Математика 10 класс 10-М-6

3. Сечения многогранников

Определение

Если пересечением многогранника и плоскости является многоугольник, то он называется сечением многогранника указанной плоскостью.

Мы будем заниматься решением следующей задачи: на данном изображении многогранника построить изображение его сечения данной плоскостью.

По сложившейся традиции пишут «построить сечение многогранника», опуская слово «изображение». Способ задания секущей плоскости может быть разным: например, тремя точками, не лежащими на одной прямой, двумя точками и условием параллельности некоторой прямой, одной точкой и условием параллельности некоторой плоскости, и т. п.

Сначала рассмотрим самый простой случай:

1) секущая плоскость задана тремя точками, две из которых лежат в плоскости одной грани многогранника, а третья - в плоскости грани, смежной с первой.

Пример 4

Построить сечение пирамиды SABCSABC плоскостью, проходящей через точки KK, LL и MM (рис. 8a)

K(ABC),L(ABC),M(ASC)K \in (ABC), \:\:\: L \in (ABC), \:\:\: M \in (ASC).

дОКАЗАТЕЛЬСТВО

Для решения поставленной задачи построим линии пересечения секущей плоскости с гранями пирамиды. Предположим, что плоскость KLMKLM (которую мы обозначим α\alpha) построена. Так как плоскости α\alpha и ABCABC имеют общую точку KK, то они пересекаются по прямой, проходящей через KK (согласно аксиоме пересечения плоскостей), а так как эти плоскости имеют ещё одну общую точку – точку LL, то прямая KLKL является линией пересечения плоскостей α\alpha и ABCABC. Отсюда вытекает следующее построение: проведём прямую KLKL до пересечения с отрезками ABAB и BCBC в точках EE и FF (рис. 8б).

Пусть эта прямая пересечёт прямую ACAC в точке XX. Будем рассуждать аналогично: точки XX и MM лежат как в плоскости α\alpha, так и в плоскости ASCASC, следовательно, прямая XMXM – их линия пересечения, поэтому строим прямую XMXM до пересечения с отрезками SASA и SCSC в точках HH и GG (рис. 8в).

Повторяя рассуждения по той же схеме, делаем вывод, что плоскости α\alpha и ASBASB пересекаются по прямой EHEH, а плоскости α\alpha и BSCBSC – по прямой FGFG. Поэтому для завершения построения остаётся соединить точку EE с точкой HH и точку FF с точкой GG (рис. 8г). Единственность решения вытекает из аксиомы плоскости. 

Проведённое построение было основано на нахождении линий пересечения секущей плоскости с плоскостями граней многогранника – так называемых следов секущей плоскости на плоскостях граней. Отсюда и происходит название метода построения сечений, который мы сейчас использовали, – метод следов.

В случае, если прямые KLKL и ACAC окажутся параллельными, нужно воспользоваться теоремами о параллельности в пространстве. Эти же теоремы применяются и в случае, если одним из условий задачи является параллельность некоторой прямой, некоторой плоскости или двум скрещивающимся прямым.

Пример 5

Построить сечение пирамиды SABCSABC плоскостью α\alpha, проходящей через точку KK, лежащую на SS1SS_1 (S1(ABC)S_1 \in (ABC)) внутри SABCSABC, параллельно скрещивающимся рёбрам ABAB и SCSC (рис. 9a).

дОКАЗАТЕЛЬСТВО

Построим плоскость SC1CSC_1C (рис. 9б). На этой плоскости строим прямую KXKX – след секущей плоскости α\alpha. Так как SCSC параллельна α\alpha, то линия пересечения KXKX плоскостей α\alpha и SCS1SCS_1 параллельна прямой SCSC.

Пусть CS1AB=C1CS_1 \cap AB = C_1, C1SKX=YC_1S \cap KX = Y. Так как ABAB параллельна α\alpha, то линия пересечения плоскостей α\alpha и ABCABC параллельна прямой ABAB. Поэтому, проводим через XX прямую P1P2ABP_1P_2 \parallel AB, где P1P_1  – точка пересечения этой прямой с BCBC, а P2P_2 – точка пересечения с ACAC (рис. 9б). Аналогично, через YY проводим прямую P3P4ABP_3P_4 \parallel AB, где P3P_3 – точка пересечения этой прямой с BSBS, а P4P_4 – точка пересечения с ASAS. Следовательно, P1P2P3P4P_1P_2P_3P_4 – искомое сечение (рис. 9в).