Математика 10 класс ВФТШ 10-М-1

11. Возвратные уравнения.


определение

Уравнение вида `ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0` называется возвратным.

Чтобы его решить, надо вынести за скобку `x^2`. Тогда выражение в скобке приведётся к квадратному уравнению относительно `x+-1/x`:

`ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0hArrx^2(ax^2+bx+c+-fracbx+fraca{x^2})=0hArr`

`a(x^2+frac1{x^2}+2-2)+b(x+-frac1x)+c=0`.

При этом,

`ax^4+bx^3+cx^2-bx+a=0hArra(x-frac1x)^2+b(x-frac1x)+(c+2a)=0`

`ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0hArra(x+frac1x)^2+b(x+frac1x)+(c-2a)=0`.


Пример 20

Решите уравнение `t^4+8t^3+6t^2-8t+1=0`.


Решение

Уравнение является возвратным. Вынесем за скобку `t^2`, а затем оставшееся выражение в скобке группировкой сведется к квадратному трёхчлену: 

`t^2(t^2+8t+6-frac8t+frac1{t^2})=0hArrt^2+frac1{t^2}+8t-frac8t+6=0hArr`

` iff(t^2-2+frac1{t^2})+8(t-frac1t)+8=0hArr(t-frac1t)^2+8(t-frac1t)+8=0hArr`

`iff t-1/t=-4+-2sqrt2 iff`

t2+22-2t-1=0,t2+22+2t-1=0t=-2-2±7-42,t=-2+2±7+42.\begin{array}{l}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t^2+2\left(2-\sqrt2\right)t-1=0,\\t^2+2\left(2+\sqrt2\right)t-1=0\end{array}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=-\left(2-\sqrt2\right)\pm\sqrt{7-4\sqrt2},\\t=-\left(2+\sqrt2\right)\pm\sqrt{7+4\sqrt2}.\end{array}\right.\right.\\\\\end{array}

Ответ

 2-2±7-42,  -2-2±7+42\sqrt2-2\pm\sqrt{7-4\sqrt2},\;\;-2-\sqrt2\pm\sqrt{7+4\sqrt2}.