Математика 11 класс 11-М-5

§1. Простейшие задачи с параметром

Наиболее часто встречаются следующие формулировки задач с параметром:
а) для каждого значения параметра (параметров) решить уравнение (неравенство, систему);
б) найти все значения параметра (параметров), при каждом из которых решения удовлетворяют некоторым заданным условиям (ровно одно решение, нет решений, множества решений двух уравнений совпадают, все решения неравенства принадлежат промежутку (a;+)(a; +\infty) и т. п.).

Пример 1 

Для каждого значения параметра aa решите уравнение (x2-4)x+a=0(x^2-4)\sqrt{x+a}=0.

Решение
Произведение двух множителей равно нулю в том и только том случае, когда один из множителей равен нулю, а второй имеет смысл. Поэтому возможны два случая:
 
$$ \begin{cases} x^2-4 = 0, \\ x+a \geq 0, \end{cases} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: (1) $$
 
x+a=0.(2) x + a = 0. \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: (2)

Из (1) следует, что числа x=±2x = \pm 2 являются корнями исходного уравнения только в том случае, когда они удовлетворяют неравенству x-ax \geq -a . Таким образом, при $$a < -2$$ система (1) не имеет решений, при $$-2 \leq a < 2$$ получаем x=2x = 2, а при a2a \geq 2 подходят оба корня и мы получаем, что x=±2x = \pm 2.

В (2) x=-ax = -a является решением при любых aa.

ОТВЕТ

при $$a < -2: \: x=-a$$;

при $$ -2 \leq a < 2: \:  x=-a, x=2$$;

при a2: x=-a,x=2,x=-2a \geq 2: \:  x=-a, x=2, x=-2.

Замечания. 1. Если задача сформулирована таким образом (для каждого aa решите уравнение), то в ответе для каждого значения параметра должно быть указано множество решений, в том числе и для тех его значений, при которых решений нет.
2. В ответе знаки тире заменены на двоеточия, чтобы их не перепутать с минусами.

Пример 2

Для каждого значения aa решите неравенство (a2+a-2)xa2-1(a^2+a-2)x \geq a^2-1.

Решение

1) Если коэффициент при xx отличен от нуля, то неравенство является линейным и чтобы его решить, надо разделить обе его части на a2+a-2a^2+a-2. Но при делении обеих частей неравенства на число необходимо знать знак этого числа. Рассматриваем два варианта.

1а) Если $$a^2+a-2 >0$$ (т.е. a(-;-2)(1;+)a \in (-\infty; -2)\bigcup(1; +\infty) ), то xa2-1a2+a-2x \geq \dfrac{a^2-1}{a^2+a-2}. Сокращая дробь в правой части, получаем xa+1a+2 x \geq \dfrac{a+1}{a+2}.

1б) Если $$a^2+a-2 <0$$ (т.е. a(-2;1) a \in (-2; 1)), то x a2-1a2+a-2 x \leq \dfrac{a^2-1}{a^2+a-2}, т.е. x a+1a+2 x \leq \dfrac{a+1}{a+2}.

2) Если a2+a-2=0a^2+a-2 =0 (при a=-2a=-2 или a=1a=1),  переменная xx исчезает и у нас остаётся числовое неравенство; этот случай надо рассматривать отдельно.

2а) Если a=-2a =- 2, то исходное неравенство принимает вид 0·x3 0\cdot x \geq 3  , следовательно решений нет.

2б) Если a=1a = 1, то получаем 0·x00\cdot x \geq 0, что верно при всех xx, поэтому xx - любое число.

ОТВЕТ

при a=1:xa =1: \: x \in \mathbb{R};

при a=-2:xa=-2: \: x \in \varnothing;

при a(-;-2)(1;+):x[a+1a+2;+)a \in (-\infty; -2)\bigcup(1; +\infty): \: x \in [\dfrac{a+1}{a+2}; +\infty);

при a(-2;1):x(-; a+1a+2]a \in (-2; 1): \: x \in (-\infty; \dfrac{a+1}{a+2}].

Пример 3

При каком наименьшем положительном значении bb функция y=sin(20x+bπ150)y = \textrm{sin}{(20x + \dfrac{b\pi}{150})} имеет минимум в точке x=π2x=\dfrac{\pi}{2}?

Решение

Минимальное значение синуса равно (-1)(-1), и оно достигается, когда аргумент равен -π2+2πk,k-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k, k\in \mathbb{Z}. Значит, функция принимает минимальное значение при x=π2x=\dfrac{\pi}{2}, если

20·π2+ bπ150=-π2+2πk,k20\cdot\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{b\pi}{150} = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k, k\in \mathbb{Z}

откуда находим, что b=-1575+300k, kb = -1575+300k, k\in \mathbb{Z}. Наименьшим положительным числом в этой серии является b=225b = 225 (при k = 6).

ОТВЕТ

b=225b = 225

Пример 4

При каких значениях параметра aa неравенство x-3a-1x+2a-20\dfrac{x-3a-1}{x+2a-2} \leq 0 выполняется при каждом значении xx таком, что 2x32 \leq x \leq 3?

Решение

Для решения подобных неравенств обычно используется метод интервалов. Находим точки, в которых числитель и знаменатель дроби обращаются в ноль (x1=3a+1x_1 = 3a+1 и x2=2-2ax_2 = 2-2a). Далее отмечаем эти точки на числовой прямой и определяем знаки левой части на получившихся промежутках. Возможны три способа расположения точек: $${ x_1=x_2,\: x_1 \lt x_2,\: x_1 \gt x_2 }$$ . Если x1=x2x_1=x_2, то числитель дроби равен знаменателю, левая часть неравенства обращается в единицу, поэтому решений нет. В двух оставшихся случаях решением является промежуток между числами x1x_1 и x2x_2 (при этом граничная точка x1x_1 включается, а x2x_2 – нет). Для того, чтобы отрезок 2x32 \leq x \leq 3 включался в множество решений, необходимо и достаточно, чтобы границы этого отрезка принадлежали множеству решений, т. е. являлись решениями неравенства. Таким образом, получаем систему: $$\begin{cases} \dfrac{2-3a-1}{2+2a-2} \leq 0, \\ \dfrac{3-3a-1}{3+2a-2} \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \in (-\infty; 0)\bigcup[\dfrac{1}{3}; +\infty),\\ a \in (-\infty; -\dfrac{1}{2})\bigcup[\dfrac{2}{3}; +\infty) \end{cases} $$

a(-; -12)[23;+) \Leftrightarrow a \in (-\infty; -\dfrac{1}{2})\bigcup[\dfrac{2}{3}; +\infty) .


ОТВЕТ

a(-; -12)[23;+) a \in (-\infty; -\dfrac{1}{2})\bigcup[\dfrac{2}{3}; +\infty)

Пример 5 

Для каждого значения параметра aa решите систему уравнений

$$\begin{cases} (a+2)x - ay = 1-a,\\ 2x - (3a+1)y = a+5. \end{cases} $$

Решение

Выразим из второго уравнения xx:

x=a+52+3a+12y3x = \dfrac{a+5}{2} + \dfrac{3a+1}{2}y \:\:\:\:\:\:\:\:\: \left(3\right)

и подставим в первое уравнение (выгоднее делать именно так, поскольку во втором уравнении коэффициент при xx не зависит от параметра и, следовательно, не обращается в ноль. Если бы мы стали выражать yy из второго уравнения, то пришлось бы отдельно рассматривать случай, когда 3a+1=03a+1=0.):

(a+2)(a+52+3a+12y)-ay=1-a (a+2)(\dfrac{a+5}{2}+\dfrac{3a+1}{2}y)-ay=1-a 

После упрощения получаем уравнение:

(3a2+5a+2)y=-a2-9a-8(a+1)(3a+2)y=-(a+8)(a+1) (4)(3a^2+5a+2)y=-a^2-9a-8 \Leftrightarrow (a+1)(3a+2)y = -(a+8)(a+1) \:\:\:\:\:\:\:\:\: (4)

Рассматриваем два случая. 

1) (a+1)(3a+2)=0(a+1)(3a+2)=0. Это возможно при двух значениях aa.

1а) Если a=-1a=-1, то уравнение (4) принимает вид 0=00 = 0, откуда yy\in \mathbb{R}. Тогда из (3) находим, что x=2-yx = 2-y. Если обозначить y=ty=t, то x=2-tx = 2- t. Таким образом, решениями системы являются пары чисел вида (2-t;t),t(2-t; t), t\in \mathbb{R}.

1б) Если a=-23a = -\dfrac{2}{3}, то (4) принимает вид 0=-223·130 = -\dfrac{22}{3}\cdot\dfrac{1}{3}. Значит, в этом случае решений нет.

2) (a+1)(3a+2)0(a+1)(3a+2) \neq 0. Тогда делим обе части уравнения (4) на (a+1)(3a+2)(a+1)(3a+2)  и получаем, что y=-a+83a+2y = -\dfrac{a+8}{3a+2}. Подставляя в (3), находим

x=a+52-3a+12·a+83a+2=1-4a3a+2x = \dfrac{a+5}{2} - \dfrac{3a+1}{2}\cdot\dfrac{a+8}{3a+2} = \dfrac{1-4a}{3a+2}.

ОТВЕТ

при a=-1:(2-t;t),ta=-1:\: (2-t; t), t\in \mathbb{R};

при a=-23:a = -\dfrac{2}{3}: нет решений;

при всех остальных значениях a:(1-4a3a+2; -a+83a+2)a: \: (\dfrac{1-4a}{3a+2};  -\dfrac{a+8}{3a+2}).

Замечание. Линейное уравнение ax+by=cax + by = c при a2+b20a^2+b^2 \neq 0 задаёт прямую на плоскости. Поэтому в системе двух линейных уравнений возможны следующие варианты: прямые пересекаются (1 решение), прямые параллельны (нет решений), прямые совпадают (бесконечно много решений).

Пример 6

При каких значениях параметра aa уравнение sinx+acosx=2a\textrm{sin}{x} + a \textrm{cos}{x} = 2a имеет хотя бы одно решение?

Решение

Левая часть уравнения может принимать значения в пределах [-1+a2; 1+a2][-\sqrt{1+a^2}; \sqrt{1+a^2}]. (с помощью введения дополнительного угла выражение Acosx+BsinxA\textrm{cos}{x} + B\textrm{sin}{x} может быть преобразовано к виду A2+B2·cos(x-α)\sqrt{A^2+B^2}\cdot\textrm{cos}{(x-\alpha)}. Поскольку косинус принимает всевозможные значения из отрезка [-1;1][-1;1],  отсюда следует, что множеством значений выражения Acosx+BsinxA\textrm{cos}{x} + B\textrm{sin}{x} является отрезок [-A2+B2; A2+B2][-\sqrt{A^2+B^2}; \sqrt{A^2+B^2}].) Поэтому данное уравнение имеет решения, если 2a[-1+a2; 1+a2]2a \in [-\sqrt{1+a^2}; \sqrt{1+a^2}]. Это условие равносильно неравенству |2a| 1+a2|2a| \leq \sqrt{1+a^2}. Так как обе части неравенства неотрицательны, возведение их в квадрат является равносильным преобразованием. Получаем

4a21+a2a213-13a 134a^2 \leq 1 + a^2 \Leftrightarrow a^2 \leq \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow -\dfrac{1}{\sqrt{3}} \leq a \leq \dfrac{1}{\sqrt{3}}.

ОТВЕТ

-13a 13 -\dfrac{1}{\sqrt{3}} \leq a \leq \dfrac{1}{\sqrt{3}}