=1` или `xy=15`.

Случай `xy=15` невозможен (система `x+y=-4`, `xy=15` не имеет решений).

Если `xy=1`, то система имеет решения (но находить их не нужно).

Сумма пятых членов прогрессий равна

`x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=((x+y)^2-2xy)^2-2(xy)^2=(16-2)^2-2=194`.                       

Ответ

`194`.

Пример 13

Иван  Васильевич  по  случаю  рождения сына открыл 1 апреля 2000 года счёт в банке, на который он ежегодно вносит  `1000` рублей.

По условиям вклада банк ежегодно начисляет `10%` на сумму, находящуюся на счёте. Через `6` лет у Ивана Васильевича родилась дочь, и 1 апреля 2006 года он открыл в другом банке счёт, на который ежегодно вносит по `2100` рублей, а банк начисляет `21%` в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов сравнялись, если деньги со счетов не снимались?

Решение

Пусть каждый год счёт пополняется суммой `S`, а в результате начисления процентов сумма вклада умножается на `alpha`. Тогда через год на вкладе будет `alphaS+S` денег (сумма вклада на конец года с учетом процентов плюс очередной ежегодный взнос `S` Ивана Васильевича). Еще через год получим

`alpha(alphaS+S)+S=alpha^2+alphaS+S`,

a ещё через год

`alpha(alpha^2S+alphaS+S)+S=alpha^3S+alpha^2S+alphaS+S`

и т. д. Значит, через `n`  лет сумма на вкладе будет равна

`alpha^nS+alpha^(n-1)S+...+alphaS+S=S*(1-alpha^(n+1))/(1-alpha)`.                                  (4)

Пусть суммы на счёте сравняются в году `2006+k`. Тогда для первого вклада в формулу (4) надо подставить `S=1000`; `alpha=1,1`; `n=k+6`, т. е. в `2006+k` году сумма на этом вкладе равна

`1000*(1-1,1^(k+7))/(1-1,1)=10000*(1,1^(k+7)-1)`.

В случае второго вклада в формулу (4) подставляем `S=2100`; `alpha=1,21`; `n=k` и получаем

`2100*(1-1,21^(k+1))/(1-1,21)=10000*(1,21^(k+1)-1)`.

Нас интересует, при каком `k` суммы на вкладах равны; значит, надо решить уравнение

`10000*(1,1^(k+7)-1)=10000*(1,21^(k+1)-1) iff 1,1^(k+7)=1,21^(k+1) iff`

`iff 1,1^(k+7)=1,1^(2k+2)iffk+7=2k+2iffk=5`.

Следовательно, суммы вкладов сравнялись в 2011 году.

Ответ

В 2011 году.

Пример 14

Сергей взял в банке кредит на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на `2,5%`. Фактически это означает годовую кредитную ставку `30%` годовых с ежемесячным начислением процентов, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно[5] (то есть на одну и ту же величину). Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Сергеем банку?

Решение

Пусть сумма кредита равна `S`. По условию каждый месяц сумма кредита уменьшается на одну и ту же величину, а весь кредит выплачивается за 9 месяцев. Значит, сумма долга уменьшается на `S//9` ежемесячно.

Обозначим `alpha=1,025` (именно во столько раз увеличивается сумма долга в конце каждого месяца). Тогда в конце первого месяца Сергей выплатил банку

`alphaS-8/9S=(alpha-8/9)S`;

в конце второго месяца

`alpha*8/9S-7/9S=(8/9alpha-7/9)S`;

в конце третьего месяца

`alpha*7/9S-6/9S=(7/9alpha-6/9)S`

и т. д. Тогда за все 9 месяцев выплаты банку составили

`(alpha-8/9)S+(8/9alpha-7/9)S+(7/9alpha-6/9)S+...+(2/9alpha-1/9)S+1/9alphaS=`

`=alphaS(1+8/9+7/9+...+1/9)-S(8/9+7/9+...+1/9)=`

`=(alphaS)/9(9+8+7+...+1)-S/9(8+7+...+1)=`

`=(alphaS)/9*(9*10)/2-S/9*(8*9)/2=5*alphaS-4S=5*1,025S-4S=1,125S`.

Значит, выплаченная банку сумма составляет `112,5%` первоначальной суммы кредита.

Ответ

`112,5%`.

Пример 15

`31` декабря  `2008` года Андрей взял в банке `6902000` рублей в кредит под `12,5%` годовых. Условия погашения долга, установленные банком, таковы: 31 декабря каждого последующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (увеличивает долг на `12,5%`), затем Андрей переводит в банк `x` рублей. Какой должна быть сумма `x`, чтобы Андрей выплатил долг четырьмя равными платежами ( за четыре года).

Решение

Пусть `S` - сумма кредита; каждый год 31 декабря эта сумма умножается на `1+(12,5)/100=9/8`. Тогда в конце первого года сумма долга равна `alphaS-x`,

в конце второго - `alpha(alphaS-x)-x=alpha^2S-alphax-x`,

в конце третьего  - `alpha(alpha^2S-alphax-x)-x=alpha^3S-alpha^2x-alphax-x`,

в конце четвёртого  - `alpha(alpha^3S-alpha^2x-alphax-x)-x=alpha^4S-alpha^3x-alpha^2x-alphax-x`.

По условию за четыре года кредит должен быть погашен полностью, 

`alpha^4S-alpha^3x-alpha^2x-alphax-x=0`,

откуда `x=(alpha^4S)/(alpha^3+alpha^2+alpha+1)`. Подставляя значения `alpha` и `S`, получаем

`x=((98)^4*6902000)/((98)^3+(98)^2+98+1)=(9^4*6902000)/(9^3*8+9^2*8^2+9*8^3+8^4)=`

`=(9^4*6902000)/(19720)=9^4*350=2296350`.

Ответ

`2296350` рублей.

Замечание

К сожалению, в задачах такого типа нередко встречаются громоздкие вычисления. Можно было применить к знаменателю дроби формулу суммы геометрической прогрессии и переписать его в виде `(alpha^4-1)/(alpha-1)`, но это не сильно упростило бы решение.

Пример 16

31 декабря 2014 года Антон взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредиты следующая: 31 декабря каждого последующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (увеличивает долг на `a%`), затем Антон переводит очередной транш[6] (сумму в погашение части долга и начисленных процентов). Если Антон будет переводить банку каждый год по `1352000` рублей в соответствии с данной схемой, то он выплатит долг за 4 года, а если по `2152000` рублей, то за 2 года. Под какой процент Антон взял деньги в банке?

Решение

Пусть `S` – сумма взятого кредита, а в результате прибавления процентов к сумме долга он умножается на   `alpha(alpha=1+a/(100))`.

Для того, чтобы формулы выглядели короче, обозначим `x=1352000`, `y=2152000`.

Рассуждая аналогично предыдущей задаче, получим, что при погашении долга за 4 года 

`alpha^4S-alpha^3x-alpha^2x-alphax-x=0`,

а при погашении долга за 2 года

`alpha^2S-alphay-y=0`.

Перепишем эти равенства в виде

`alpha^4S=x(alpha^3+alpha^2+alpha+1)`,

`alpha^2S=y(alpha+1)`

и разделим первое на второе:

`alpha^2=x/y*(alpha^3+alpha^2+alpha+1)/(alpha+1)`.

Так как

`alpha^3+alpha^2+alpha+1=alpha^2(alpha+1)+(alpha+1)=(alpha^2+1)(alpha+1)`,

отсюда следует, что

`alpha^2=x/y(alpha^2+1)iffalpha^2=x/(y-x)`,

Подставляем значения `x` и `y`:

`alpha^2=(1352000)/(2152000-1352000)=(1352)/(800)=(169)/(100)=1,3^2`.

Следовательно,  `alpha=1,3` и кредит был взят под `30%` годовых.

Ответ

`30%`.

Пример 17

Два участника создали общество с ограниченной ответственностью, при этом каждый внёс определенную сумму денег в уставный капитал общества[7]. Через некоторое время один из участников внёс дополнительно в уставный капитал `4` млн. рублей, в результате его доля возросла на `6%`. А когда он внёс в уставный капитал ещё `4` млн. рублей, его доля возросла ещё на `2%`. Какую сумму ему нужно внести, чтобы увеличить свою долю ещё на `3%`?

Решение

Пусть изначально первый внёс `x` млн руб., а второй – `y` млн руб. Тогда доля первого равна `x/(x+y)`. После того как первый внёс `4` млн руб., его доля стала равна `(x+4)/(x+4+y)`, а после внесения следующих `4` млн руб. – `(x+8)/(x+8+y)`. По условию

xx+y+0,06=x+4x+4+y,xx+y+0,08=x+8x+8+y.\left\{\begin{array}{l}\frac x{x+y}+0,06=\frac{x+4}{x+4+y},\\\frac x{x+y}+0,08=\frac{x+8}{x+8+y}.\end{array}\right.

Поскольку `x` и `y` положительны, знаменатели дробей не обращаются в ноль, и система равносильна следующей:

xx+4+y+0,06x+yx+4+y=x+4x+y,xx+8+y+0,08x+yx+8+y=x+8x+y,\left\{\begin{array}{l}x\left(x+4+y\right)+0,06\left(x+y\right)\left(x+4+y\right)=\left(x+4\right)\left(x+y\right),\\x\left(x+8+y\right)+0,08\left(x+y\right)\left(x+8+y\right)=\left(x+8\right)\left(x+y\right),\end{array}\right.

а после упрощения выходит

0,06x+yx+4+y=4y,0,08x+yx+8+y=8y.\left\{\begin{array}{l}0,06\left(x+y\right)\left(x+4+y\right)=4y,\\0,08\left(x+y\right)\left(x+8+y\right)=8y.\end{array}\right.

Разделив первое уравнение на второе, получим

`(3(x+4+y))/(4(x+8+y))=1/2 iff 3x+12+3y=2x+16+2y iff x+y=4`.

Подставляем в первое уравнение:

   `0,06*4*(4+4)=4yiffy=0,48`.

Следовательно, `x=3,52`. Тогда изначальная доля первого участника равна `(3,52)/4=0,88`. После второго внесения средств она стала равна `(3,52+8)/(4+8)=0,96`. Пусть нужно добавить ещё `z` млн руб., чтобы доля возросла на `3%` (т. е.  стала равной `0,99`). Получаем уравнение

`(11,52+z)/(12+z)=0,99`,

откуда `11,52+z=11,88+0,99ziffz=36`,  т. е.  надо добавить ещё `36` млн руб.

Ответ

`36` млн руб.

Пример 18

Мария хочет взять ипотечный кредит в размере `1,4` млн. рублей. Погашение кредита по условиям банка будет происходить один раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после ежегодного начисления процентов на остаток долга. Ставка по кредиту составляет `10%` годовых. На какое минимальное количество лет Мария может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более `330` тысяч рублей?

Решение

Способ 1. Обозначим `1400000=S` сумму кредита, `alpha=1,1` – множитель, на который сумма долга умножается в результате начисления процентов, `x` – сумма ежегодного платежа. Тогда:

– долг через год составит `alphaS-x`;

– долг через два года составит `alpha(alphaS-x)-x=alpha^2S-alphax-x`;

– долг через  `k` лет составит `alpha^kS-alpha^(k-1)x-alpha^(k-2)x-cdots-alphax-x=` 

`alpha^kS-x(alpha^(k-1)+alpha^(k-2)+cdots+alpha+1)=alpha^kS-x(alpha^k-1)/(alpha-1)`.                (5)

Наименьшее значение `k`, при котором выражение (5) неположительно, — это и есть количество лет, необходимых для погашения кредита. Иначе говоря, `k` — это наименьшее натуральное решение неравенства `alpha^kS-x*(alpha^k-1)/(alpha-1)<=0`.

Отсюда

αkS-xα-1-xα-1*αk-xα-1:S-xα-1αkxS+x-αS.\alpha^k\left(S-\dfrac x{\alpha-1}\right)\leq\dfrac{-x}{\alpha-1}\overset\ast\Leftrightarrow\alpha^k\geq-\dfrac x{\alpha-1}:\left(S-\dfrac x{\alpha-1}\right)\Leftrightarrow\alpha^k\geq\dfrac x{S+x-\alpha S}.                  (6)

В переходе (`**`) мы использовали, что `S-x/(alpha-1)<0`. Действительно, для того, чтобы кредит был погашен, сумма долга спустя год должна быть меньше первоначальной, откуда `alphaS-x<S iff(alpha-1)S<x iff S<x/(alpha-1)`.

Очевидно, что чем больше суммы выплат, тем быстрее будет погашен кредит. Поэтому подставляем в (6) `alpha=1,1`; `x=330000`; `S=1400000` и получаем `1,1^k>=(33)/(19)`, откуда `k>=log_(1,1) 33/19`.

Вычисления на калькуляторе показывают, что `log_(1,1)33/19~~5,79`, поэтому подходит `k=6`.

Однако при сдаче ЕГЭ калькулятором пользоваться нельзя, поэтому предпочтительным оказывается иной способ решения.

Способ 2. Очевидно, что чем в большем размере происходят выплаты, тем меньше окажется срок, за который будет погашен кредит, поэтому возьмём максимально допустимую по условию задачи сумму погашения  `x=330  000` руб.

Тогда через год сумма долга станет равна `S_1=1  400  000*1,1-330  000=1  210  000`;

через 2 года  `S_2=1  210  000*1,1-330  000=1  001  000`;

через 3 года  `S_3=11  001  000*1,1-330  000=771  100`;

через 4 года  `S_4=771  100*1,1-330  000=518  210`;

через 5 лет    `S_5=518  210*1,1-330  000=240  031`;                                                        

В конце 6-го года сумма долга станет равна `240  031*1,1=264  034,1` руб., и она будет погашена полностью последним, шестым платежом.

Ответ

`6` лет.

Замечание

Несмотря на то, что второй способ решения содержит достаточно громоздкие вычисления (особенно если кредит выдаётся на большое количество лет), он позволяет обойтись без нахождения значений сложных величин и содержит только арифметические операции. Главное при решении такой задачи на ЕГЭ  –  не ошибаться.

Ряд текстовых задач требует применения производной для нахождения наибольшего или наименьшего значения величин. Рассмотрим пару примеров.

Пример 19

Алексей  вышел  из дома  на  прогулку со скоростью `v` км/ч. После того, как он прошёл `6` км, из дома следом за ним выбежала собака Жучка, скорость которой была на `9` км/ч больше скорости Алексея. Когда Жучка догнала хозяина, они повернули назад и вместе возвратились домой со скоростью `4` км/ч. Найдите значение `v`, при котором время прогулки Алексея окажется наименьшим. Сколько при этом составит время его прогулки?

Решение

Жучка пробегает на `9` км за час больше, чем хозяин. Значит, она догонит его спустя `6/9=2/3` часа. Тогда на путь туда Алексей затрачивает `t_1=6/v+2/3` часа, и при этом он проходит расстояние `v(6/v+2/3)=6+2/3v`. Следовательно, на обратную дорогу уходит время `t_2=(6+2/3v)/4=3/2+v/6`, а суммарное время прогулки составляет `t_1+t_2=13/6+6/v+v/6`. 

Минимум этого выражения может быть найден при помощи свойства взаимно обратных чисел: если `a>0`, то `a+1/a>=2`, причём равенство достигается только при  `a=1`.

В нашем случае получаем, что минимум достигается при `v/6=1`, т. е. `v=6` и он равен `13/6+2=25/6` ч.

Ответ

`6` км/ч;  `4` ч. `10` мин.

Пример 20

Леонид является владельцем двух заводов в разных го­родах. На заводах производятся абсолютно одинаковые приборы, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совер­шенное оборудование.

В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом горо­де, трудятся суммарно `4t^3` часов в неделю, то за эту неделю они произ­водят `t` приборов; если рабочие на заводе, расположенном во втором го­роде, трудятся суммарно `t^3` часов в неделю, они производят `t` приборов.  

За каждый час работы (на каждом из заводов) Леонид платит рабо­чему `1` тысячу рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно произво­дилось `20` приборов. Какую наименьшую сумму придётся тратить вла­дельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?

Решение

Пусть на первом заводе производят `x` приборов, а на втором – `(20-x)` приборов. Тогда всего нужно затратить `f(x)=4x^3+(20-x)^3` часов. Поскольку заработная плата пропорциональна количеству часов, имеет смысл найти минимум `f(x)`. Для этого вычисляем и преобразуем `f^'(x)`:

`f^'(x)=12x^2-3(20-x)^2=3((2x)^2-(20-x)^2)=3(20+x)(3x-20)`.

Знак `f^'(x)` определяется множителем `(3x-20)`, следовательно, при `x>20/3` функция возрастает, при `x<20/3` - убывает, а `x=20/3` - точка минимума. Так как `x` должно быть целым числом, рассмотрим ближайшие к `20/3` целые значения  `x`:

`f(6)=4*6^3+14^3=3608`;

`f(7)=4*7^3+13^3=3569`.

Значит, минимальное количество рабочих часов выходит в том случае, когда на первом заводе производят `7` приборов. При этом оплата труда равна `3  569  000` рублей.

Ответ

`3  569  000` рублей.

Пример 21

В январе 2005 года ставка по депозитам[8] в банке «Фантазия» составила `x%` годовых, тогда как в январе 2006 года – `y%`  годовых, причем известно, что `x+y=30`. В январе 2005 года вкладчик открыл депозитный счёт в банке «Фантазия», положив на него некоторую сумму. В январе 2006 года, по прошествии года со дня открытия счёта, вкладчик снял со счёта пятую часть этой суммы. Укажите значение `x`, при котором сумма на счёте вкладчика в январе 2007 года станет максимально возможной.

Решение

Пусть `S` – первоначальная сумма вклада. Тогда в январе 2006 года сумма станет равной `S(1+x/100)`, а после частичного снятия – `S(1+x/100)-S/5=S(4/5+x/100)`.

Ещё через год выйдет

`S(4/5+x/100)(1+y/100)=S(4/5+x/100)(1+(30-x)/100)=`

`=S/(10000)(x+80)(130-x)=S/(10000)(-x^2+50x+10400)`.

Эта сумма максимальна при `x=25` (вершина параболы с ветвями вниз).

Ответ

`x=25`.

Пример 22

Имеется три сплава. Первый содержит `30%` меди и `70%` олова, второй – `45%` олова, `20%` серебра и `35%` меди, третий – `60%` олова и `40%` серебра. Из них необходимо составить новый сплав, содержащий `25%` серебра. Какое наименьшее и наибольшее процентное содержание олова может быть в этом новом сплаве?

Решение

Пусть `m_1`,  `m_2`,  `m_3` - массы первого, второго и третьего сплавов соответственно. Так как содержание серебра в новом сплаве равно `25%`, получаем `(0,2m_2+0,4m_3)/(m_1+m_2+m_3)=1/4`, откуда `m_3=(5m_1+m_2)/3`.  

Содержание олова в сплаве `alpha` равно

`alpha=(0,7m_1+0,45m_2+0,6m_3)/(m_1+m_2+m_3)=(5,1m_1+1,95m_2)/(8m_1+4m_2)`.

Если `m_1=0`, то  `alpha=(1,95)/4=39/80`.

Если `m_1!=0`, то `alpha=(5,1+1,95m_2/m_1)/(8+4m_2/m_1)`.   

Пусть `m_2/m_1=t`, где `t>=0`. Тогда

`alpha(t)=(5,1+1,95t)/(8+4t)=((102+39t)/(160+80t)-39/80)+39/80=`

`=(102+39t-39(2+t))/(80(2+t))+39/80=24/(80(2+t))+39/80=3/(10(2+t))+39/80`.

При  `t>=0`  первая  дробь  принимает  значения  из промежутка `(0;3/20]`. Значит, в этом случае `alphain(39/80;51/80]`, следовательно, `alpha_max=3/20+39/80=51/80`, `alpha_min=39/80` (было получено выше при  `m_1=0`).

Ответ

`39/80` и `51/80`.

Пример 23

Малое предприятие выпускает изделия двух типов. Для изготовления изделия первого типа требуется `5` часов работы станка А и `7` часов работы станка Б. Для изготовления изделия второго типа требуется `9` часов работы станка А и `3` часа работы станка Б (станки могут работать в любой последовательности). По техническим причинам станок А может работать не более `162` часов в месяц, а станок Б – не более `136` часов в месяц. Каждое изделие первого типа приносит предприятию `9000` д. е. [денежных едениц] прибыли, а каждое изделие второго типа – `6000` д. е. прибыли. Найдите наибольшую возможную ежемесячную прибыль предприятия и определите, сколько изделий первого типа и сколько изделий второго типа следует выпускать для получения этой прибыли.

Решение

Пусть произведено `x` изделий первого типа и `y` изделий второго типа. Тогда на это потребовалось `(5x+9y)` часов работы станка А и `(7x+3y)` часов работы станка Б; прибыль при этом равна `(9x+6y)` тыс. д. е. Из условия получаем ограничения

5x+9y162,7x+3y136.\left\{\begin{array}{l}5x+9y\leq162,\\7x+3y\leq136.\end{array}\right.

Множество точек, удовлетворяющих этой системе и условиям `x>=0`, `y>=0`, изображено на рис. 1 (это четырёхугольник `ABCO`).

Прямые вида `9x+6y=c` имеют угловой коэффициент `k=-3/2`; это значение находится между угловыми коэффициентами прямых `AB` и `BC` (`-5/9` и `-7/3` соответственно), поэтому наибольшее значение числа `c` на данном множестве принимается, когда прямая `9x+6y=c` проходит через точку `B`. К сожалению, координаты точки `B` не целые  `(x=123/8,  y=227/24)`.

Если в качестве `x` и `y` выберем целые части от координат точки `B` (т. е. `x=15`, `y=9`), то получим прибыль `9*15+6*9=189` тыс. д. е.

Если мы увеличим `x`, то по рисунку видно, что становится существенным ограничение, задаваемое неравенством `7x+3y<=136` (т. к. справа от точки `B` именно прямая `BC` ограничивает сверху наше множество).

Значит,  `y<=(136-7x)/3`.

Если `x=16`, то `y<=24/3=8`, т. е. можем взять `y=8`, тогда прибыль равна `9*16+6*8=192` тыс. д. е.

Посмотрим, возможно ли хоть в какой-нибудь точке области получить прибыль больше, чем в точке `M(16;8)`.  Для этого через точку `M(16;8)` проведём прямую вида `9x+6y=c` (т. к. прямая должна проходить через точку `M`, `c=9*16+6*8=192`,  т. е. её уравнение имеет вид `9x+6y=192`). Пусть она пересекает прямую `AB` в точке `P` (рис. 1). Прибыль, бо́льшая чем в точке `M` может получиться только в точках, расположенных внутри треугольника  `BMP`.

Координаты точки `P` - это `x=252/17`, `y=166/17` (находим их, решив соответствующую систему уравнений). Таким образом, в треугольник `BMP` попадают только два целых значения `x:x=15` и `x=16`. Значение `x=16` мы уже рассмотрели. Если `x=15`, то наибольшее возможное значение `y` определяется из неравенства `5*15+9y<=162`, откуда `y<=29/3`, т. е. `y=9` (заметим, что точку `x=15`, `y=9`  мы уже рассмотрели ранее, и максимум прибыли в ней не достигается).

Итак, максимальная прибыль достигается при производстве `16` изделий первого типа и `8` изделий второго типа и она равна `192000` д. е.

Ответ

`192000` д. е.; `16` изделий первого типа, `8` изделий второго типа.


[1] Как правило, эта величина называется «процентной ставкой по вкладам».

[2] Величина у. е. — так называемые «условные единицы» – заменяет собой наименование валюты, в которой денежные средства хранятся в банке. Такой валютой могут быть и российские рубли, и американские доллары, и евро, и любая иная валюта, в которой оформляется вклад. В данных расчётах подразумевается, что вклады оформлены в одной и той же валюте, в одних и тех же у. е.

[3] Под процентом годовых подразумевается процентная ставка, на которую за год увеличивается вклад – если в банк был положен вклад в размере `1000` рублей под `12%` годовых, то по истечении календарного года сумма вклада увеличится на сумму начисленных за год (годовых) процентов и составит `1000+1000*12%=1120` рублей.

[4] Сокращение «ООО» расшифровывается как «Общество с ограниченной ответственностью».

[5] Это так называемая схема с дифференцированными платежами: каждый последующий платёж выходит меньше предыдущего, поскольку необходимо выплатить некоторую фиксированную часть долга плюс проценты, начисленные на оставшуюся сумму.

[6] Строго говоря, слово «транш» означает некоторую долю (часть) кредита, передаваемую заёмщику одноразово, в виде одной порции — когда кредит выдаётся не единовременно, а в течение какого-то периода. Это бывает часто довольно удобно для бизнеса, состоящего из различных производственных процессов, поскольку уменьшает сумму начисляемых процентов. Однако траншем часто называют и обратный процесс — долю (часть, порцию) платежа в погашение долга.

[7] Уставный капитал состоит из вкладов (долей) участников общества. Доли выражаются как в номинальной величине (в рублях), так и в процентах относительно величины уставного капитала.

[8] Слово «депозит» обозначает денежные средства, переданные на хранение банку и подлежащие возврату в определенный срок при определенных условиях. Банк выплачивает вкладчику, разместившему средства на депозит, проценты за использование его средств согласно процентной ставке, установленной договором между банком и вкладчиком.