Математика 11 класс 11-М-5

§4. Графические методы решения задач с параметрами

Пример 25

Для каждого значения параметра aa решите неравенство |2x+a|x+2|2x+a| \leq x+2.

Решение

Сначала решим вспомогательную задачу. Рассмотрим данное неравенство как неравенство с двумя переменными xx и aa и изобразим на координатной плоскости xOaxOa все точки, координаты которых удовлетворяют неравенству. 

Если 2x+a02x+a \geq 0 (т. е. на прямой a=-2xa=-2x и выше), то получаем 2x+ax+2a2-x2x+a \leq x+2 \Leftrightarrow a \leq 2-x.

Если $$2x+a < 0$$ (т. е. ниже прямой a=-2xa=-2x), то получаем  -2x-ax+2a-2-3x-2x-a \leq x+2 \Leftrightarrow a \geq -2 -3x.

Множество изображено на рис. 11.

Теперь решим с помощью этого чертежа исходную задачу. Если мы фиксируем aa, то получаем горизонтальную прямую a=consta = \textrm{const}. Чтобы определить значения xx,надо найти абсциссы точек пересечения этой прямой с множеством решения неравенства. Например, если a=8a=8, то неравенство не имеет решений (прямая не пересекает множество); если a=1a=1, то решениями являются все xx из отрезка [-1;1][-1;1] и т. д. Итак, возможны три варианта.

1) Если $$a>4$$, то решений нет.

2) Если a=4a=4, то x=-2x=-2.

3) Если $$a<4$$, то решением неравенства является отрезок, причём левый конец отрезка лежит на прямой a=3x-2a=3x-2, а правый – на прямой a=2-xa = 2-x, т.е. x[-a+23;2-a]x \in [-\dfrac{a+2}{3}; 2-a].

ОТВЕТ

при $$a<4$$ - x[-a+23;2-a]\: x \in [-\dfrac{a+2}{3}; 2-a];

при a=4a=4 - x=-2x=-2;

при $$a>4$$ - решений нет.

Пример 26

Найдите все значения параметра aa, при которых неравенство $$3-|x-a| > x^2$$ а) имеет хотя бы одно решение; б) имеет хотя бы одно положительное решение.

Решение

Перепишем неравенство в виде $$3-x^2 > |x-a}$$. Построим графики левой и правой частей на плоскости xOyxOy. График левой части – это парабола с ветвями вниз с вершиной в точке (0;3)(0;3). График пересекает ось абсцисс в точках (±3;0)(\pm \sqrt{3};0). График правой части – это угол с вершиной на оси абсцисс, стороны которого направлены вверх под углом 45°45^{\circ} к осям координат. Абсцисса вершины – точка x=ax=a

а) Для того, чтобы неравенство имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы в одной точке парабола оказалась выше графика y=|x-a|y=|x-a|. Это выполнено, если вершина уголка лежит между точками AA и BB оси абсцисс (см. рис. 12 – точки AA и BB не включаются). Таким образом, надо определить, при каком положении вершины одна из ветвей уголка касается параболы.

Рассмотрим случай, когда вершина уголка находится в точке AA. Тогда правая ветвь уголка касается параболы. Её угловой коэффициент равен единице. Значит, производная функции y=3-x2y = 3-x^2 в точке касания равна 11, т. е. -2x=1-2x=1, откуда x=-12x = -\frac{1}{2}. Тогда ордината точки касания равна y=3-(12)2=114y = 3 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{11}{4}. Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k=1k=1 и проходящей через точку с координатами (-12; 114)(-\frac{1}{2}; \frac{11}{4}), следующее*{\!}^*: y- 114=1·(x+ 12)y - \frac{11}{4} = 1 \cdot (x+ \frac{1}{2}), откуда y=x+134y = x + \frac{13}{4}

Это уравнение правой ветви уголка. Абсцисса точки пересечения с осью xx равна -134-\frac{13}{4}, т. е. точка AA имеет координаты A(-134;0)A(-\frac{13}{4}; 0). Из соображений симметрии точка BB, имеет координаты: B(134;0)B(\frac{13}{4}; 0)

Отсюда получаем, что a(-134; 134)a\in (-\frac{13}{4}; \frac{13}{4}).

б) Неравенство имеет положительные решения, если вершина уголка находится между точками FF и BB (см. рис. 13). Найти положение точки FF несложно: если вершина уголка находится в точке FF, то его правая ветвь (прямая, задаваемая уравнением y=x-ay = x-a проходит через точку (0;3)(0;3). Отсюда находим, что a=-3a=-3 и точка FF имеет координаты (-3;0)(-3;0). Следовательно, a(-3; 134)a \in (-3; \frac{13}{4}).

ОТВЕТ

а) a(-134; 134),a\in (-\frac{13}{4}; \frac{13}{4}),\:\:\: б) a(-3; 134)a \in (-3; \frac{13}{4}).

*{\!}^* Полезные формулы:

­-\-- прямая, проходящая через точку(x0;y0)(x_0;y_0) и имеющая угловой коэффициент  kk, задаётся уравнением y-y0=k(x-x0)y-y_0=k(x-x_0);

­-\--  угловой коэффициент прямой, проходящей через точки (x0;y0)(x_0;y_0) и (x1;y1)(x_1;y_1), где x0x1x_0 \neq x_1, вычисляется по формуле k=y1-y0x1-x0k = \dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}.

Замечание. Если надо найти значение параметра, при котором касаются прямая y=kx+ly=kx+l и парабола y=ax2+bx+cy = ax^2+bx+c, то можно записать условие, что уравнение kx+l=ax2+bx+ckx+l = ax^2+bx+c имеет ровно одно решение.Тогда другой способ найти значения параметра  aa , при котором вершина уголка находится в точке АА, следующий: уравнение x-a=3-x2x-a = 3-x^2 имеет ровно одно решение D=1+4(a+3)=0a=-134 \Leftrightarrow D = 1 + 4(a+3) = 0 \Leftrightarrow a = -\dfrac{13}{4}

Обратите внимание, что таким образом нельзя записать условие касания прямой с произвольным графиком. Например, прямая y=3x -2y = 3x  - 2 касается кубической параболы y=x3y=x^3 в точке (1;1)(1;1) и пересекает её в точке (-2;-8)(-2;-8), т. е. уравнение x3=3x+2x^3 = 3x+2 имеет два решения.

Пример 27

Найдите все значения параметра aa, при каждом из которых уравнение (a+1-|x+2|)(x2+4x+1-a)=0(a+1-|x+2|)(x^2+4x+1-a) = 0 имеет а) ровно два различных корня; б) ровно три различных корня.

Решение

Поступим так же, как и в примере 25. Изобразим множество решений этого уравнения на плоскости xOaxOa. Оно равносильно совокупности двух уравнений:

1) a=|x+2|-1 a = |x+2| -1 - это угол с ветвями вверх и вершиной в точке (-2;-1)(-2;-1).

2) a=x2+4x+1 a = x^2 + 4x + 1 - это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке (-2;-3)(-2;-3). См. рис. 14.

Находим точки пересечения двух графиков. Правая ветвь угла задаётся уравнением y=x+1y=x+1. Решая уравнение 

x+1=x2+4x+1x+1 = x^2+4x+1

находим, что x=0x=0 или x=-3x=-3. Подходит только значение x=0x=0 (т. к. для правой ветви x+20x+2 \geq 0). Тогда a=1a=1. Аналогично находим координаты второй точки пересечения - (-4;1)(-4;1).

Возвращаемся к исходной задаче. Уравнение имеет ровно два решения при тех aa, при которых горизонтальная прямая a=consta=\textrm{const} пересекает множество решений уравнения в двух точках. По графику видим, что это выполняется при a(-3;-1){1}a\in (-3;-1)\bigcup\{1\}. Ровно три решения будут в случае трёх точек пересечения, что возможно только при a=-1a=-1

ОТВЕТ 

а) a(-3;-1){1};a\in (-3;-1)\bigcup\{1\};\:\:\: б) a=-1a=-1.

Пример 28

Найдите все значения параметра aa, при каждом из которых система

$$\begin{cases} x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \end{cases} $$

имеет ровно одно решение.

Решение

Изобразим решения системы неравенств на плоскости xOaxOa. Перепишем систему в виде $$ \begin{cases} a \leq -x^2+x,\\ a \geq \dfrac{x^2+6x}{6} .\end{cases} $$

Первому неравенству удовлетворяют точки, лежащие на параболе a=-x2+xa = -x^2+x и ниже неё, а второму – точки, лежащие на параболе a= x2+6x6a = \dfrac{x^2+6x}{6}  и выше неё. Находим координаты вершин парабол и точек их пересечения, а затем строим график. Вершина первой параболы – (12;14)(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}), второй параболы –(-1;-16)(-1; -\dfrac{1}{6}), точки пересечения – (0;0)(0;0) и (47;1249)(\dfrac{4}{7}; \dfrac{12}{49}). Множество точек, удовлетворяющих системе, изображено на рис. 15. Видно, что горизонтальная прямая a=consta=\textrm{const} имеет с этим множеством ровно одну общую точку (а значит, система имеет ровно одно решение) в случаях a=0a=0 и a=14a=\dfrac{1}{4}

ОТВЕТ

a=0, a=14a=0,\: a=\dfrac{1}{4}

Пример 29

Найдите наименьшее значение параметра aa, при каждом из которых система

$$\begin{cases} x^2+y^2 + 3a^2 = 2y + 2\sqrt{3}ax,\\ \sqrt{3}|x|-y=4 \end{cases} $$

имеет единственное решение.

Решение

Преобразуем первое уравнение, выделяя полные квадраты:

(x2-23ax+3a2)+(y2-2y+1)=1(x-a3)2+(y-1)2=1.18(x^2- 2\sqrt{3}ax+3a^2)+(y^2-2y+1)=1 \Leftrightarrow (x-a\sqrt{3})^2+(y-1)^2=1. \:\:\:\left(18\right)

В отличие от предыдущих задач здесь лучше изобразить чертёж на плоскости xOyxOy(чертёж в плоскости “переменная – параметр” обычно используется для задач с одной переменной и одним параметром – в результате получается множество на плоскости. В данной задаче мы имеем дело с двумя переменными и параметром. Изобразить множество точек (x;y;a)(x;y;a) в трёхмерном пространстве – это трудная задача; к тому же, такой чертёж вряд ли получится наглядным). Уравнение (18) задаёт окружность с центром (a3;1)(a\sqrt{3};1) радиуса 1. Центр этой окружности в зависимости от значения aa может находиться в любой точке прямой y=1y=1.

Второе уравнение системы y=3|x|-4y = \sqrt{3}|x|-4 задаёт угол со сторонами вверх под углом 60°60^{\circ} к оси абсцисс(угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона tg60°=3\textrm{tg}{60^{\circ}} = \sqrt{3}),  с вершиной в точке (0;-4)(0;-4).

Данная система уравнений имеет ровно одно решение, если окружность касается одной из ветвей уголка. Это возможно в четырёх случаях (рис. 16): центр окружности может находиться в одной из точек AA, BB, CC, DD. Поскольку нам надо найти наименьшее значение параметра aa, нас интересует абсцисса точки DD. Рассмотрим прямоугольный треугольник DHMDHM. Расстояние от точки DD до прямой HMHM равно радиусу окружности, поэтому DH=1DH=1. Значит, DM=DHsin60°=23DM=\dfrac{DH}{\textrm{sin}{60^{\circ}}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}. Координаты точки MM находятся как координаты точки пересечения двух прямых y=1y=1 и y=-3x-4y=-\sqrt{3}x-4 (левая сторона угла).

Получаем M(-53)M(-\dfrac{5}{\sqrt{3}}). Тогда абсцисса точки DD равна -53-23=-73-\dfrac{5}{\sqrt{3}}-\dfrac{2}{\sqrt{3}}=-\dfrac{7}{\sqrt{3}}.

Поскольку абсцисса центра окружности равна a3a\sqrt{3}, отсюда следует, что a=-73a=-\dfrac{7}{3}

ОТВЕТ

a=-73a=-\dfrac{7}{3}

Пример 30

Найдите все значения параметра aa, при каждом из которых система

$$\begin{cases} |4x+3y| \leq 12a,\\ x^2+y^2 \leq 14ax +6ay -57a^2+16a+64 \end{cases} $$

имеет ровно одно решение.

Решение

Изобразим множества решений каждого из неравенств на плоскости xOyxOy.

Во втором неравенстве выделим полные квадраты:

x2-14ax+49+y2-6ay+9a2a2+16a+64(x-7a)2+(y-3a)2(a+8)2(19)x^2-14ax+49 + y^2-6ay + 9a^2 \leq a^2 + 16a + 64 \Leftrightarrow (x-7a)^2+(y-3a)^2 \leq (a+8)^2 \:\:\:\: (19)

При a+8=0a+8=0 (a=-8a=-8) неравенство (19) задаёт точку с координатами (7a;3a)(7a;3a), т. е. (-56;-24)(-56;-24). При всех остальных значениях aa (19) задаёт круг с центром в точке (7a;3a)(7a;3a) радиуса |a+8||a+8|

Рассмотрим первое неравенство.
1) При отрицательных aa оно не имеет решений. Значит, не имеет решений и система.

2) Если a=0a=0, то получаем прямую 4x+3y=04x+3y=0. Из второго неравенства при этом получается круг с центром (0;0)(0; 0) радиуса 8. Очевидно, выходит более одного решения.

3) Если $$a>0$$, то данное неравенство равносильно двойному неравенству -12a4x+3y12a-12a \leq 4x+3y \leq 12a. Оно задаёт полосу между двумя прямыми y=±4a-4x3y=\pm 4a -\dfrac{4x}{3}, каждая из которых параллельна прямой 4x+3y=04x+3y=0 (рис. 17).

Поскольку мы рассматриваем $$a>0$$, центр круга расположен в первой четверти на прямой y=3x7y = \dfrac{3x}{7}. Действительно, координаты центра – это x=7ax=7a, y=3ay=3a; выражая aa и приравнивая, получаем x7=y3\dfrac{x}{7}=\dfrac{y}{3}, откуда y=3x7y = \dfrac{3x}{7}. Для того, чтобы система имела ровно одно решение, необходимо и достаточно, чтобы круг касался прямой a2a_2. Это происходит, когда радиус окружности равен расстоянию от центра окружности до прямой a2a_2. По формуле расстояния от точки до прямой*{\!}^{*} получаем, что расстояние от точки (7a;3a)(7a;3a) до прямой 4x+3y-12a=04x+3y-12a=0 равно |4·7a+3·3a-12a|42+32=5a\dfrac{|4\cdot 7a + 3\cdot 3a -12a|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 5\left|a\right|. Приравнивая к радиусу круга, получаем 5a=|a+8|5{a} = |a+8|. Так как $$a>0$$, опускаем модули и находим, что a=2a=2.

ОТВЕТ

a=2a=2

*{\!}^{*} Пусть даны точка M(x0;y0)M (x_0;y_0) и прямая ll, заданная уравнением ax+by+c=0ax+by+c=0. Тогда расстояние от точки MM до прямой ll определяется формулой ρ=|ax0+bx0+c|a2+b2\rho = \dfrac{|ax_0+bx_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.

Пример 31

При каких значениях параметра aa система

$$\begin{cases} |x|+|y|=1,\\ |x+a|+|y+a|=1 \end{cases}$$ не имеет решений?

Решение

Первое уравнение системы задаёт на плоскости xOyxOy квадрат ABCDABCD (чтобы его построить, рассмотрим x0x\geq 0 и y0y\geq 0.  Тогда уравнение принимает вид x+y=1x+y=1.  Получаем отрезок – часть прямой x+y=1x+y=1, лежащую в первой четверти. Далее отражаем этот отрезок относительно оси OxOx, а затем полученное множество отражаем относительно оси OyOy)(см. рис. 18). Второе уравнение задаёт квадрат PQRSPQRS, равный квадрату ABCDABCD, но с центром в точке (-a;-a)(-a;-a). На рис. 18 для примера изображён этот квадрат для a=-2a=-2. Система не имеет решений, если эти два квадрата не пересекаются.

  Несложно видеть, что если отрезки PQPQ и BCBC совпадают, то центр второго квадрата находится в точке (1;1)(1;1). Нам подойдут те значения aa, при которых центр расположен “выше” и “правее”, т. е. $$a<-1$$. Аналогично рассматриваем случай, когда центр квадрата PQRSPQRS находится в третьей четверти. Тогда подходят значения $$a>1$$. 

ОТВЕТ

a(-;-1)(1;+)a\in (-\infty;-1)\bigcup(1;+\infty).

Пример 32

Найдите все значения параметра bb, при которых система

$$\begin{cases} y=|b-x^2|,\\ y=a(x-b) \end{cases} $$

имеет хотя бы одно решение при любом значении aa.

Решение

Рассмотрим несколько случаев.

1) Если $$b<0$$, то выражение под модулем в первом уравнении отрицательно. Раскрывая модуль, получаем y=x2-by=x^2-b. Графиком является парабола с ветвями вверх и вершиной в точке (0;-b)(0;-b), расположенной выше оси абсцисс (так как $$b<0$$). Но во втором уравнении при a=0a=0 получается прямая y=0y=0, не имеющая с параболой никаких общих точек. Значит, система имеет решения не при любых aa, и $$b<0$$ не подходит.

2) Если b=0b=0, то система принимает вид $$\begin{cases} y=x^2,\\ y=ax .\end{cases} $$

При любом aa пара чисел (0;0)(0;0) является решением этой системы, следовательно, b=0b=0 подходит.

3) Зафиксируем некоторое $$b>0$$. Первому уравнению удовлетворяет множество точек, полученное из параболы y=x2-by=x^2-b отражением части этой параболы относительно оси OxOx (см. рис. 19а, б). Второе уравнение задаёт семейство прямых(подставляя различные значения aa, можно получить всевозможные прямые, проходящие через точку (b;0)(b;0), кроме вертикальной), проходящих через точку (b;0)(b;0). Если точка (b;0)(b;0) лежит на отрезке [-b;b][-\sqrt{b};\sqrt{b}]. оси абсцисс, то прямая пересекает график первой функции при любом угловом коэффициенте (рис. 19а). Иначе (рис. 19б) в любом случае найдётся прямая, не пересекающая данный график. Решая неравенство -bbb-\sqrt{b}\leq b \leq \sqrt{b} и учитывая, что $$b>0$$, получаем, что b(0;1]b \in (0;1].

Объединяем результаты: $$b \in [0;1]$$.

ОТВЕТ

$$b \in [0;1]$$

Пример 33

Найдите все значения aa, при каждом из которых функция f(x)=x2-|x-a2|-3xf(x) = x^2-|x-a^2|-3x имеет хотя бы одну точку максимума.

Решение

Раскрывая модуль, получаем, что 

$$f(x) = \begin{cases} x^2-4x+a^2, \:\:\: x\geq a^2 ,\\ x^2-2x-a^2, \:\:\: x\leq a^2 . \end{cases} $$

На каждом из двух промежутков графиком функции y=f(x)y=f(x) является парабола с ветвями вверх.

Поскольку параболы с ветвями вверх не могут иметь точек максимума, единственная возможность заключается в том, что точкой максимума является граничная точка этих промежутков – точка x=a2x=a^2. В этой точке будет максимум, если вершина параболы y=x2-4x+a2y=x^2-4x+a^2 попадёт на промежуток $$x>a^2$$, а вершина параболы y=x2-2x-a2y=x^2-2x-a^2 – на промежуток $$x\lt a^2$$ (см. рис. 20). Это условие задается неравенствами и $$2 \gt a^2$$ и $$1 \lt a^2$$, решая которые, находим что a(-2;1)(1;2)a\in (-\sqrt{2};1)\bigcup(1;\sqrt{2}).


ОТВЕТ

a(-2;1)(1;2)a\in (-\sqrt{2};1)\bigcup(1;\sqrt{2})

Пример 34

Найдите все значения aa, при каждом из которых общие решения неравенств

y+2xay+2x \geq a и y-x2a(20)y-x \geq 2a \:\:\:\:\:\:\:\: (20)

являются решениями неравенства

$$2y-x>a+3 \:\:\:\:\:\:\:\:\: (21)$$

Решение

Чтобы сориентироваться в ситуации, иногда бывает полезным рассмотреть какое-нибудь одно значение параметра. Сделаем чертёж, например, для a=0a=0. Неравенствам (20)(фактически мы имеем дело с системой неравенств (20)) удовлетворяют точки угла BACBAC (см. рис. 21) – точки, каждая из которых лежит выше обеих прямых y=-2xy=-2x и y=xy=x (или на этих прямых). Неравенству (21) удовлетворяют точки, лежащие выше прямой y=12x+32y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}. Видно, что при a=0a=0 условие задачи не выполняется.

Что изменится, если мы возьмём другое значение параметра aa? Каждая из прямых переместится и перейдёт в параллельную самой себе прямую, так как угловые коэффициенты прямых не зависят от aa. Чтобы выполнялось условие задачи, нужно, чтобы весь угол BACBAC лежал выше прямой ll. Так как угловые коэффициенты прямых ABAB и ACAC по модулю больше углового коэффициента прямой ll, необходимо и достаточно, чтобы вершина угла лежала выше прямой ll.

Решая систему уравнений

$$\begin{cases} y+2x=a,\\ y-x=2a, \end{cases}$$

находим координаты точки A(-a3;5a3)A(-\dfrac{a}{3};\dfrac{5a}{3}). Они должны удовлетворять неравенству (21), поэтому $$\dfrac{10a}{3}+\dfrac{a}{3} > a+3$$, откуда $$a>\dfrac{9}{8}$$. 

ОТВЕТ

$$a>\dfrac{9}{8}$$