Физика 11 класс 11-Ф-6

§6. Ядерная физика

Протонно-нейтронное строение атомных ядер. Изотопы.

По современным представлениям ядра атомов состоят из положительно заряженных протонов и электрически нейтральных нейтронов, массы каждого из которых примерно равны друг другу и значительно превосходят массу электрона (в 1836  и  1839  раз  соответственно). Ввиду близости масс протона и нейтрона, `m_p~~m_n~~1,67*10^(-27)` кг, их объединяют общим названием «нуклон» (от английского слова nuclei – ядро). Соотношение между числом протонов `Z` и числом `(A-Z)` нейтронов в ядре XZA{}_Z^AX, где `A` – общее число нуклонов в ядре (массовое число) данного химического элемента `X`, может варьироваться в некоторых (не слишком широких) пределах.

Атомы, ядра которых содержат одинаковое число протонов (а потому и одинаковое число электронов), но разное число нейтронов, называют изотопами химического элемента. Например, ядра изотопов углерода C612{}_6^{12}\mathrm C и C614{}_6^{14}\mathrm C содержат одинаковое число протонов `Z=6`, но разное число нейтронов: `12-6=6` и `14-6=8` соответственно. Ядра C612{}_6^{12}\mathrm C стабильны, ядра C614{}_6^{14}\mathrm C нестабильны (радиоактивны). Другой пример: известны `3` изотопа водорода – H1{}^1\mathrm H, H2=D{}^2\mathrm H=\mathrm D (дейтерий, его ядро называется дейтроном)  и H3=T{}^3\mathrm H=\mathrm T (тритий, его ядро называется тритоном). Дейтрон состоит из протона и нейтрона, тритон – из протона и двух нейтронов. Первые два изотопа водорода стабильны, 3-й нестабилен. Конкретные ядра атомов веществ называют нуклидами; ядра радиоактивных изотопов – радионуклидами.

Размеры ядер

Радиус атомного ядра  с массовым числом `A` можно оценить по формуле `R=1,3A^(1//3)*10^(-15)` м. Между протонами в ядре существует сильное электростатическое отталкивание. Удерживают их вместе в малом объёме ядра так называемые ядерные силы.

Превращения ядер

Кроме довольно многочисленных стабильных ядер, в природе существует большое число (а ещё больше получено искусственно) нестабильных ядер, которые самопроизвольно превращаются в другие ядра (говорят: распадаются).

`alpha`-распад ядер. При `alpha`-распаде исходное материнское ядро испускает ядро гелия He4{}^4\mathrm{He} (`alpha`-частицу) и превращается в дочернее ядро, числа протонов и нейтронов у которого уменьшаются на две единицы каждое. Спонтанному (без внешнего воздействия) `alpha`-распаду подвержены тяжёлые ядра с `Z >83` и небольшая группа редкоземельных элементов в области `A=140-160`.

`beta`-распад ядер – процесс самопроизвольного превращения ядра в ядро с тем же значением `A`, но с изменением `Z` на `DeltaZ=+-1` за счёт испускания электрона (или позитрона – частицы, отличающейся от электрона лишь знаком электрического заряда) или захвата электрона с атомной оболочки.

Деление ядер характерно только для самых тяжёлых ядер, начиная от тория `(Z=90)` и далее в сторону больших `Z`. Впервые деление ядер наблюдали и дали правильную трактовку эксперименту Ган и Штрассман (1938). Опыты были проведены с ядрами урана `(Z=92)`, которые бомбардировались медленными нейтронами. В результате образовывалась пара ядер с примерно равными массами, а в качестве «мелких брызг» вылетали два-три нейтрона. Последние имеют достаточно большие энергии и чаще всего не вызывают деления соседних ядер урана (подчеркнём: лучше всего деление урана происходит под действием медленных, а не быстрых нейтронов). Однако, если эти «два-три нейтрона» замедлить, они уже легко вызывают деление других ядер. Так возникает цепная реакция деления.

Термоядерный синтез лёгких элементов.  При высоких температурах (порядка `10^7` K) возможны реакции слияния легких ядер с образованием более тяжёлых ядер. Высокие температуры необходимы, потому что все ядра заряжены положительно, и для сближения ядер требуется преодолевать силы электростатического отталкивания ядер друг от друга. В термоядерных реакциях происходит значительное выделение энергии, с избытком компенсируя её начальные затраты (получение высоких температур).

Энергия связи

По определению энергией связи `E_"св"` называют минимальную энергию, которую нужно сообщить ядру, чтобы полностью расщепить его на составляющие это ядро `Z` протонов и `N=A-Z` нейтронов. Она равна разности

`E_"св"(Z,A)=(Zm_p+Nm_n-M_"ядра"(Z,A))c^2`

Закон радиоактивного распада.

Ядра радиоактивных изотопов элементов самопроизвольно распадаются с превращением в ядра изотопов других элементов. (Например, ядра изотопа углерода C614{}_6^{14}\mathrm C в результате `beta`-распада превращаются в ядра изотопа азота N714{}_7^{14}\mathrm N.) Первые из них называют материнскими (или родительскими) ядрами, а ядра вторых – дочерними. 

В результате самопроизвольных распадов радиоизотопа число `N(t)` его ещё не распавшихся ядер с течением времени непрерывно уменьшается. Изменение числа не распавшихся ядер за малое время `dt` пропорционально числу этих не распавшихся ядер

                       `dN=-lambdaNdt`,                                                                          (6.1)

где `lambda` – постоянная распада размерности `1`/с. Решая уравнение (6.1), находим зависимость числа не распавшихся ядер от времени:

                         `N(t)=N_0e^(-lambdat)`,                                                                  (6.2)

где `N_0` – число ядер в начальный момент времени `t=0`. Если значения `N_0` и `lambda` известны, то по измеренному значению `N(t)` можно найти время, в течение которого происходил распад:

                     `t=1/lambda ln(N_0/(N(t)))`.                                                                (6.3)

На этом основан метод определения «возраста» пород в геологии и «возраста», например, артефактов (продуктов деятельности человека) в археологии. Использование этого метода предполагает, что ни материнские, ни дочерние ядра не исчезают и не появляются иначе как в результате самого радиоактивного процесса.

Величину `tau=1/lambda` называют средним временем жизни радиоактивного ядра. Удобной характеристикой радиоактивного распада является период полураспада. Так называют время `T` (в литературе чаще используется более громоздкое обозначение `T_(1//2)`), в течение которого количество не распавшихся ядер уменьшается вдвое:  `N(T)=N_0//2`, т. е. `N_0e^(-lambdat)=N_0//2`, откуда, логарифмируя, получаем соотношение между константой распада и периодом полураспада

             `T=(ln2)/lambda~~(0,693)/lambda`.                                                       (6.4)

Пользуясь понятием периода полураспада, закон радиоактивного распада можно представить в виде

     `N(t)=N_0*2^(-t//T)`.                                                        (6.2')

Активностью радиоизотопа называют величину

                `A=-dN//dt`,                                                                  (6.5)

определяющую интенсивность распадов (число распадов в единицу времени). С учётом (6.1) и (6.2) находим

`A=lambdaN=lambdaN_0e^(-lambdat)=A_0e^(-lambdat)`,                                        (6.6)

т. е., не только число не распавшихся ядер, но и их активность экспоненциально убывает со временем, где

                                               `A_0=lambdaN_0`                                                                            (6.7)

`A_0` – активность в начальный момент времени  `t=0`.

Для определения времени `t` в методах датирования кроме формулы (6.3) может быть использована формула

                              `t=1/lambda ln(A_0/(A(t)))`,                                                         (6.8)

при этом экспериментально измеряются активности `A_0` и `A(t)`. Последнее время отдают предпочтение прямому измерению `N(t)` и формуле (6.3) (как методу более точному и требующему меньших затрат времени).

Пример 6.1

В цепочке радиоактивных превращений после `5` бета-распадов и нескольких альфа-распадов ядро тяжёлого элемента превращается в ядро устойчивого атома, порядковый номер которого на `13` меньше первоначального. На сколько меньше первоначального становится массовое число ядра?

Решение

Пусть `N_alpha` и `N_beta` – числа `alpha`- и `beta`- распадов в цепочке. Тогда изменение зарядового числа ядра (порядкового номера элемента) `DeltaZ=-2N_alpha+N_beta=-2N_alpha+5=-13`, откуда находим `N_alpha=9`. Изменение массового числа `DeltaA=-4N_alpha=-36`.

Пример 6.2

Период полураспада радиоактивного изотопа йода I53131{}_{53}^{131}\mathrm I составляет `T=8` суток. За какое время `t` число ядер этого изотопа уменьшится в `100` раз?

Решение

По формуле (6.2')  `2^(-t//T)=1//100`, откуда `t=T log_2 100~~53` сут.

Пример 6.3

При прохождении потока нейтронов через пластинку свинца толщиной `d_1=1`мм количество частиц уменьшилось на `eta=15%`. Найти долю `delta` нейтронов, проходящих через пластинку свинца толщиной `d_2=10` мм.

Решение

Доля частиц, прошедших пластинку `d_1`, составляет `1-eta=0,85`. Если за первой пластинкой поставить точно такую же вторую, то через неё пройдёт `85%` от прошедших первую пластинку, т. е. `(1-eta)^2~~0,72` `(72%)` от начального числа нейтронов. Если поставить одну за другой `10` пластинок `d_1` `(d_2=10d_1)`, то через них пройдёт `(1-eta)^(10)=(0,85)^(10)~~0,20` `(20%)` от числа частиц в исходном потоке.

Пример 6.4

Мощность реактора постоянна и равна `P=1` МВт. За какое время первоначальная масса `m_0=10` кг урана U92235{}_{92}^{235}\mathrm U уменьшится на `2%`? В одном акте деления высвобождается энергия `W~~190` МэВ. Постоянная Авогадро `N_A~~6*10^(23)  "моль"^(-1)`,  `1` эВ `=1,6*10^(-19)` Дж.

Решение

Энергия, полученная в реакторе за время `t`, равная `P*t`, может быть выражена через энергию, высвобождаемую в одном акте деления `W` и число `N` распавшихся за это время ядер урана U92235:{}_{92}^{235}\mathrm U: `P*t=W*N`. Последнее число связано с уменьшением на `|Deltam|=0,02m_0` первоначальной массы урана `m_0` и массой одного атома урана `m_1=mu//N_A`, где `mu=235*10^(-3)` кг/моль – молярная масса урана `-235`,  `N_A=6,02*10^(23)` `1`/моль - число Авогадро: `N=(|Deltam|)/m_1~~5,12*10^(23)`. В итоге

`t=(W*N)/P=(5,12*10^(23)*190*10^6*1,6*10^(-19))/(10^6)=1,56*10^7  "c"~~180`суток`~~0,5`года.

Пример 6.5

Сколько энергии выделяется в реакции H12+H13=He24+n01{}_1^2\mathrm H+{}_1^3\mathrm H={}_2^4\mathrm{He}+{}_0^1\mathrm n? Массы частиц равны: дейтерия `= 2,01410` а.е.м., трития `=3,01605` а.е.м., гелия-`4` `=4,00260` а.е.м., нейтрона `1,00866` а.е.м., `1` а.е.м.`*c^2=931,50` МэВ.

Решение

Выделившаяся энергия равна

`E=(2,01410+3,01605-4,00260-1,00866)*931,50` МэВ `=17,6` МэВ.

Пример 6.6

Термоядерная реакция H12+H13=He24+n01{}_1^2\mathrm H+{}_1^3\mathrm H={}_2^4\mathrm{He}+{}_0^1\mathrm n идёт с выделением энергии `Q=17,6` МэВ.  Найти распределение энергии между продуктами реакции. Кинетическими энергиями дейтерия и трития до реакции пренебречь (по сравнению с выделившейся энергией). Считать, что масса протона примерно равна массе нейтрона `m_n~~m_p`,  а масса ядра гелия `M~~4m_"p"`.

Решение

Выделившаяся энергия порядка `10^7` эВ значительно меньше энергии покоя частиц (последняя порядка `m_"p"c^2~~10^9` эВ, т. е. на `2` порядка больше). Это позволяет вести рассмотрение в рамках нерелятивистской механики Ньютона.

Запишем для реакции  закон сохранения импульса в системе отсчёта, в которой до реакции суммарный импульс равнялся нулю, `0=4m u+m upsilon` (*) и выражение для кинетической энергии продуктов распада `(4m u^2)/2+(m upsilon^2)/2=Q` (**). Решая систему уравнений (*) и (**), находим `(4m u^2)/2=1/5 Q~~3,5` МэВ и `(m upsilon^2)/2=4/5 Q~~14,1` МэВ, т. е. `80%` энергии уносится более лёгкой частицей.