Математика 10 класс ВФТШ 10-М-1

§1. Понятие равносильности уравнений и неравенств

Пусть на некоторых числовых множествах Х1, Х2Х_1,\;Х_2 заданы соответственно функции f(x), g(x)f(x),\;g(x) . 

Определение

Отношения вида f(x)>g(x)f(x)\gt g(x), f(x)g(x)f(x)\leq g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x) называют неравенствами и уравнением с одной переменной.

определение

Если функции f(x), g(x)f(x),\;g(x) - алгебраические, то неравенства и уравнения называются алгебраическими.

ОПределение

Областью допустимых значений (ОДЗ) неравенства или уравнения называют множество всех значений переменной xx, при которых одновременно определены обе части неравенства или уравнения, т. е. пересечение множеств Х1, Х2Х_1,\;Х_2.

Пример

Рассмотрим неравенство x2-14-x\sqrt{x^2-1}\leq\sqrt{4-x}. Левая часть определена при x2-10x^2-1\geq0, а правая при 4-x04-x\geq0. Поэтому областью определения этого неравенства является множество (-;-1][1;4](-\infty;-1\rbrack\cup\lbrack1;4\rbrack.

Решить неравенство (уравнение) – это значит найти все числа aa, после подстановки которых, вместо xx получается верное числовое неравенство (равенство), или доказать, что неравенство (уравнение) не имеет решений. Ясно, что число aa является решением только тогда, когдa aa принадлежит ОДЗ.

При решении неравенств и уравнений фундаментальное значение имеет понятие равносильности, и в нашем задании это будет играть большую роль.


определение

Два неравенства

 f1(x)>g1(x)f_1(x)>g_1(x) и f2(x)>g2(x)f_2(x)>g_2(x)                                         (1)

или два уравнения           

f1(x)=g1(x)f_1(x)=g_1(x) и f2(x)=g2(x)f_2(x)=g_2(x)                                         (2)

называются равносильными на множестве XX , если каждое решение первого неравенства (уравнения), принадлежащее множеству XX, является решением второго, и, наоборот, каждое решение второго, принадлежащее XX, является решением первого; или ни одно из неравенств (уравнений) на XX не имеет решений, т. е. множества решений этих неравенств (уравнений) совпадают.

Отсюда следует, что вместо того, чтобы решать данное неравенство (уравнение), можно решать любое другое, равносильное данному. Замену одного неравенства (уравнения) другим, равносильным данному на XX, называют равносильным переходом на XX. Равносильный переход обозначают двойной стрелкой \Leftrightarrow.


Пример

x21x1x^2\leq1\Leftrightarrow\left|x\right|\leq1 ; а неравенства 4x+52\sqrt{4x+5}\leq2 и 4x+544x+5\leq4 не равносильны, т. к., если 4x+504x+5\leq0, то первое неравенство не имеет решений, а второе имеет, например, x=-2x=-2

Важно понимать, что для доказательства неравносильности двух неравенств (уравнений) нет необходимости решать каждое из неравенств (уравнений), а затем убеждаться в том, что множества их решений не совпадают – достаточно указать одно решение одного из неравенств (уравнений), которое не является решением другого неравенства (уравнения).


Пример 1

Равносильны ли уравнения 2x+3=x\sqrt{2x+3}=x и 2x+3=x22x+3=x^2?


Решение


Нет, не равносильны, т. к. решение x=-1x=-1 второго уравнения не является решением первого.

Пример 2

Равносильны ли уравнения sin x=3\sin\;x=3 и -x2=1\sqrt{-x^2}=1?


Решение


Да, равносильны, т. к. ни одно из них не имеет решения.


Приведём несколько примеров операций, приводящих к равносильным уравнениям или неравенствам.

1. Если функции  f(x),g(x),h(x)f(x),g(x),h(x) определены на множестве XX, то на XX
а) f(x)g(x)f(x)+h(x)g(x)+h(x)f(x)\leq g(x)\Leftrightarrow f(x)+h(x)\leq g(x)+h(x).
б) f(x)=g(x)f(x)+h(x)=g(x)+h(x)f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x)+h(x)=g(x)+h(x).

2. Если h(x)>0h(x) >0 на XX, то на XX

f(x)<g(x)f(x)h(x)<g(x)h(x)f(x) < g(x)\Leftrightarrow f(x)h(x) < g(x)h(x),

т. е. при умножении неравенства на положительную функцию знак неравенства не меняется

3. Если h(x)0h(x)\neq0 на XX, то на XX

f(x)=g(x)f(x)h(x)=g(x)h(x)f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x)h(x)=g(x)h(x).

4. Если h(x)<0h(x) < 0 на XX, то на XX

f(x)<g(x)f(x)h(x)>g(x)h(x)f(x) < g(x)\Leftrightarrow f(x)h(x) > g(x)h(x),

т. е. при умножении неравенства на отрицательную функцию знак неравенства меняется на противоположный.

5. Если f(x)0,g(x)0f(x)\geq0,g(x)\geq0 на XX, то на XX


а) f(x)<g(x)f2(x)<g2(x)f(x) < g(x)\Leftrightarrow f^2(x) < g^2(x) ,

т. е. если обе части неравенства неотрицательны, то возведение в квадрат обеих частей приводит к равносильному неравенству. 

Если обе части неравенства неположительны, то умножим обе части на -1-1, придём к неравенству противоположного знака, но с неотрицательными частями, и теперь можно пользоваться свойством 5a5a.
Если левая и правая части неравенства имеют разные знаки, то возведение в квадрат может привести как к равносильному неравенству, так и к неравносильному: `-4<5` и `16<25`; `-7<5`, но `49>25`, поэтому в этом случае нельзя  возводить неравенство в квадрат.

б) f(x)=g(x)f2(x)=g2(x)f(x)=g(x)\Leftrightarrow f^2(x)=g^2(x).

6. Для любых f(x)f(x) и g(x)g(x) на XX и любого натурального nn

f(x)=g(x)f2n+1(x)=g2n+1(x)f(x)=g(x)\Leftrightarrow f^{2n+1}(x)=g^{2n+1}(x).