Математика 10 класс 10-М-6

1. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

Напомним основные определения.

определения
  • Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
  • Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
  • Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

При решении многих задач по стереометрии часто используются следующие теоремы.

Теорема 1 (Теорема о линии пересечения).

Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.


Доказательство

Пусть плоскость β\beta пересекает плоскость α\alpha по прямой bb и проходит через прямую aa такую, что aαa \parallel \alpha (рис. 1). Тогда прямые aa и bb лежат в плоскости β\beta, причём a b=a \cap  b = \varnothing (иначе точка их пересечения лежала бы в плоскости α\alpha, что противоречит параллельности прямой aa и плоскости α\alpha). Следовательно, aba \parallel b.

Теорема 2

Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, и эти плоскости пересекаются, то линия их пересечения параллельна каждой из данных прямых.


Доказательство

Пусть aba \parallel b, где aαa \subset \alpha, bβb \subset \beta, причём $$\alpha \cap \beta = c$$  (рис. 2). Докажем, что $$c \parallel a$$ и cbc \parallel b.

Действительно, поскольку bβb \subset \beta и aba \parallel b, то aβa \parallel \beta по признаку параллельности прямой и плоскости. Далее по теореме о линии пересечения получим $$c \parallel a$$. Аналогично доказывается, что cbc \parallel b.

Теорема 3

Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна их линии пересечения.


Доказательство

Пусть плоскости α\alpha и β\beta пересекаются по прямой aa, а прямая bb параллельна α\alpha и β\beta. Возьмём на прямой aa точку ММ и проведём плоскость γ\gamma через bb и ММ (рис. 3). Пусть плоскость γ\gamma пересекает плоскость α\alpha по прямой a1a_1, а плоскость β\beta – по прямой a2a_2. По теореме о линии пересечения a1ba_1 \parallel b и a2ba_2 \parallel b. Но прямые a1a_1 и a2a_2 имеют общую точку ММ, следовательно, это одна и та же прямая – прямая aa. Итак, aba \parallel b.

Теорема 3а

Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны.


Доказательство

Пусть `alpha``|\|``beta`, `gamma nn alpha`, `gamma nn beta=b`  (см. рис. 4).   Докажем, что `a``|\|``b`.

Пусть aba\overline{)\parallel }b тогда поскольку `a` и `b` лежат в одной плоскости `gamma`, они могут только пересекаться, пусть `a nn b=M`, `M in a`, `a sub alpha => M in alpha`; `M in b`, `b sub beta => M in beta`. `=>` плоскости `alpha` и `beta` имеют общую точку `M`, противоречие условию `alpha``|\|``beta`. Значит, `a``|\|``b`.

Пример 1

Докажите, что через каждую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость так, чтобы эти плоскости были параллельны.

Доказательство

Пусть aa скрещивается с bb. Возьмём на прямой aa точку AA и проведём через неё прямую `b^'`, параллельную прямой bb (в плоскости, проходящей через AA и bb). Через aa и построенную прямую проведём плоскость α\alpha. Аналогично строим плоскость β\beta (рис. 5). По признаку параллельности плоскостей αβ\alpha \parallel \beta.