Математика 11 класс 11-М-5

§2. Квадратные уравнения и неравенства с параметром

Многие задачи с параметром сводятся к исследованию квадратного трёхчлена, поэтому рассмотрим эти задачи подробнее.

I. При решении простейших задач бывает достаточно формулы для корней квадратного уравнения и теоремы Виета.

Пример 7

При каких значениях параметра aa множество решений неравенства $$x^2+ax-1 < 0$$ является интервалом длины 5?

Решение

Поскольку коэффициент при x2x^2 положителен, решением неравенства является интервал между корнями в случае $$D > 0$$ и пустое множество, если D0D \leq 0.

Находим дискриминант: D=a2+4D = a^2+4 ($$D>0$$ при всех aa). Тогда множество решений есть промежуток 

x(-a-a2+42; -a+a2+42) x \in (\dfrac{-a-\sqrt{a^2+4}}{2}; \dfrac{-a+\sqrt{a^2+4}}{2}) . Требуется, чтобы длина этого промежутка была равна 5, т. е. 

-a+a2+42= -a-a2+42+5a2+4=5a=±21\dfrac{-a+\sqrt{a^2+4}}{2} = \dfrac{-a-\sqrt{a^2+4}}{2} + 5 \Leftrightarrow \sqrt{a^2+4}=5 \Leftrightarrow a = \pm \sqrt{21} .

ОТВЕТ

a= ±21a = \pm \sqrt{21}

Пример 8

При каких значениях параметра pp уравнение x2+p2+4p·x+p-1x^2+\sqrt{p^2+4p}\cdot x +p-1 имеет корни, а сумма квадратов корней минимальна?

Решение

Сумму квадратов корней уравнения удобно выразить с помощью теоремы Виета:

x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-p2+4p)2-2(p-1)=p2+2p+2x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-\sqrt{p^2+4p})^2-2(p-1) = p^2 +2p + 2.

Но прежде, чем применять теорему Виета, обязательно нужно проверить, что уравнение имеет корни! Для этого вычисляем дискриминант: D=p2+4p-4(p-1)=p2+4D = p^2+4p-4(p-1) = p^2+4. Видим, что дискриминант положителен при любых допустимых значениях pp, т. е. при

p(-;-4][0;+)(5)p \in (-\infty; -4]\bigcup[0;+\infty) \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: (5)

Остаётся найти, при каких значениях pp выражение p2+2p+2p^2+2p+2 принимает наименьшее значение. График функции f(p)=p2+2p+2f(p) = p^2 + 2p + 2 – парабола с ветвями вверх, поэтому наименьшее значение принимается в вершине (если она принадлежит множеству (5)) или в точке множества (5), ближайшей к вершине.
Так как абсциссой вершины является p=-1p=-1, что не принадлежит (5), получаем, что наименьшее значение f(p)f(p) при условии (5) принимается при p=0p = 0

ОТВЕТ

p=0p=0

II. Если в задаче требуется определить знаки корней квадратного уравнения, то, как правило, удобнее использовать теорему Виета. При условии, что уравнение ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0,  где a0a \neq 0, имеет два корня ($$D > 0$$) справедливы следующие утверждения:

1°1^{\circ}. корни положительны $$\Leftrightarrow \dfrac{c}{a} > 0 \:\text{и}\:  -\dfrac{b}{a} > 0 \Leftrightarrow ac>0 \:\text{и}\: ab<0$$;

2°2^{\circ}. корни отрицательны $$\Leftrightarrow \dfrac{c}{a} > 0 \:\text{и}\:  -\dfrac{b}{a} < 0 \Leftrightarrow ac>0 \:\text{и}\: ab>0$$;

3°3^{\circ}. корни разных знаков $$\Leftrightarrow \dfrac{c}{a} < 0 \Leftrightarrow ac<0  $$. (в этом случае условие $$D > 0$$ можно опустить, так как оно следует из неравенства $$ac< 0$$)

Пример 9

При каких значениях bb уравнение (b-1)·4x-(2b-1)·2x-1=0(b-1)\cdot 4^x - (2b-1)\cdot 2^x -1 = 0 имеет два различных корня?

Решение

Сделаем замену 2x=t2^x=t, где tt может принимать любые положительные значения. Тогда уравнение принимает вид

(b-1)t2-(2b-1)t-1=0.(6)(b-1)t^2-(2b-1)t-1 = 0. \:\:\:\:\:\:\:\:\: (6)

Чтобы у исходного уравнения было два корня необходимо и достаточно, чтобы у уравнения (6) было два положительных корня (после того, как мы сформулировали задачу для уравнения относительно tt, об исходной задаче можно забыть: действительно, каждому положительному tt соответствует ровно одно значение xx).

Если b=1b=1, то (6) принимает вид -t-1=0-t-1=0, что нам не подходит (нет положительных корней)(если коэффициент при t2t^2 зависит от параметра, то обязательно надо рассмотреть случай, когда он обращается в ноль, т.к. тогда получается не квадратное уравнение, а линейное.)

Если b1b \neq 1, то для существования двух положительных корней мы должны потребовать (см. выше):

$$ \begin{cases} D>0, \\ x_1+x_2>0,\\ x_1x_2>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (2b-1)^2+4(b-1)>0, \\ (2b-1)(b-1)>0, \\ -1\cdot (b-1) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b \in (-\infty; -\dfrac{\sqrt{3}}{2})\bigcup(\dfrac{\sqrt{3}}{2}; +\infty), \\ b \in (-\infty; \dfrac{1}{2})\bigcup(1; +\infty), \\ b < 1 \end{cases}$$

b(-;-32)\Leftrightarrow b \in (-\infty; -\dfrac{\sqrt{3}}{2})

ОТВЕТ

b(-;-32) b \in (-\infty; -\dfrac{\sqrt{3}}{2})

III. Нередко встречаются задачи на расположение корней квадратного трёхчлена (в предыдущем пункте был рассмотрен частный случай такой задачи, а именно, расположение корней относительно точки x=0x=0). Начнём этот раздел с примера.

Пример 10

При каких значениях параметра aa уравнение 5x2+(4a-6)x+1=05x^2 + (4a-6)x +1 = 0 имеет два корня, причём один из корней больше (-1), а второй – меньше (-1)?

Решение

Обозначим левую часть уравнения через f(x)f(x) и рассмотрим график функции y=f(x)y= f(x). Это парабола с ветвями вверх. Для того, чтобы выполнялось условие задачи, график должен быть расположен так, чтобы точка x=-1x=-1 оказалась между корнями
(см. рис. 1). Следовательно, $$f(-1)<0$$.

Заметим, что из выполнения этого неравенства следует, что уравнение имеет два корня, расположенные по разные стороны от точки x=-1x=-1. Действительно, если некоторая точка с абсциссой x0x_0 параболы с ветвями вверх лежит ниже оси абсцисс, то эта парабола пересекает ось в двух точках: один раз слева от x0x_0 и один раз справа от x0x_0.

Записываем и решаем неравенство $$f(-1)<0$$:

$$5-(4a-6)+1 < 0 \Leftrightarrow a>3$$.

ОТВЕТ

$$a>3$$

Теперь рассмотрим различные варианты расположения корней квадратичной функции. Пусть f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, где a0a \neq 0, xв=-b2ax_{\text{в}} = -\dfrac{b}{2a}  - абсцисса вершины параболы; D=b2-4acD = b^2-4ac - дискриминант, x1x_1 и x2x_2 - корни соответствующего квадратного уравнения ax2+bx+c=0 ax^2 + bx + c = 0.

1°1^{\circ}. Уравнение имеет два корня, и оба они меньше некоторого числа AA (рис. 2а, 2б).

2°2^{\circ}. Уравнение имеет два корня, и оба они больше некоторого числа AA (рис. 3а, 3б).

3°3^{\circ}. Уравнение имеет два корня, лежащие по разные стороны от числа AA (рис. 4). Обратите внимание, что в этом случае условие $$D > 0$$ является лишним (см. решение примера 10) и мы получаем одно неравенство $$f(A) < 0$$ (или $$f(A) > 0$$).

4°4^{\circ}. Уравнение имеет два корня, лежащие в интервале (A;B)(A; B) (рис. 5). Возможны также и другие случаи расположения корней (например, оба корня лежат вне некоторого отрезка [A;B][A; B] и пр.), в которых надо самостоятельно нарисовать чертёж и сделать соответствующие выводы.

Замечания. 1. Для уравнений и неравенств вида

$$ax^2 + bx + c = 0,\: ax^2 + bx + c > 0, \: ax^2 + bx + c < 0,\: ax^2 + bx + c \geq 0,\: ax^2 + bx + c \leq 0$$ надо отдельно рассматривать случай a=0a =0. Тогда получится линейное уравнение (неравенство).

2. В большинстве задач важно учесть знак числа aa - от этого зависит направление ветвей параболы.

3. Заметим, что совокупность двух систем

$$\begin{cases} a > 0, \\ f(a) > 0 \end{cases} и \begin{cases} a < 0, \\ f(a) < 0 \end{cases} $$

равносильна неравенству $$a f(a) > 0$$. Поэтому в условии 1°1^{\circ} можно записать одну систему $$\begin{cases} D>0, \\ a f(A) > 0, \\ x_{\text{в}} < A .\end{cases} $$

Аналогично можно упростить и другие условия:

$$2^{\circ} \Leftrightarrow \begin{cases} D>0, \\ a f(A) > 0, \\ x_{\text{в}} > A .\end{cases} \:\:\: 3^{\circ} \Leftrightarrow a f(A) < 0, \:\:\: 4^{\circ} \Leftrightarrow \begin{cases} D>0, \\ a f(A) > 0, \\ a f(B) > 0, \\ A < x_{\text{в}} < B  .\end{cases} $$

Перейдём к примерам.

Пример 11

При каких aa уравнение (2a-2)x2+(a+1)x+1=0(2a-2)x^2 + (a+1)x +1 = 0 имеет корни, и все они принадлежат интервалу (-2;0)(-2; 0) ?

Решение

1) Если 2a-2=0(a=1)2a-2=0\:(a=1),  то уравнение принимает вид 2x+1=02x+1=0. Это уравнение имеет единственный корень x=-0,5x=-0,5, который принадлежит интервалу (-2;0)(-2; 0). Значит, a=1a =1 удовлетворяет условию задачи.

2) Если 2a-202a-2 \neq 0, то уравнение квадратное. Находим дискриминант:

D=(a+1)2-4(2a-2)=a2-6a+9=(a-3)2D=(a+1)^2-4(2a-2)=a^2-6a+9=(a-3)^2.

Поскольку дискриминант является полным квадратом, находим корни(как правило, вышеописанные приёмы с расположением корней удобно использовать, если формулы для корней громоздкие. Если дискриминант является полным квадратом и корни получаются “хорошими”, то проще решить задачу напрямую): 

Для выполнения условий задачи требуется, чтобы выполнялось неравенство $$-2 < \dfrac{1}{1-a} < 0$$, решая которое, находим, что $$a>\dfrac{3}{2}$$.

ОТВЕТ

a{1}(32;+)a \in \{1\}\bigcup (\dfrac{3}{2}; +\infty).

Пример 12

При каких значениях aa неравенство $$4^{\textrm{sin}\:x}-2\cdot (a-3) \cdot 2^{\textrm{sin}\:x} + a+3 > 0$$ выполняется для всех xx?

Решение

Обозначим 2sinx=y2^{\textrm{sin}\:x}=y. Поскольку -1 sinx1-1 \leq \textrm{sin}\:x \leq 1, получаем, что 12 2sinx2\dfrac{1}{2} \leq 2^{\textrm{sin}\:x} \leq 2. Исходное неравенство принимает вид 

$$y^2-2(a-3)y+(a+3) > 0$$

Данная задача эквивалентна следующей: «при каких aa неравенство $$y^2-2(a-3)y+(a+3) > 0$$ выполнено для всех y[12;2]y \in [\dfrac{1}{2};2]

График левой части этого неравенства – парабола с ветвями вверх. Требования задачи будут выполнены в двух случаях. 1) $$D<0$$ (тогда парабола целиком лежит выше оси абсцисс и неравенство выполнено для всех yy) (рис. 6, случай б). 2) Если корни есть (D0)(D \geq 0), то они не должны лежать на отрезке y[12;2]y \in [\dfrac{1}{2};2]. (рис. 6, случаи а) и в). Переходим к вычислениям

а) Это расположение параболы (корни находятся слева от отрезка [12;2][\dfrac{1}{2};2]) задаётся условиями (записываем и решаем систему):

$$\begin{cases} D \geq 0,\\ x_{\text{в}} < \dfrac{1}{2},\\ f(\dfrac{1}{2}) > 0 \end{cases}  \Leftrightarrow \begin{cases} (a-3)^3-(a+3) \geq 0,\\ a-3 < \dfrac{1}{2},\\ \dfrac{1}{4} - (a-3) +a+3 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \in (-\infty;1]\bigcup]6;+\infty),\\ a < \dfrac{7}{2},\\ \dfrac{25}{4} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow a \leq 1 $$.

б) Этот случай задаётся условием $$D<0 \Leftrightarrow a \in (1;6)$$.

в) Аналогично случаю а) получаем систему:

$$\!\!\!\! \begin{cases}   D \geq 0,\\ x_{\text{в}} > 2,\\ f(2) > 0 \end{cases}  \Leftrightarrow \begin{cases}  (a-3)^3-(a+3) \geq 0,\\ a-3 > 2,\\ 4 - 4(a-3) +a+3 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a\in (-\infty; 1]\bigcup[6;+\infty),\\ a>5,\\ a<\dfrac{19}{3} \end{cases} \Leftrightarrow 6 \leq a < \dfrac{19}{3} $$.

Объединяя результаты, всех трёх пунктов, получаем, что $$a < \dfrac{19}{3}$$.

ОТВЕТ

$$a < \dfrac{19}{3}$$

Пример 13

При каких значениях aa ровно один корень уравнения ax2+(2a-5)x+(a-6)=0ax^2 + (2a-5)x + (a-6) =0 лежит на отрезке [0;2][0;2]?

Решение

1) Рассматриваем случай a=0a = 0 (тогда уравнение не квадратное). Уравнение принимает вид -5x-6=0-5x-6=0. Корней на отрезке [0;2][0;2] нет, поэтому a=0a = 0 не подходит.

2) Уравнение квадратное. Обозначим левую часть уравнения через f(x)f(x). Уравнение имеет на отрезке [0;2][0;2] ровно один корень в двух случаях.

А) Уравнение имеет единственный корень, и он принадлежит отрезку [0;2][0;2]. Это возможно при D=0D = 0. Вычисляем дискриминант:

D=(2a-5)2-4a(a-6)=4a+25D = (2a-5)^2-4a(a-6) = 4a+25.

Дискриминант обращается в ноль при a=-254a=-\dfrac{25}{4}. При этом исходное уравнение принимает вид -254x2-352x- 494=0-\dfrac{25}{4}x^2-\dfrac{35}{2}x - \dfrac{49}{4} = 0, откуда x=-75x = -\dfrac{7}{5}. Корней на отрезке [0;2][0;2] нет, значит, этот случай не реализуется ни при каких значениях параметра aa.

Б) Уравнение имеет два корня ($$D>0 \Leftrightarrow a>-\dfrac{25}{4}$$), один из которых принадлежит отрезку [0;2][0;2], а другой – нет. Для выполнения этого условия необходимо и достаточно, чтобы либо (а) функция f(x)f(x) принимала на концах отрезка [0;2][0;2] значения разных знаков – тогда корень лежит в интервале (0;2)(0;2) (в качестве примера(можете самостоятельно рассмотреть и другие возможные расположения параболы) см. рис. 7), либо (б) в одном из концов отрезка обращалась в ноль – тогда корень лежит на одном из концов отрезка. 

(а) Условие “числа f(0)f(0) и f(2)f(2) имеют разные знаки” равносильно неравенству $$f(0)\cdot  f(2) < 0$$, откуда

$$\left(a-6\right)\left(4a+2\left(2a-5\right)+\left(a-6\right)\right)<0 \Leftrightarrow \left(a-6\right)\left(9a-16\right) < 0 \Leftrightarrow \dfrac{16}{9} < a < 6$$.

(б) Если f(0)=0f(0) = 0, то a=6a=6. Тогда уравнение принимает вид 6x2+7x=06x^2+7x=0. Его корнями являются числа x=0x=0 и x=-76x=-\dfrac{7}{6}, т. е. на отрезке [0;2][0;2] оно имеет ровно один корень.

Если f(2)=0f(2) = 0, то a=169a=\dfrac{16}{9}. Тогда получаем 169x2- 139x- 389=0\dfrac{16}{9}x^2 - \dfrac{13}{9}x - \dfrac{38}{9} = 0, откуда x=2x=2 или x=-1916x=-\dfrac{19}{16}, т. е. опять из двух корней только один принадлежит отрезку [0;2][0;2]

Значит, оба значения a=6a=6 и a=169a=\dfrac{16}{9} и удовлетворяют условию задачи(при f(2)=0f(2) = 0  или f(0)=0f(0) = 0 обязательно надо найти второй корень и посмотреть, находится ли он на отрезке [0;2][0;2]).

Объединяя результаты, получаем a[169;6]a\in [\dfrac{16}{9}; 6].

ОТВЕТ

169a6\dfrac{16}{9} \leq a \leq 6

Пример 14

При каких значениях параметра aa уравнение |x2-4|x|+3|=a|x^2-4|x|+3| = a имеет ровно 8 решений?

Решение

Изобразим графики левой и правой частей на плоскости xOy.

Чтобы построить график левой части, сначала изображаем параболу y=x2-4x+3y = x^2-4x+3. Затем отражаем все точки этой параболы, лежащие ниже оси абсцисс, относительно этой оси и получаем график функции y=|x2-4x+3|y=|x^2-4x+3| (рис. 8а). Далее отбрасываем все точки, лежащие слева от оси абсцисс, а оставшиеся точки отражаем относительно этой оси – получаем график функции y=|x2-4|x|+3|y=|x^2-4|x|+3|.

График правой части – это горизонтальная прямая y=ay=a. Уравнение имеет 8 решений, когда эта прямая пересекает график y=|x2-4|x|+3|y=|x^2-4|x|+3| в восьми точках. Несложно видеть, что это происходит при $$0<aa<1$$.

ОТВЕТ

a(0;1)a\in (0;1)

Пример 15

Найдите все значения параметра pp, при которых уравнение 4x+2x+2+7=p-4-x-2·21-x4^x+2^{x+2}+7=p-4^{-x}-2\cdot 2^{1-x} имеет хотя бы одно решение.

Решение

Перепишем уравнение в виде (4x+4-x)+4·(2x+2-x)=p-7(4^x+4^{-x})+4\cdot (2^x+2^{-x})=p-7 и сделаем замену 2x+2-x=t2^x+2^{-x}=t. Возводя обе части последнего равенства в квадрат, получаем, что t2=(2x+2-x)2=4x+2+4-xt^2=(2^x+2^{-x})^2=4^x+2+4^{-x}, откуда 4x+4-x=t2-24^x+4^{-x} = t^2-2. Уравнение принимает вид t2-2+4t=p-7(t+2)2=p-1t^2-2+4t = p-7 \Leftrightarrow (t+2)^2 = p-1.

Найдём множество значений левой части уравнения. Поскольку(используем, что сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше двух:  a+1a2a+\dfrac{1}{a} \geq 2 при $$a>0$$ 0 (равенство возможно только при a=1a = 1).  Это можно доказать, например, с помощью неравенства Коши: для положительных чисел среднее арифметическое не меньше среднего геометрического (a1+a2+...+akka1·a2·..·akk)(\dfrac{a_1+a_2+...+a_k}{k} \geq \sqrt[k]{a_1\cdot a_2\cdot .. \cdot a_k}), причём равенство достигается только в случае a1=a2=...=aka_1=a_2=...=a_k. Для двух положительных чисел это неравенство принимает вид a+b2ab\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}.  Если сюда подставить b=1ab = \dfrac{1}{a}, то получится требуемое неравенство.) t2t \geq 2, получаем, что левая часть уравнения принимает значения из промежутка [16;+)[16; +\infty).

Уравнение имеет хотя бы одно решение, если правая часть принадлежит этому же промежутку, т. е. при p-116p-1 \geq 16, откуда p17 p \geq 17

ОТВЕТ

p17p \geq 17

Пример 16

Найдите все значения параметра aa , при которых для любого положительного значения bb уравнение

log2(1-x-x2)=a·log(1-x-x2)2+b\textrm{log}_2{(1-x-x^2)} = a\cdot \textrm{log}_{(1-x-x^2)}{2} + b

имеет хотя бы одно решение, принадлежащее интервалу (0;12)(0; \frac{1}{2}).

Решение

Определим множество значений функции f(x)=log2(1-x-x2)f(x) = \textrm{log}_2{(1-x-x^2)} при x(0;12)x \in (0; \frac{1}{2}). График функции g(x)=  1-x-x2g(x) =  1-x-x^2 - парабола с ветвями вниз, вершина которой имеет абсциссу xв=-12x_{\text{в}} = -\frac{1}{2}. Поскольку промежуток x(0;12)x\in (0; \frac{1}{2}) находится справа от вершины, функция на нём убывает, и своё наибольшее значение она принимает в точке 00, а наименьшее – в точке 12\frac{1}{2}

Итак, если x(0;12)x \in (0; \frac{1}{2}), то функция g(x)g(x) принимает все значения из промежутка (g(12);g(0))(g(\frac{1}{2}); g(0) ), т.е. из интервала (14;1)(\frac{1}{4};1). Значит, множеством значений f(x)=log2g(x)f(x) = \textrm{log}_2{g(x)} является интервал (-2;0)(-2;0)

Перепишем уравнение в виде log2(1-x-x2)=a·1log2(1-x-x2)+b\textrm{log}_2{(1-x-x^2)} = a \cdot \dfrac{1}{\textrm{log}_2{(1-x-x^2)}} + b и сделаем замену t= log2(1-x-x2)t = \textrm{log}_2{(1-x-x^2)}. Получаем уравнение t+1t=bt+\dfrac{1}{t}=b

Каждому значению t(-2;0)t\in (-2;0) соответствует ровно одно значение x(0;12)x\in (0; \frac{1}{2}),а для всех остальных tt значения переменной xx , если они существуют, не принадлежат промежутку (0;12)(0; \frac{1}{2}). Поэтому для нового уравнения задачу можно сформулировать задачу так: “ найти все значения параметра aa , при которых для любого положительного значения bb уравнение $$t=\dfrac{a}{t}+b$$ имеет хотя бы одно решение, принадлежащее интервалу (-2;0)(-2;0)”.

Перепишем это уравнение(условие t0t \neq 0 можно отбросить, так как нас интересуют только решения из промежутка (-2;0)(-2; 0))  в виде t2-bt-a=0t^2-bt-a = 0. Графиком функции h(t)= t2-bt-ah(t) = t^2-bt-a является парабола с ветвями вверх, причём по условию абсцисса вершины этой параболы положительна ($$x_{\text{в}} = \dfrac{b}{2} > 0$$). Таким образом, если это уравнение имеет корни, то, по крайней мере, один из них положителен. Для того чтобы второй корень лежал в интервале (-2;0)(-2;0), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия: $$h(0)<0,\: h(-2)>0$$ (см. рис. 9).

Получаем систему неравенств:

$$\begin{cases} -a < 0,\\ 4+2b-a > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a>0, \: a< 4+2b. \end{cases} $$

Необходимо, чтобы эти условия выполнялись при любых положительных значениях bb , откуда следует, что $$0 \lt a \leq 4$$. 

ОТВЕТ

$$0 \lt a \leq 4$$