Математика 11 класс 11-М-5

§3. Аналитические методы решения задач с параметрами

Пример 17

Найдите все значения параметра pp , при каждом из которых уравнение

8sin3x=p+9cos2x8\textrm{sin}^3{x} = p + 9\textrm{cos}{2x} не имеет решений. 

Решение

Перепишем уравнение в виде 

8sin3x=p+9(1-2sin2x), 8sin3x+18sin2x=p+98\textrm{sin}^3{x} = p + 9(1-2\textrm{sin}^2{x}),\:\:\: 8\textrm{sin}^3{x}+18\textrm{sin}^2{x} = p + 9

и найдём множество значений левой части получившегося уравнения. Для этого обозначим sinx=t\textrm{sin}{x} = t и рассмотрим функцию f(t)=8t3+18t2f(t) = 8t^3+18t^2 при t[-1;1]t\in [-1;1]. Её производная равна $$f^'{t} = 24t^2+36t = 12t(2t+3)$$. На отрезке [-1;1] [-1;1] производная обращается в ноль при t=0t=0, положительна при $$t>0$$ и отрицательна при $$t<0$$. Значит, при t[-1;0]t\in [-1;0] функция убывает, а при t[0;1]t \in [0;1]  – возрастает. Наименьшее значение функции f(t)f(t) на отрезке – это f(0)=0f(0)=0. Чтобы определить наибольшее значение, найдём значения f(t)f(t) на концах отрезка: f(-1)=10f(-1)=10, f(1)=26f(1)=26. Значит, наибольшее значение равно 2626, и функция   f(t)  f(t) принимает все значения из отрезка [0;26][0;26].

Следовательно, данное уравнение имеет решения при p+9 [0;26]p+9 \in [0;26], т. е. при p[-9;17]p\in [-9;17], а при всех остальных pp решений нет.

ОТВЕТ

p(-;-9)(17;+)p \in (-\infty; -9)\bigcup(17;+\infty)

Пример 18

Найдите все значения параметра aa, при которых уравнение log3(3x+log3a)=2x\textrm{log}_3{(3^x+\textrm{log}_3{a})} = 2x имеет ровно одно решение.

Решение

Данное уравнение равносильно следующему (условие положительности подлогарифмического выражения можно опустить, так как в новом уравнении выходит, что оно равно 32x3^{2x}, а $$3^{2x}>0$$ при всех xx): 

3x+ log3a=32x,32x-3x-log3a=03^x + \textrm{log}_3{a} = 3^{2x},\:\:\: 3^{2x}-3^x-\textrm{log}_3{a} = 0

Делаем замену 3x=t3^x=t. Получаем уравнение

t2-t-log3a=0(7)t^2-t-\textrm{log}_3{a} = 0 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: (7)

Исходное уравнение имеет ровно одно решение тогда и только тогда, когда уравнение (7) имеет ровно одно положительное решение. Это возможно в двух случаях.

1) Уравнение (7) имеет ровно одно решение и это решение положительно.

Это может быть, если D=1+4log3a=0D = 1+4\textrm{log}_3{a} =0, откуда a=3-14a = 3^{-\frac{1}{4}}. Тогда получаем, что t=12t = \frac{1}{2}, т. е. (7) имеет один положительный корень.

2) Уравнение (7) имеет два корня, один из которых положителен, а другой – нет. В этом случае удобно разобрать два варианта.

а) Одним из корней уравнения является t=0t=0. Подставляя это значение tt в (7), находим, что log3a=0(a=1)\textrm{log}_3{a} =0 \: (a=1). Тогда (7) принимает вид t2-t=0t^2-t=0, т. е. действительно имеет ровно один положительный корень. Значит, a=1a = 1 подходит. 

б) Один из корней положителен, а второй – отрицателен. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство $$-\textrm{log}_3{a}<0$$ (см. §2, свойство 3°3^{\circ}), откуда $$a>1$$.

Объединяя результаты, получаем a{134}[1;+)a \in \{ \dfrac{1}{\sqrt[4]{3} } \}\bigcup[1;+\infty) .

ОТВЕТ

 a{134}[1;+) a \in \{ \dfrac{1}{\sqrt[4]{3} } \}\bigcup[1;+\infty)

Пример 19

Найдите все значения параметра aa, при каждом из которых система 

$$\begin{cases} 3\cdot 2^{|x|} + 5|x| + 4 = 3y + 5x^2 + 3a, \\ x^2+y^2=1 \end{cases} $$

имеет ровно одно решение.

Решение

Заметим, что если пара чисел (x0;y0)(x_0;y_0) является решением этой системы, то пара чисел (-x0;y0)(-x_0;y_0) также является решением(так как при замене x-xx \rightarrow -x оба уравнения системы не изменяются). Поэтому если решение единственно, то оно имеет вид  (0;y0)(0;y_0). Подставляя в систему x=0 x = 0, получаем $$\begin{cases} 3 + 0 + 4 = 3y + 0 + 3a,\\ 0+y^2=1, \end{cases} $$ откуда находим, что a=103a = \dfrac{10}{3} или a=43a = \dfrac{4}{3}. Все остальные значения aa нам не подходят (при них система не имеет решений вида  (0;y0) (0;y_0), поэтому ровно одного решения быть не может).

Проверим(почему надо проверять? Давайте задумаемся, что происходит с системой
при найденных значениях параметра. Мы нашли те значения aa, при которых она имеет решения вида (0;y0)(0;y_0). Но никто не гарантирует нам, что такое решение будет единственным. Могут также присутствовать какие-либо другие решения. Действительно, нет такой теоремы: “если система уравнений имеет решение вида (0;y0)(0;y_0), то других решений быть не может”), подходят ли значения a=103a = \dfrac{10}{3} и a=43a = \dfrac{4}{3}. Для этого подставляем найденные aa в исходную систему.

1) При a= 103a = \dfrac{10}{3} получаем систему $$\begin{cases} 3\cdot 2^{|x|} + 5|x| = 3y + 5x^2 + 6,\\ x^2+y^2=1. \end{cases} $$

Заметим, что пара чисел (1;0)(1; 0) является решением этой системы. Но тогда (-1;0)(-1;0) также является решением. Значит, система имеет более одного решения, поэтому a= 103a = \dfrac{10}{3} не подходит (находить все решения системы не требуется – достаточно выяснить, единственно ли решение).

2) При a=43a = \dfrac{4}{3} получаем $$\begin{cases} 3\cdot 2^{|x|} + 5|x| = 3y + 5x^2,\\ x^2+y^2=1. \end{cases} $$

Из второго уравнения системы следует, что каждая из переменных по модулю не превосходит единицы. Перепишем первое уравнение системы в виде

3·(2|x|-y)=5(x2-|x|)83\cdot (2^{|x|}-y) = 5(x^2-|x|) \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \left(8\right)

Заметим, что при x[-1;1]x \in [-1;1] и y[-1;1]y \in [-1;1] левая часть уравнения (8) неотрицательна, а правая – не положительна. Действительно, 2|x|20=12^{|x|} \geq 2^0 = 1, тогда как y1y \leq 1; кроме того, на промежутке [-1;1][-1;1] выполняется неравенство x2|x|x^2 \leq |x|, Значит, равенство в (8) может достигаться, только если левая и правая части обращаются в ноль, что возможно при x=0,y=1x=0,\: y=1. Заметим, что эта пара чисел также удовлетворяет второму уравнению системы. Таким образом, при a=43a = \dfrac{4}{3} система имеет решение (0;1)(0;1) и это решение единственно.

ОТВЕТ

a=43a = \dfrac{4}{3}

Пример 20

Найдите все значения параметра bb, при каждом из которых уравнение |bx2+3|=|2bx|+3|b||bx^2+3|=|2bx|+3|b| имеет хотя бы одно решение.

Решение

Если b=0b=0,  то уравнение принимает вид 3=03=0, и решений нет. При b0b \neq 0 можно переписать уравнение в виде b·x2+3b=b·2x+3b \left|b\right|\cdot \left|x^2+\dfrac{3}{b}\right| = \left|b\right|\cdot 2\left|x\right| + 3\left|b\right|

Разделив обе части на положительное число |b||b|, получаем уравнение x2+3b=2x+3\left|x^2 + \dfrac{3}{b}\right| = 2\left|x\right| + 3. Поскольку правая часть положительна при всех xx, уравнение равносильно совокупности  

Сделаем замену x=t\left|x\right|=t. Для того, чтобы совокупность (9) имела хотя бы одно решение необходимо и достаточно, чтобы следующая совокупность имела хотя бы одно неотрицательное решение:

Для этого надо, чтобы хотя бы одно из уравнений в (10) имело положительный корень. Иногда задачи такого рода удобно решать «в лоб». Находим корни обоих уравнений: t=1±4-3bt = 1 \pm \sqrt{4-\dfrac{3}{b}} и t=-1±-2-3bt = -1 \pm \sqrt{-2-\dfrac{3}{b}}.

Для того, чтобы хотя бы одно из этих чисел было неотрицательным*{\!}^{*}, необходимо и достаточно, чтобы

Иногда данными утверждениями удобно пользоваться в обратную сторону. Например, требуется определить, при каких xx меньшее из чисел f(x)f(x) и g(x)g(x) больше единицы. Если неизвестно, какое из чисел f(x)f(x) или g(x)g(x) больше, то можно перейти к системе неравенств $$f(x)>1$$, $$g(x)>1$$. 

ОТВЕТ

b(-;0)[34;+)b\in (-\infty; 0)\bigcup[\dfrac{3}{4}; +\infty)

*{\!}^{*} При решении задач с параметром иногда удобно использовать следующие утверждения:

­-\--  хотя бы одно из чисел положительно \Leftrightarrow наибольшее из чисел положительно;

­-\--  все числа положительны \Leftrightarrow наименьшее из чисел положительно;

­-\-- хотя бы одно из чисел отрицательно \Leftrightarrow наименьшее из чисел отрицательно;

­-\-- все числа отрицательны \Leftrightarrow наибольшее из чисел отрицательно.

Если речь идёт о корнях квадратного уравнения, то нередко можно понять, какой из корней больше, а какой меньше, поэтому если мы знаем, что $$x_1x10,x_1 \geq 0,\: x20x_2 \geq 0 можно перейти к одному неравенству x20x_2 \geq 0.

Замечание. Неотрицательность дискриминантов в (10) была учтена при решении иррациональных неравенств (ОДЗ).

Пример 21

При каких значениях параметра aa уравнение $$\textrm{lg}{(x^2-6x+8)}^{\textrm{log}_2{10}} = \textrm{log}_2{(ax-17)}$$ имеет ровно одно решение?

Решение

Данное уравнение равносильно следующему:

$$\textrm{log}_2{10}\cdot \textrm{lg}{(x^2-6x+8)} = \textrm{log}_2{(ax-17)} \Leftrightarrow \textrm{log}_2{(x^2-6x+8)} = \textrm{log}_2{(ax-17)} \Leftrightarrow $$

$$ \Leftrightarrow \begin{cases} x^2-6x+8 = ax-17,\\ x^2-6x+8>0. \end{cases} $$

Перепишем систему в виде

$$\begin{cases} x^2-(a+6)x+25 = 0,\\ x \in (-\infty;-2)\bigcup(4;+\infty). \end{cases} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: (11)$$

Система (11) имеет ровно одно решение в двух случаях.
1) Уравнение имеет ровно один корень, и этот корень удовлетворяет условию

x(-;-2)(4;+).(12) x \in (-\infty;-2)\bigcup(4;+\infty). \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: (12)

Это возможно, если дискриминант обращается в ноль.

D=(a+6)2-100=(a+6+10)(a+6-10)=(a+16)(a-4).D = (a+6)^2 - 100 = (a+6+10)(a+6-10) = (a+16)(a-4).

Если a=4a=4, то уравнение в (11) принимает вид x2-10x+25=0x^2-10x+25=0, откуда x=5x=5,
что удовлетворяет условию (12).

Если a=-16a=-16, то уравнение в (11) принимает вид  x2+10x+25=0x^2+10x+25=0, откуда x=-5x=-5, что также удовлетворяет условию (12).

2) Уравнение в (11) имеет ровно 2 корня, из которых только один удовлетворяет условию.

Чтобы были 2 корня, дискриминант должен быть положителен, откуда a(-;-16)(4;+)a \in (-\infty;-16)\bigcup(4;+\infty). Один из корней уравнения должен принадлежать отрезку [2;4][2;4], а другой – нет. Удобнее разбить этот случай ещё на два.

а) Одним из корней уравнения является x=2x=2 или x=4x=4. Подставляя в уравнение системы (11) x=2x=2, находим, что a=172a=\dfrac{17}{2}. При этом aa уравнение принимает вид x2-292x+25=0x^2-\dfrac{29}{2}x + 25 = 0, откуда x=2x=2 или x=252x=\dfrac{25}{2}

Система (8) имеет одно решение, поэтому  a=172 a=\dfrac{17}{2} подходит.

Аналогично действуем в случае, когда одним из корней является x=4x=4. Находим, что a=174a=\dfrac{17}{4} и подстановкой этого значения в (8) убеждаемся, что оно подходит.

б) Один из корней лежит на интервале x(2;4)x\in(2;4), а другой – на множестве x(-;2)(4;+)x\in(-\infty;2)\bigcup(4;+\infty). Чтобы понять, при каких условиях это выполняется, нарисуем график левой части уравнения. f(x)= x2-(a+6)x+25f(x) = x^2-(a+6)x+25 – парабола с ветвями вверх – см. рис. 10.) Заметим, что в обоих случаях должно выполняться условие $$f(2)\cdot f(4) < 0$$.

Получаем неравенство $$(4-2(a+6)+25)(16-4(a+6)+25)<0$$, решая которое, находим, что a(174;172)a\in (\dfrac{17}{4};\dfrac{17}{2})

Объединяя все полученные результаты, получаем: a{-16;4}[174;172]a\in \{-16; 4\}\bigcup[\dfrac{17}{4};\dfrac{17}{2}].

ОТВЕТ

a{-16;4}[174;172]a\in \{-16; 4\}\bigcup[\dfrac{17}{4};\dfrac{17}{2}]

Замечание. В итоге нам подошли все значения aa, при которых f(2)·f(4)0f(2)\cdot f(4) \leq 0. Почему же мы отдельно разбирали случай, когда f(2)=0f(2) = 0 или f(4)=0f(4) = 0? Всё, что можно сказать об уравнении системы (11) при f(2)=0f(2)=0 - это, что x=2x=2 является его корнем; при этом неизвестно, будет ли второй корень уравнения удовлетворять условию (12).

Пример 22

Найдите все пары чисел (a;b)(a;b), при которых система уравнений

$$\begin{cases} x^2-y^2+a(x+y) = -x + y - a,\\ x^2 + y^2 + bxy = 1 \end{cases} $$

имеет не менее пяти решений (x;y)(x;y).

Решение

Разложим первое уравнение на множители:

(x-y)(x+y)+a(x+y)=-x+y+a(x-y+a)(x+y)=-x+y-a(x-y)(x+y)+a(x+y) = -x+y+a \Leftrightarrow (x-y+a)(x+y) = -x+y-a \Leftrightarrow

(x-y+a)(x+y-1)=0 \Leftrightarrow (x-y+a)(x+y-1) = 0

Тогда система равносильна совокупности двух систем:

Количество решений каждой из систем равно количеству решений её второго уравнения (действительно, из первого уравнения системы для каждого yy находится единственное значение xx). Если числа (2+b)(2+b) и (2-b)(2-b) отличны от нуля, то второе уравнение каждой из систем является квадратным, следовательно, имеет не более двух решений. Тогда вся совокупность имеет не более четырёх решений.

Если 2-b=02-b=0, то второе уравнение второй системы выполняется при любых yy , т. е. вторая система, а вместе с ней и вся совокупность, имеют бесконечно много решений (количество решений первой системы нас тогда не интересует.) При этом параметр aa может принимать любые значения.

Если 2+b=02+b=0, то b=-2b=-2 и вторая система имеет два решения. Тогда в первой системе нам нужно получить, по крайней мере, 3 решения. (при этом они не должны совпадать с решениями второй системы!)

При b=-2b=-2 первая система принимает вид $$\begin{cases} x = y-a,\\ a^2-1=0 .\end{cases} $$

Эта система имеет бесконечно много решений при a=1a=1 или a=-1a=-1 и не
имеет решений при других aa.

ОТВЕТ

(1;-2),(-1;-2),(t,2),t(1;-2),\: (-1;-2),\: (t,2), t\in \mathbb{R}

Пример 23

Найдите все значения параметров aa и bb, при которых уравнения 2x2-ax-8=02x^2-ax-8=0 и x3+bx-16=0x^3+bx-16=0 имеют два общих корня.

Решение

Пусть x0x_0 - общий корень уравнений. Тогда при подстановке x=x0x=x_0 оба данных уравнения превращаются в верные равенства. Это означает, что общий корень x0x_0 является решением системы уравнений

$$\begin{cases} 2x_0^2-ax_0-8=0,\\ x_0^3+bx_0-16=0. \end{cases} \:\:\:\:\:\:\:\:\: (13)$$

Так как общих корней должно быть два, то система (13) должна иметь два решения.

Из второго уравнения системы, умноженного на 2, вычтем первое
уравнение системы, умноженное на x0x_0. Получаем

2bx0-32+ax02+8x0=0 .(14)2bx_0 - 32 + ax_0^2 +8x_0 = 0 .\:\:\:\:\:\:\:\:\: (14)

Сложим уравнение (14) с первым уравнением системы (13), умноженным на -a2-\dfrac{a}{2}:

(a22+2b+8)x0+(4a-32)=0.(\dfrac{a^2}{2}+2b+8)x_0 + (4a-32) = 0.

Любое решение системы (13) удовлетворяет также уравнению (15), поэтому (15) должно иметь два решения, что возможно только при 

a22+2b+8=0\dfrac{a^2}{2}+2b+8=0 и 4a-32=0.4a-32=0.

Решая эти два уравнения, получаем a=8a=8, b=-20b=-20

Подставим найденные значения параметров в систему (13) и убедимся, что она действительно имеет два решения(для чего надо подставлять? Дело в том, что уравнение (15) является следствием системы (13), т.е. каждое решение системы является также решением уравнения. Обратное, вообще говоря, неверно, т.е. решения уравнения (15) могут и не удовлетворять системе (13). При найденных значениях параметров уравнение (15) имеет бесконечно много решений. Далее надо проверить, имеет ли система (13) 2 решения.):

$$\begin{cases} 2x_0^2 - 8x_0 - 8 = 0,\\ x_0^3 - 20x_0 - 16 = 0. \end{cases} $$

Рассмотрим второе уравнение. Подбирая у него целочисленный корень x0=-4x_0=-4 и выполняя деление левой части на (x0+4)(x_0+4), получаем (x0+4)(x02-4x0-4)=0(x_0+4)(x_0^2-4x_0-4)=0. Значит, уравнения системы имеют два общих корня, и система имеет два решения.

ОТВЕТ

a=8,b=-20a=8,\: b=-20

Пример 24

При каких значениях aa система

$$\begin{cases} 2^x(y+1)(1-y\cdot 2^x) = a^3,\\ (1+2^x)(1-y\cdot 2^x) = a \end{cases} $$

имеет хотя бы одно решение?

Решение

Если a=0a=0, то система имеет решения (любая пара чисел, удовлетворяющая условию 1-y·2x=01-y\cdot 2^x = 0, является решением системы, например, x=0x=0, y=1y=1).

Если a0a \neq 0, то обе части уравнений отличны от нуля, поэтому имеем право разделить первое уравнение на второе. Получаем  2x2x+1(y+1)=a2\dfrac{2^x}{2^x+1}(y+1) = a^2, откуда

y=a2+a2·2-x-1(16)y = a^2 + a^2\cdot 2^{-x} - 1 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: (16)

Подставляем это во второе уравнение исходной системы и преобразуем:

(1+2x)(1-2x·a2-a2+2x)=a(1+2x)2(1-a2)=a(17)(1+2^x)(1-2^x\cdot a^2 -a^2 + 2^x) = a \Leftrightarrow (1+2^x)^2(1-a^2) = a \:\:\:\:\:\:\: (17)

Для того, чтобы система имела хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы уравнение (17) имело хотя бы одно решение (так как каждому значению xx, найденному из (17), соответствует единственное значение yy из (16)).

При a=±1 a = \pm 1 уравнение (17) не имеет решений, а при всех остальных aa оно равносильно следующему: (1+2x)2=a1-a2 (1+2^x)^2=\dfrac{a}{1-a^2}. Множество значений функции в левой части уравнения – это промежуток (1;+)(1;+\infty)

Поэтому уравнение имеет хотя бы одно решение при

a1-a21;+\dfrac{a}{1-a^2} \in \left(1;+\infty\right), откуда a(-5+12;-1)(5-12;1)a\in (-\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}; -1)\bigcup(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}; 1)

Не забываем добавить в ответ также a=0a = 0, полученное нами в начале решения.

ОТВЕТ

a (-5+12;-1){0}(5-12;1)a\in  (-\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}; -1)\bigcup\{0\}\bigcup(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}; 1)