Математика 10 класс 10-М-5

III. Приложение тригонометрии к решению геометрических задач. Задачи с использованием производной

Пример 32

В ромбе `ABCD` из вершины `B` на сторону `AD` опущен перпендикуляр `BE`. Найти углы ромба, если `2sqrt3CE=sqrt7AC`.

Решение

Обозначим  сторону  ромба  через `a`,  угол `DAB` через `2alpha`.

Тогда  `AC=2*AO=2acosalpha`,

`CE^2=BE^2+BC^2=a^2sin^2 2a+a^2` (рис. 4).

Возводя равенство из условия задачи в квадрат, получим:

`12CE^2=7AC^2`  или 

`12a^2(sin^2 2a+1)=7*4a^2cos^2alpha`.

Осталось решить тригонометрическое уравнение

`3(sin^2 2alpha+1)=7cos^2alpha`.

Заменяя  в  нём

`sin^2 2alpha=4sin^2 alphacos^2alpha=4(1-cos^2alpha)cos^2alpha`,

получим уравнение

`12cos^2alpha-12cos^4alpha+3=7cos^2alpha` или `12cos^4alpha-5cos^2alpha-3=0`.   

Пусть  `t=cos^2alpha>=0`. Тогда  `12t^2-5t-3=0`. 

Его корни  `t=-1/3` (не подходит) и `t=3/4`.

Значит, `cosalpha=(sqrt3)/2(0<2alpha<pi,0<alpha<pi/2,cosalpha>0)`.

Итак,  `alpha=pi/6`. Отсюда `/_DAB=pi/3`,  `/_ABC=(2pi)/3`.


Ответ

`pi/3`  и  `(2pi)/3`.

Пример 33

Какая наименьшая площадь может быть у прямоугольного треугольника `ABC`, в котором окружность радиуса `R` с центром на катете `AB` касается гипотенузы `AC` и проходит через точку `B`?

Решение

Обозначим через `O` центр окружности (см. рис. 5)

Так как окружность касается сторон угла `BCA`, то `CO` – биссектриса  `/_BCA`. Пусть `/_BCA=2alpha`. 

Тогда `BC=R*"ctg"alpha` и `AB=BC*"tg"2alpha`,  т. е.

`AB=R/("tg"alpha)*(2"tg"alpha)/(1-"tg"^2alpha)=(2r)/(1-"tg"^2alpha)`.

Отсюда площадь  `DeltaABC:   S=1/2AB*BC=`


`=1/2*(2R)/(1-"tg"^2alpha)*R/("tg"alpha)=R^2/("tg"alpha-"tg"^3alpha)`.

Обозначим:  `"tg"alpha=t`, `0<t<1`, т. к. `0<2alpha<pi/2` и `0<alpha<pi/4`.

Нам надо найти `min_(0<t<1) S(t)`. Для этого вычислим производную функции `y=S(t)`. Имеем: 

`y^'=S^'(t)=R^2(1/(t-t^3))^'=R^2(-1/((t-t^3)^2))*(t-t^3)^'=`

`=-R^2/((t-t^3)^2)*(1-3t^2)`.

Здесь мы использовали формулу производной сложной функции:

`(f(g(t)))^'=f_g^'(g(t))*g^'(t)`.

Этот же результат получится, если применить формулу производной отношения функций: `((f(t))/(g(t)))^'=(f^'(t)g(t)-f(t)g^'(t))/(g^2(t))`.

Итак: `y^'=S^'(t)=(R^2)/((t-t^3)^2)(3t^2-1)`.

Исследуем знак этой производной при `0<t<1` (рис. 6)


При `t_0=1/(sqrt3)` производная `y^'(t_0)=0`;

при `1/(sqrt3)<t<1` будет  `y^'(t)>0`;

при `0<t<1/(sqrt3)` производная `y^'(t)<0`.

Значит, функция `y=S(t)` убывает при `0<t<1/(sqrt3)` и возрастает при `1/(sqrt3)<t<1`.

Отсюда следует, что `min_(0<t<1)`  `S(t)=S(1/(sqrt3))=R^2/(1/(sqrt3)-1/(3sqrt3))=(3sqrt3R^2)/2`.


Ответ

`(3sqrt3R^2)/2`.



Пример 34

Найти все значения `a`, при которых уравнение  `cosx=(6a-2)^2` имеет корни, а числа  `(1-6a)/(32a^3)` являются целыми.

Решение

Уравнение `cosx=(6a-2)^2` имеет корни, если `(6a-2)^2<=1` или `|6a-2|<=1`, т. е. `-1<=6a-2<=1`. Откуда `1/6<=a<=1/2`.

Рассмотрим функцию `y=(1-6a)/(32a^3)`. Построим её график на отрезке `[1/6;1/2]`. Для этого вычислим производную

`y^'=1/32((1-6a)/(a^3))=1/32*(-6*a^3-(1-6a)*3a^2)/a^6=`

`=3/32*(-2a-1+6a)/a^4=3/32*(4a-1)/a^4`  

(мы воспользовались формулой для производной отношения функций). Производная  `y^'(a)` обращается в нуль в точке `a=1/4`, `y^'(a)>0` при `a>1/4` и `y^'(a)<0` при `a<1/4 (a!=0)`. В соответствии с этим график функции `y=y(a)` на отрезке `[1/6;1/2]` изображён на рис. 7.


Имеем: `y(1/6)=0` и других нулей, кроме `a=1/6` у функции `y=(1-6a)/(32a^3)` нет; функция убывает на отрезке `[1/6;1/4]` и возрастает на отрезке `[1/4;1/2]`;

`y(1/4)=(1-6*1/4)/(32*1/(4^3))=(4-6)/(32*1/(4^2))=(-2)/2=-1` – это минимальное значение функции на `[1/6;1/2]`.

Множество значений функции `y=y(a)` на отрезке `[1/6;1/2]` – отрезок `[-1;0]`. Целых чисел на нём только два: `0` и `-1`. Они принимаются функцией `y=y(a)` в точках  `a=1/6` и `a=1/4`.


Ответ

`a=1/6` и `a=1/4`.